Matte

Firkantet binomial

Firkantet binomial

Hva er en firkantet binomial?

I Elementær algebra En binomial er summen eller subtraksjon av to monomier, hvis form er (a ± b), hvor til er den første perioden og b den andre. ± symbolet, som lyder "mer", betegner kompakt til summen og subtraksjon av disse vilkårene.

Deretter er den firkantede binomialen skrevet i skjemaet (A ± B)2, å representere multiplikasjonen av binomialen med seg selv. Denne operasjonen utføres enkelt ved hjelp av distribusjonsfordelet med multiplikasjon med hensyn til tillegg.

Geometrisk tolkning av den firkantede binomialen som addisjon av to monomialer: området på det store kvadratet består av området på det grønne torget, pluss det på den oransje torget, pluss de av de to gule rektanglene, noe som resulterer i en2 + 2A⋅B + b2. Kilde: Wikimedia Commons.

På denne måten oppnås et resultat som er praktisk å huske, siden utviklingen av en firkantet binomial vises i mange algebra -applikasjoner, beregningen og vitenskapene generelt.

Forklaring

Utviklingen av den firkantede binomialen utføres ved hjelp av den nevnte distribusjonseiendommen. På denne måten får du:

(A ± B)2 = (a ± b) × (a ± b) = a2 ± A⋅B ± B⋅a + B2 = a2 ± 2A⋅B + B2

Resultatet, som alltid har tre begreper og er kjent som Bemerkelsesverdig produkt, Det leser på denne måten:

Kvadrat for den første perioden, pluss/mindre det doble produktet av den første termin for det andre, pluss kvadratet av den andre terminperioden.

Definisjonen gjelder for enhver binomial, uavhengig av form av vilkårene.

Kvadrat for summen og forskjellen

Kvadratet med en sum er:

(A + B)2 = (a + b) × (a + b) = a2 + Ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

Mens kvadratet med forskjellen er:

(A - B)2 = (a - b) × (a - b) = a2 - AB - BA + B2 = a2 - 2AB + B2

Det kan tjene deg: nominell variabel: konsept og eksempler

Merk at forskjellen mellom begge utviklingen ligger i tegnet som blir satt til den kryssede begrepet.

Eksempler

Eksempel 1

Når du utvikler torget til binomialen (x + 5)2, Det oppnås ved å bruke resultatet oppnådd i forrige seksjon:

(x + 5)2 = x2 + 2x ∙ 5 + 52 = x2 + 10x + 25

Eksempel 2

For å finne utviklingen av den firkantede binomialen (2x - 3)2, Fortsett på en analog måte:

(2x - 3)2 = (2x)2 - 2 ∙ 2x ∙ 3 + 32 = 4x2 - 12x + 9

Eksempel 3

Ikke alltid begrepet som inneholder tekster, går først på plass. For eksempel kvadrat binomialen (12 - 7x), oppnås det:

(12 - 7x)2 = 122 - 2 ∙ 12 ∙ 7x + (7x)2 = 144 - 168x + 49x2

Øvelser

Utvikle følgende firkantede binomialer:

a) (3xy - 1)2
b) (2z + 5y)2
c) [(x+y) - 6]2

Løsning på

(3xy - 1)2 = (3xy)2 - 2 ∙ 3xy ∙ 1 + 12 = 9x2og2 - 6xy + 1

Løsning b

(2Z + 5Y)2 = (2Z)2 + 2 ∙ 2Z ∙ 5y + (5y)2 = 4z2 + 20zy + 25y2

Løsning c

[(x+y) - 6]2 = (x+y)2 - 2 ∙ (x +y) ∙ 6 +62 = (x+y)2 - 12 ∙ (x + y) + 36

Den første termen av trinomialen kan utvikles etter tur:

(x+y)2 = x2 + 2x ∙ y + og2

Og erstatt det forrige resultatet:

[(x+y) - 6]2 = (x+y)2 - 12 ∙ (x + y) + 36 = x2 + 2x ∙ y + og2 - 12 ∙ (x + y) + 36

Perfekt firkantet trinomial

Resultatet av å utvikle en firkantet binomial inneholder tre begreper, i henhold til: (a ± b)2 = a2 ± 2AB + B2. Derfor heter det trinomial (tre monomialer) og det er også perfekt, siden det oppnås av kvadratet en binomial.

Å identifisere en perfekt firkantet trinomial, og finne den tilsvarende binomialen som gir opphav til det er målet med faktoriseringen.

For eksempel trinomial x2 + 14x + 49 er en perfekt firkantet trinomial, siden:

Kan tjene deg: transcendente tall: hva er, formler, eksempler, øvelser

x2 + 14x + 49 = (x + 7)2

Leseren kan enkelt sjekke, utvikle binomialfeltet (x + 7)2 I følge de forrige formlene:

(x + 7)2 = x2 + 2x ∙ 7 + 72 = x2 + 14x + 49