Integrasjon Konstant mening, beregning og eksempler

De Integrasjonskonstant Det er en merverdi for beregningen av antiderivativene eller integralene, den tjener til å representere løsningene som utgjør det primitive til en funksjon. Uttrykker en iboende tvetydighet der enhver funksjon har et uendelig antall primitive.

For eksempel hvis funksjonen tas: f (x) = 2x + 1 og vi får dens antiderivat:

∫ (2x+1) dx = x² + x + C ; Hvor C Det er den Integrasjonskonstant og representerer grafisk den vertikale oversettelsen mellom de uendelige mulighetene til primitiv. Det er riktig å si det (x² + x) Det er en av den primitive f (x).

Kilde: Forfatter

På samme måte som du kan definere (x² + x + C ) som den primitive av f (x).

[TOC]

Omvendt eiendom

Det kan bemerkes at når det er avledet uttrykket (x² + x) Funksjonen f (x) = 2x + 1 oppnås. Dette skyldes den omvendte egenskapen mellom avledning og integrering av funksjoner. Denne egenskapen gjør det mulig å skaffe integrasjonsformler fra differensiering. Som tillater bekreftelse av integraler gjennom de samme derivater.

Kilde: Forfatter

Imidlertid (x² + x) Det er ikke den eneste funksjonen hvis derivat er lik (2x + 1).

1. D (x² + x)/ dx = 2x + 1
2. D (x² + x + 1)/ dx = 2x + 1
3. D (x² + x + 2)/ dx = 2x + 1
4. D (x² + x + 3)/ dx = 2x + 1
5. D (x² + x + C)/ dx = 2x + 1

Hvor 1, 2, 3 og 4 representerer spesiell primitiv av f (x) = 2x + 1. Mens 5 representerer det ubestemte eller primitive integralen av F (x) = 2x + 1.

Kilde: Forfatter

Det primitive av en funksjon oppnås gjennom antiderivasjonen eller integreringsprosessen. Hvor f vil være en primitiv f hvis følgende er oppfylt

• y = ∫ f (x) dx = F (x) + c; C = Integrasjonskonstant
• F '(x) = f (x)

Det er verdsatt at en funksjon har et enkelt derivat, i motsetning til det uendelige primitive som følge av integrasjon.

Det ubestemte integralet

 ∫ f (x) dx = f (x) + c

Det tilsvarer en familie av kurver med samme mønster, som opplever uoverensstemmelse i verdien av bildene til hvert punkt (x, y). Hver funksjon som oppfyller dette mønsteret vil være en individuell primitiv og settet med alle funksjoner er kjent som Ubestemt integral.

Verdien av Integrasjonskonstant Det vil være den som skiller hver funksjon i praksis.

De Integrasjonskonstant Det antyder en vertikal forskyvning i alle grafer som representerer en funksjon av en funksjon. Der parallellisme blir observert mellom dem, og det faktum at C Det er verdien av forskyvning.

I henhold til felles praksis Integrasjonskonstant Det er betegnet med bokstaven “C” etter en tillegg, selv om det i praksis er likegyldig hvis konstanten legger til eller trekker fra. Den virkelige verdien finnes på forskjellige måter i henhold til forskjellige Innledende forhold.

Andre betydninger av integrasjonskonstanten

Det var allerede snakk om hvordan Integrasjonskonstant brukes i grenen av Integrert beregning; Som representerer en familie av kurver som definerer det ubestemte integralen. Men mange andre vitenskaper og grener har tildelt veldig interessante og praktiske verdier av Integrasjonskonstant, som har lagt til rette for utviklingen av flere studier.

Kan tjene deg: Rektangel trapesoid: egenskaper, forhold og formler, eksempler

I fysisk Integrasjonskonstant kan ta flere verdier i henhold til dataens art. Et veldig vanlig eksempel er å kjenne funksjonen V (t) som representerer hastighet av en partikkel kontra tiden t. Det er kjent at når du beregner en primitiv V (t), oppnås funksjonen R (t) som representerer posisjon av partikkelen kontra tid.

De Integrasjonskonstant vil representere verdien av startposisjonen, det vil si for øyeblikket t = 0.

Tilsvarende, hvis funksjonen er kjent A (t)  som representerer akselerasjon av partikkelen kontra tid. Det primitive av en (t) vil resultere i funksjon v (t), der Integrasjonskonstant Det vil være verdien av den første hastigheten V₀.

I økonomi, ved å oppnå den primitive av en kostnadsfunksjon ved integrasjon. De Integrasjonskonstant vil representere de faste kostnadene. Og så mange andre applikasjoner som fortjener differensial og integrert beregning.

Hvordan beregnes integrasjonskonstanten?

For beregningen av Integrasjonskonstant, Det vil alltid være nødvendig å kjenne Innledende forhold. Som er ansvarlige for å definere hvilken av det mulige primitive som er tilsvarende.

I mange applikasjoner blir det behandlet som en uavhengig variabel til tid (t), der konstanten C ta verdiene som definerer Innledende forhold av den aktuelle saken.

Hvis det første eksemplet er tatt: ∫ (2x+1) dx = x² + x + C

En gyldig innledende tilstand kan være å kondisjonere grafikken til å passere gjennom en spesifikk koordinat. For eksempel er det kjent at primitivt (x² + x + C) Gå gjennom punktet (1, 2)

F (x) = x² + x + C; Dette er den generelle løsningen

F (1) = 2

Vi erstatter den generelle løsningen i denne likheten

F (1) = (1)² + (1) + C = 2

Der det lett trekkes det C = 0

På denne måten er den tilsvarende primitive for dette tilfellet F (x) = x² + x

Det er forskjellige typer numeriske øvelser som fungerer med Integrasjonskonstanter. Faktisk slutter ikke differensiell og integrert beregning. På forskjellige akademiske nivåer kan du finne; Fra første beregning, gjennom fysikk, kjemi, biologi, økonomi, blant andre.

Det blir også verdsatt i studiet av differensiallikninger, hvor i Integrasjonskonstant Du kan ta forskjellige verdier og løsninger, dette på grunn av flere henvisninger og integrasjoner som utføres i denne saken.

Eksempler

Eksempel 1

1. En kanon som ligger 30 meter høye skudd vertikalt opp et prosjektil. Det er kjent at den første prosjektilhastigheten er 25 m/s. Fastslå:

• Funksjonen som definerer prosjektilens plassering med hensyn til tid.
• Flytiden eller tiden på tid der partikkelen spiller bakken.

Det kan tjene deg: De 8 typene målefeil (med eksempler)

Det er kjent at i en jevn variert rettlinjet bevegelsesakselerasjon er en konstant verdi. Dette er tilfellet med prosjektillanseringen, der akselerasjon vil være tyngdekraften

G = - 10 m/s²

Det er også kjent at akselerasjon er den andre avledet fra stillingen, noe som indikerer en dobbel integrasjon i oppløsningen av øvelsen, og dermed oppnår to Integrasjonskonstanter.

A (t) = -10

V (t) = ∫a (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C₁

De opprinnelige forholdene for øvelsen indikerer at den opprinnelige hastigheten er v₀ = 25 m/s. Dette er hastigheten på tidspunktet t = 0. På denne måten blir det oppfylt at:

V (0) = 25 = -10 (0) + C₁   og C₁ = 25

Hastighetsfunksjonen som er definert

V (t) = -10t + 25; Du kan se likheten med MRUV -formelen (v_F = V₀ + A x t)

I homolog er hastighetsfunksjonen integrert for å oppnå uttrykket som definerer posisjonen:

R (t) = ∫v (t) dt = ∫ (-10t+25) dt = -5t² + 25t + C₂

R (t) = -5t² + 25t + C₂  (Primitiv posisjon)

Startposisjonen r (0) = 30 m er kjent. Da beregnes den spesielle primitive for prosjektilet.

R (0) = 30m = -5 (0)² + 25 (0) + C₂ . Hvor C₂ = 30

Den første delen er løst siden R (t) = -5t² + 25t + 30  ; Dette uttrykket er homolog av forskyvningsformelen i mruv r (t) = r₀ + V₀T - gt²/2

For den andre delen må den kvadratiske ligningen løses: -5T² + 25t + 30 = 0

Siden den betinget partikkelen for å nå bakken (posisjon = 0)

Kilde: Forfatter

Egentlig kaster ligning i 2. klasse 2 løsninger t: 6, -1. Verdien t = -1 blir ignorert fordi dette er tidens tider hvis domene ikke inkluderer negative tall.

På denne måten er den andre delen der flytiden er lik 6 sekunder løst.

Eksempel 2

2. Finn den primitive f (x) som oppfyller de opprinnelige forholdene:

• f "(x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

Med informasjonen om det andre derivat F "(x) = 4 begynner antiderivasjonsprosessen

f '(x) = ∫f "(x) dx

∫4 dx = 4x + c₁

Deretter å vite tilstanden f '(2) = 2 fortsetter:

4 (2) + C₁ = 2

C₁ = -6 og f '(x) = 4x - 8

Fortsett på samme måte for den andre Integrasjonskonstant

f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x² - 8x + c₂

Den opprinnelige tilstanden f (0) = 7 er kjent og fortsett:

2 (0)² - 8 (0) + C₂ = 7

C₂ = 7 og f (x) = 2x² - 8x + 7

• f "(x) = x² ; f '(0) = 6; f (0) = 3

I likhet med det forrige problemet definerer vi de første derivatene og den opprinnelige funksjonen fra de opprinnelige forholdene.

f '(x) = ∫f "(x) dx

∫ (x²) Dx = (x³/3) + C₁

Med tilstand f '(0) = 6 fortsetter:

Kan tjene deg: sett teori: egenskaper, elementer, eksempler, øvelser

(0³/3) + C₁ = 6; Hvor₁ = 6 og f '(x) = (x³/3) + 6

Så den andre Integrasjonskonstant

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ [(x³/3) + 6] dx = (x⁴/12) + 6x + c₂

Den opprinnelige tilstanden f (0) = 3 er kjent og fortsett:

[(0)⁴/12] + 6 (0) + C₂ = 3; Hvor₂ = 3

Den spesielle primitive oppnås

f (x) = (x⁴/12) + 6x + 3

Eksempel 3

3. Definer de primitive funksjonene gitt derivatene og et punkt i grafen:

• dy/dx = 2x - 2 som passerer gjennom punktet (3, 2)

Det er viktig å huske at derivatene refererer til skråningen av linjens tangent til kurven på et bestemt tidspunkt. Der det ikke er riktig å anta at grafikken til derivat berører det angitte punktet, siden den tilhører grafen til den primitive funksjonen.

På denne måten uttrykker vi differensialligningen som følger:

dy = (2x - 2) DX  ; Så når du bruker antiderivasjonskriteriene du har:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

y = x² - 2x + c

Bruke den opprinnelige tilstanden:

2 = (3)² - 2 (3) + C

C = -1

Er oppnådd: f (x) = x² - 2x - 1

• dy/dx = 3x² - 1 som går gjennom punktet (0, 2)

Vi uttrykker differensialligningen som følger:

dy = (3x² - 1) DX  ; Så når du bruker antiderivasjonskriteriene du har:

 ∫dy = ∫ (3x² - 1) DX

y = x³ - x + c

Bruke den opprinnelige tilstanden:

2 = (0)² - 2 (0) + C

C = 2

Er oppnådd: f (x) = x³ - x + 2

Foreslåtte øvelser

Oppgave 1

1. Finn den primitive f (x) som oppfyller de opprinnelige forholdene:

• f "(x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
• f "(x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
• f "(x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
• f "(x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

Oppgave 2

2. En ballong som stiger med 16 fot/s hastighet frigjør en sandjakke fra en høyde på 64 fot over bakkenivå.

• Definer flytid
• Hva vil være vektoren V_F Når du berører gulvet?

Øvelse 3

3. Figuren viser akselerasjonsgrafen - tid for en bil som beveger seg i den positive forstand av x -aksen. Bilen reiste til en konstant hastighet på 54 km/t da sjåføren påførte bremsene for å stoppe på 10 sekunder. Fastslå:

• Den første akselerasjonen av bilen
• Bilhastigheten på t = 5s
• Forskyvningen av bilen under bremsing

Kilde: Forfatter

Oppgave 4

4. Definer de primitive funksjonene gitt derivatene og et punkt i grafen:

• dy/dx = x som passerer gjennom punktet (-1, 4)
• dy/dx = -x² + 1 som går gjennom punktet (0, 0)
• dy/dx = -x + 1 som passerer gjennom punktet (-2, 2)

Referanser

1. Integrert beregning. Uvartede integrasjonsmetoder og integrasjonsmetoder. Wilson, Velásquez Bastidas. Magdalena 2014 University
2. Stewart, J. (2001). Beregning av en variabel. Tidlig transcendent. Mexico: Thomson Learning.
3. Jiménez, r. (2011). Matematikk VI. Integrert beregning. Mexico: Pearson Education.
4. Fysikk i. Mc Graw Hill