Fysisk

Ellipsoidegenskaper og eksempler

Ellipsoidegenskaper og eksempler

Han ellipsoid Det er en overflate i det rommet som tilhører gruppen av firkantede overflater og hvis generelle ligning er av formen:

Øks2 + Av2 + CZ2 + Dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0

Det er den tre -dimensjonale ekvivalenten til en ellipse, preget av å ha elliptiske og sirkulære spor i noen spesielle tilfeller. Sporene er kurvene som oppnås når du krysser ellipsoiden med et plan.

Figur 1. Tre forskjellige ellipsoider: over en sfære der de tre halv -semi er de samme, ned til venstre en sfæroid, med to like halv -og -en halvaksis og til slutt ned til høyre, en triaksial sfæroid, med tre akser av forskjellig lengde. Kilde: Wikimedia Commons. AG2GAEH/CC BY-S (https: // CreativeCommons.Org/lisenser/by-SA/4.0)

I tillegg til ellipsoiden, er det fem andre kvadrik. Sporene hans er også koniske.

Ellipsoiden kan også uttrykkes ved standardligningen i kartesiske koordinater. En ellipsoid fokusert på opprinnelse (0.0.0) og uttrykt på denne måten, minner ellipsen, men med en tilleggsperiode:

Verdiene til til, b og c De er reelle tall større enn 0 og representerer de tre ellipsoid halvparten.

[TOC]

Ellipsoidegenskaper

- Standard ligning 

Standardligningen i kartesiske koordinater for ellipsen fokuserte på punktet (H, K, M) er:

- Ellipsoid parametriske ligninger

I sfæriske koordinater kan ellipsoiden beskrives som følger:

x = en sin θ. cos φ

y = b sin θ. sin φ

Z = c cos θ

Ellipsoid semi -out er fremdeles A, B og C, mens parametrene er vinklene θ og φ for følgende figur:

Figur 2. Det sfæriske koordinatsystemet. Ellipsoiden kan parameteriseres ved å bruke vinklene vist theta og phi som parametere. Kilde: Wikimedia Commons. Andeggs / Pub Domain.

- Ellipsoid spor

Den generelle ligningen av en overflate i rommet er f (x, y, z) = 0 og sporene på overflaten er kurvene:

Kan tjene deg: vektorstørrelse

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- Z = C; F (x, y, c) = 0

Når det gjelder en ellipsoid, er slike kurver ellipser og noen ganger omkretser.

- Volum

Volum V av ellipsoiden er gitt av (4/3) π ganger produktet av sine tre halvsemi:

V = (4/3) π. ABC

Spesielle ellipsoid -saker

-En ellipsoid blir en sfære når alle halvstørrelser er i samme størrelse: a = b = c ≠ 0. Dette er fornuftig, fordi ellipsoiden er som en sfære som den har blitt strukket annerledes gjennom hver akse.

-Spheroidet er en ellipsoid der to av semijes er identiske og den tredje er annerledes, for eksempel kan det være a = b ≠ c.

Spheroid kalles også Revolution ellipsoid, fordi den kan genereres ved å rotere ellipser rundt en akse.

Hvis svingaksen sammenfaller med hovedaksen, er sfæroiden Prolition, Men hvis det faller sammen med den mindre aksen, er det det Oblate:

Figur 3. Sfæroid venstre til venstre og sfæroidprolisjon til høyre. Kilde: Wikimedia Commons.

Målet på utflating av sfæroid (elliptisitet) er gitt av forskjellen i lengde mellom de to semi -sidene, uttrykt i en brøkform, det vil si at det er enhetsflatingen, gitt av:

F = (a - b) / a

I denne ligningen representerer A semi -Senije og B den mindre halvaksen, husk at den tredje aksen er lik noen av disse for en sfæroid. Verdien av F er mellom 0 og 1 og for en sfæroid må den være større enn 0 (hvis den var lik 0, ville vi ganske enkelt ha en sfære).

Kan tjene deg: Bethelgeuse

Referansen ellipsoid

Planetene og generelt er stjernene, vanligvis ikke perfekte sfærer, fordi rotasjonsbevegelsen rundt øksene deres flater kroppen i polene og bassinalene i Ecuador.

Det er grunnen til at jorden viser seg å være som en obligator.

Så en mer realistisk måte å representere planetene på, er å anta at de er som en sfæroid eller ellipsoid av revolusjon, hvis semi -semi -major er den ekvatoriale radioen og den mindre semi -aksen den polare radius.

Forsiktige tiltak som er gjort på kloden har tillatt å bygge Referanse ellipsoid av jorden som sin mest presise form for å jobbe matematisk.

Stjernene har også rotasjonsbevegelser som gir dem mer eller mindre flate former. Den raske Aternar -stjernen, den åttende lyseste stjernen på nattehimmelen, i den sørlige konstellasjonen av Eridanus er bemerkelsesverdig elliptisk når man sammenligner den med flertallet. Det er 144 lysår fra oss.

På det andre ytterpunktet, for noen år siden, ga forskerne med den mest sfæriske gjenstanden som er funnet så langt: Kepler 11145123 -stjernen, 5000 lysår, med en størrelse dobbelt så stor som vår sol og en forskjell mellom semi -Messages på bare 3 km. Som forventet snur det seg også saktere.

Når det gjelder jorden, er det ikke en perfekt sfæroid på grunn av den robuste overflaten og de lokale tyngdekraften. Det er grunnen til at det er mer enn en tilgjengelig referansespæroid, og på hvert sted er det mest passende for lokal geografi valgt.

Det kan tjene deg: Hva er dalen i fysikk? (Med eksempler)

Hjelpen fra satellittene er uvurderlig når det.

Figur 4. Haumea, den transneptuniske dvergplaneten har en ellipsoidal form. Kilde: Wikimedia Commons.

Numerisk eksempel

På grunn av jordens rotasjon genereres en sentrifugalkraft som gir den formen av en avlang ellipsoid, i stedet for en sfære. Det er kjent at jordens ekvatorialradio er 3963 miles og den polare radius er 3942 miles.

Finn ligningen for ekvatorialsporet, den av denne ellipsoiden og målet på dens utflating. Sammenlign også med Saturns elliptisitet, med dataene som er gitt nedenfor:

-Saturn Equatorial Radio: 60268 km

-Saturn Polar Radio: 54364 km

Løsning

Et koordinatsystem er påkrevd, som vi vil anta fokusert på opprinnelsen (jordens sentrum). Vi vil anta at den vertikale Z -aksen og sporet som tilsvarer ekvator er på XY -planet, tilsvarer planet z = 0.

I ekvatorialplanet er semi -A og B de samme, derfor A = B = 3963 miles, mens C = 3942 miles. Dette er en spesiell sak: en sfæroid fokusert på punktet (0.0.0) som angitt ovenfor.

Ekvatorialsporet er en sirkel av radius r = 3963 miles, fokusert på opprinnelsen. Det beregnes ved å gjøre z = 0 i standardligningen:


Og standardligningen for jordens ellipsoid er:

Til slutt beregnes justeringsmålet (elliptisk) evaluering i ligningen:

F Land = (a - b) / a = (3963-3942) miles / 3963 miles = 0.0053

F Saturn = (60268-54363) km/60268 km = 0.0980

Merk at elliptisk f er en dimensjonsløs mengde.

Referanser

  1. ArcGIS for Desktop. Sfæroid og sfærer. Gjenopprettet fra: Desktop.Arcgis.com.
  2. BBC verden. Mysteriet med det mest sfæriske objektet som noen gang er oppdaget i universet. Hentet fra: BBC.com.
  3. Larson, r. Beregning og analytisk geometri. Sjette utgave. Volum 2. McGraw Hill.
  4. Wikipedia. Ellipsooid. Hentet fra: i.Wikipedia.org.
  5. Wikipedia. Siperoid. Hentet fra: i.Wikipedia.org.