Tilnærming til beregning ved bruk av differensialer

En tilnærming i matematikk er et tall som ikke er den nøyaktige verdien av noe, men som er så nær dette som anses som nyttig som nevnt nøyaktig verdi.

Når det utføres i matematikk, er det fordi det er manuelt vanskelig (eller noen ganger umulig) å vite den nøyaktige verdien av det du vil.

Hovedverktøyet når du jobber med tilnærminger er differensialet av en funksjon. Differensialet av en F -funksjon, betegnet med Δf (x), er ikke noe mer enn derivatet av funksjonen f multiplisert med endringen i den uavhengige variabelen, det vil si Δf (x) = f '(x)*Δx.

Noen ganger brukes DF og DX i stedet for ΔF og Δx.

Tilnærminger ved bruk av differensial

Formelen som brukes for å utføre en tilnærming gjennom differensialet oppstår bare fra definisjonen av derivatet av en funksjon som en grense.

Denne formelen er gitt av:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0)*(x-x0) = f (x0) + f' (x0)*Δx.

Her forstås det at Δx = x-x0, derfor x = x0+Δx. Ved hjelp av dette kan formelen skrives om som

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)*Δx.

Det skal bemerkes at "x0" ikke er en vilkårlig verdi, men at det er en slik verdi at F (x0) lett er kjent; I tillegg er "f (x)" bare verdien vi ønsker å nærme oss.

Er det bedre tilnærminger?

Svaret er ja. Den forrige er den enkleste av tilnærmingene som kalles "lineær tilnærming".

For bedre kvalitetsmetoder (feilen som er gjort er lavere), brukes polynomer med flere derivater kalt "Taylor Polynomials", så vel som andre numeriske metoder som Newton-Raphson-metoden blant andre blant andre blant andre.

Strategi

Strategien å følge er:

- Velg en tilstrekkelig F -funksjon for å utføre "X" -tilnærmingen og verdien som F (x) er verdien du vil tilnærme.

- Velg en "x0" -verdi, nær "x", slik at F (x0) er lett å beregne.

- Beregn Δx = x-x0.

- Beregn funksjonen avledet og f '(x0).

- Bytt ut dataene i formelen.

Løst tilnærmingsøvelser

I det som fortsetter er det en rekke øvelser der tilnærminger utføres ved hjelp av differensial.

1. Første trening

Ca. √3.

Løsning

Etter strategien må du velge en tilstrekkelig funksjon. I dette tilfellet kan det sees at funksjonen som skal velges må være f (x) = √x og verdien til å tilnærme er f (3) = √3.

Nå må du velge en "x0" -verdi nær "3" slik at F (x0) er lett å beregne. Hvis "x0 = 2" er valgt, må den "x0" er nær "3", men f (x0) = f (2) = √2 er ikke lett å beregne.

Verdien av "X0" som passer er "4", fordi "4" er nær "3" og også F (x0) = F (4) = √4 = 2.

Hvis “x = 3” og “x0 = 4”, så Δx = 3-4 = -1. Nå beregnes derivatet F. Det vil si F '(x) = 1/2*√x, slik at f' (4) = 1/2√4 = 1/2*2 = 1/4.

Bytte ut alle verdiene i formelen oppnås:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4)*( - 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

Hvis en kalkulator brukes, oppnås det at √3≈1.73205 ... Dette viser at det forrige resultatet er en god tilnærming av den virkelige verdien.

2. Andre trening

Ca. √10.

Løsning

Som før er det valgt som funksjon f (x) = √x og i dette tilfellet x = 10.

Verdien av X0 som må velges ved denne anledningen er "X0 = 9". Det er da nødvendig.

Ved evaluering i formelen oppnås det

√10 = F (10) ≈ 3 + 1*1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ..

Ved hjelp av en kalkulator oppnås det at √10 ≈ 3.1622776 ... her kan du også se at det ble oppnådd en god tilnærming før.

3. Tredje øvelse

Ca.

Løsning

Det er klart at funksjonen som bør brukes i denne øvelsen er f (x) = ³ jul, og verdien av "x" må være "10".

En verdi nær "10" slik at dens kubikkrot er kjent er "x0 = 8". Da må du Δx = 10-8 = 2 og F (x0) = F (8) = 2. Du må også f '(x) = 1/3*³√x², og påfølgende /12.

Erstatte dataene i formelen det oppnås at:

³√10 = F (10) ≈ 2 + (1/12)*2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.16666 .. .

Kalkulatoren sier at ³√10 ≈ 2.15443469 ... Derfor er tilnærmingen funnet god.

4. Fjerde øvelse

Ca.3), der "ln" betegner den naturlige logaritmefunksjonen.

Løsning

Først blir den valgt som funksjon f (x) = ln (x) og verdien av “x” er 1.3. Nå som du vet litt om logaritmefunksjonen, kan du vite at LN (1) = 0, og også "1" er nær "1.3 ". Derfor er “x0 = 1” valgt og så Δx = 1.3 - 1 = 0.3.

På den annen side, f '(x) = 1/x, slik at f' (1) = 1. Når du evaluerer i den gitte formelen, må du:

LN (1.3) = F (1.3) ≈ 0 + 1*0.3 = 0.3.

Når du bruker en kalkulator, må du ln (1.3) ≈ 0.262364 ... slik at tilnærmingen er god.