Påfølgende derivater

Hva er påfølgende derivater?

De påfølgende derivater De er de som er avledet fra en funksjon etter det andre derivatet. Prosessen for å beregne påfølgende derivater er som følger: det er en funksjon f, som vi kan utlede og oppnå den avledede funksjonen f '. Til dette derivatet av F kan vi utlede det igjen, og oppnå (f ')'.

Denne nye funksjonen kalles andre derivat; Alle derivater beregnet fra det andre er påfølgende; Disse, også kalt av en høyere orden, har store applikasjoner, for eksempel å gi informasjon om streken til grafen til en funksjon, testen av det andre derivatet for relative ender og bestemmelse av uendelig serie.

Definisjon

Ved hjelp av Leibniz -notasjon har vi at derivatet av en "y" -funksjon med hensyn til "x" er DY/DX. For å uttrykke til det andre derivatet av "y" ved hjelp av notasjonen til Leibniz, skriver vi som følger:

Generelt kan vi uttrykke påfølgende derivater som følger med notasjonen til Leibniz, der N representerer rekkefølgen på derivatet.

Andre notasjoner som brukes er som følger:

Noen eksempler der vi kan se de forskjellige notasjonene er:

Eksempel 1

Få alle derivater av F -funksjonen definert av:

Ved hjelp av de vanlige henvisningsteknikkene har vi at F er:

Gjenta prosessen vi kan få det andre derivatet, det tredje derivatet og så videre.

Merk at det fjerde derivatet er null og nullderivatet er null, så vi må:

Eksempel 2

Beregn den fjerde avledet fra følgende funksjon:

Avleder den gitte funksjonen vi har som et resultat:

Hastighet og akselerasjon

En av motivasjonene som førte til oppdagelsen av derivatet var søket etter definisjonen av øyeblikkelig hastighet. Den formelle definisjonen er som følger:

Kan tjene deg: primo -tall: egenskaper, eksempler, øvelser

La y = f (t) en funksjon hvis graf beskriver banen til en partikkel på et øyeblikk t, Da blir hastigheten hans på et øyeblikk gitt av:

Når hastigheten på en partikkel er oppnådd, kan vi beregne øyeblikkelig akselerasjon, som er definert som følger:

Den øyeblikkelige akselerasjonen av en partikkel hvis bane er gitt av y = f (t) er:

Eksempel 1

En partikkel beveger seg på en linje i henhold til posisjonsfunksjonen:

Hvor "y" måles i meter og "t" på sekunder.

• I hvilket øyeblikk er hastigheten din 0?
• I hvilket øyeblikk er akselerasjonen 0?

Ved å utlede "y" -posisjonsfunksjonen har vi at dens hastighet og akselerasjon er gitt henholdsvis av:

For å svare på det første spørsmålet er det nok å bestemme når V -funksjonen V er null; dette er:

Vi fortsetter med neste spørsmål analoge:

Eksempel 2

En partikkel beveger seg på en linje i henhold til følgende bevegelsesligning:

Bestem "T, Y" og "V" når a = 0.

Å vite at hastighet og akselerasjon er gitt av

Vi fortsetter å utlede og skaffe:

Gjør A = 0, har vi:

Der vi kan utlede at verdien av t slik at a er lik null er t = 1.

Deretter evaluerer vi i t = 1 Posisjonen og funksjonsfunksjonen, må vi:

applikasjoner

Mplícita -avledning

Påfølgende derivater kan også oppnås ved implisitt avledning.

Eksempel

Gitt følgende ellipse, finn "y":

Implisitt avleder med hensyn til x, har vi:

Deretter gir du implisitt med hensyn til X, gir oss:

Til slutt har vi:

Relative ytterpunkter

En annen bruk som vi kan gi til andreordre derivater er i beregningen av relative ender av en funksjon.

Kan tjene deg: hvor mange symmetriaks?

Kriteriene for det første derivatet for lokale ytterpunkter forteller oss at hvis vi har en kontinuerlig F -funksjon i et intervall (a, b) og det er en C som tilhører nevnte intervall slik at det er annullert i C (det vil si at C er et kritisk punkt), en av disse tre sakene kan oppstå:

• Hvis f '(x)> 0 for enhver x som tilhører (a, c) og f' (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.
• Hvis f '(x) 0 for x som tilhører (c, b), er f (c) et lokalt minimum.
• Hvis f '(x) har samme skilt på (a, c) og i (c, b), innebærer det at f (c) ikke er en lokal slutt.

Ved å bruke kriteriene for det andre derivatet kan vi vite om et kritisk antall funksjon er et maksimum eller et lokalt minimum, uten å måtte gjøre det som er tegn på funksjonen med de nevnte intervaller.

Kriteriet for den andre driften forteller oss at hvis f '(c) = 0 og at f "(x) er kontinuerlig i (a, b), skjer det hvis f" (c)> 0 så er f (c) en Lokalt minimum og hvis f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

Hvis f "(c) = 0, kan vi ikke konkludere med noe.

Eksempel

Gitt funksjonen f (x) = x⁴ + (4/3) x³ - 4x², Finn maksimum og minimum slektning for f Bruke kriteriene for det andre derivatet.

Først beregner vi f '(x) og f "(x), og vi har:

f '(x) = 4x³ + 4x² - 8x

f "(x) = 12x² + 8x - 8

Nå, f '(x) = 0 ja, og bare hvis 4x (x + 2) (x - 1) = 0, og dette skjer når x = 0, x = 1 eller x = - 2.

For å avgjøre om de oppnådde kritiske tall er relative ytterpunkter bare evalueres i F "og dermed observerer dets tegn.

Kan tjene deg: heptagon

f "(0) = - 8, så f (0) er et lokalt maksimum.

f "(1) = 12, så f (1) er et lokalt minimum.

f "(- 2) = 24, så f (- 2) er et lokalt minimum.

Taylor Series

Være en funksjon definert som følger:

Denne funksjonen har en konvergensradius r> 0 og har avledet fra alle ordrer i (-r, r). Påfølgende derivater av F gir oss:

Tar x = 0, kan vi få verdiene til C_n Avhengig av derivater som følger:

Hvis vi tar n = 0 som funksjonen f (dvs. f^0 = f), kan vi omskrive funksjonen som følger:

La oss nå betrakte funksjonen som en serie krefter ved x = a:

Hvis vi utfører en analyse som er analog med den forrige, må vi skrive funksjonen F som:

Disse seriene er kjent som Taylor F i en serie. Når a = 0 har vi den spesielle saken som heter MacLaurin -serien. Denne typen serier er av stor matematisk betydning, spesielt i numerisk analyse, siden vi takket være disse kan definere funksjoner i datamaskiner som e^x , sin (x) og cos (x).

Eksempel

Få Maclaurin -serien for E^x.

Merk at hvis f (x) = e^x, deretter f^(N)(x) = e^x og f^(N)(0) = 1, så MacLaurin -serien din er: