Perfekte tall hvordan identifisere dem og eksempler

EN Perfekt tall er et naturlig tall slik at Summen av delingene er den samme som tallet. Det er klart det ikke kan inkluderes blant delingene til selve nummeret.

Et av de enkleste eksemplene på perfekt antall er 6, siden delene er: 1, 2 og 3. Hvis vi legger til delingene, oppnås det: 1 + 2 + 3 = 6.

Figur 1. Nummeret 6 er perfekt, fordi summen av delingene av det, ikke inkludert antallet i seg selv, gir nummer 6. Kilde: Selvlaget

Summen av delingene av et heltall, ikke inkludert selve antallet, kalles alikvot. Derfor er et perfekt tall lik dets alikvot.

Men hvis i summen av delingene av et antall selve antallet er inkludert, vil et perfekt antall være et at summen av alle det.

[TOC]

Historie

Matematikerne av antikken, særlig grekere, ga stor betydning for de perfekte tallene og tilskrev guddommelige egenskaper.

For eksempel hevdet Philo de Alejandría, rundt det 1. århundre, at 6 og 28 er perfekte antall som sammenfaller med de seks dagene av skapelsen av verden og de tjue -åtte dagene som det tar for månen å snu rundt jorden.

De perfekte tallene er også til stede i naturen, for eksempel i den nordlige polen av Saturn ser også ut som det perfekte tallet 6, en sekskantet virvel funnet av Cassini -sonden og som har fascinert for forskere. 

Bien honningkaker har celler i sekskantet form, det vil si med 6 sider.  Det er vist at polygonen med det perfekte nummer 6 er den som tillater maksimere antall celler i bikuben, med minimumsvoks for utdyping.

Figur 2. Det perfekte nummer 6 er til stede i bier honningkaker. Det vises at med dette antall sider er mengden voks som skal brukes til å danne cellene minimal. Kilde: Pixabay.

Perfekte tallegenskaper

Summen av alle delere av et naturlig tall n er betegnet med σ (n). I et perfekt antall er det sant at: σ (n) = 2n.

Euklidformel og kriterier

Euclid oppdaget en formel og et kriterium som lar deg finne de perfekte tallene. Denne formelen er:

2^(N-1) (2ⁿ -1)

Antallet generert av formelen vil imidlertid bare være perfekt når faktoren (2ⁿ -1) Vær fetter.

Kan tjene deg: rektangulære komponenter i en vektor (med øvelser)

La oss se hvordan de første perfekte tallene blir generert:

Hvis n = 2, har vi 2¹ (2² - 1) = 2 x 3 = 6 som vi allerede så at det er perfekt.

Når n = 3 har du 2² (2³ - 1) = 4 x 7 = 28 som også er perfekt som det er bekreftet i detalj i eksempel 1.

La oss se hva som skjer med n = 4. Ved å bytte ut i Euclid -formelen har vi:

2³ (2⁴ - 1) = 8 x 15 = 120

Det kan bekreftes at dette tallet ikke er perfekt, som vist i detalj i eksempel 3. Dette motsier ikke Euclid -kriteriene, siden 15 ikke er en fetter, et nødvendig krav for at resultatet skal være et perfekt tall.

La oss se hva som skjer når n = 5. Bruke formelen vi har:

2⁴ (2⁵ - 1) = 16 x 31 = 496

Som 31 er et primtall, så nummer 496 må være perfekt, i henhold til Euclid -kriterier. I eksempel 4 vises det i detalj at det er effektivt.

Primtallene som har skjema 2^p - 1 De kalles søskenbarn til Mersenne, til ære for Monk Marin Mersenne, som studerte primtallene og de perfekte tallene tilbake på det syttende århundre.

Deretter viste Leonhard Euler i det attende århundre at alt perfekt antall generert av euklidformelen er par.

Til dags dato har det blitt funnet en perfekt som er merkelig.

Det største perfekte tallet kjent

Til gjeldende dato er 51 perfekte tall kjent, alt generert av formelen og Euclid -kriteriene. Dette tallet ble oppnådd når Mersennes fetter ble funnet, som er: (2^82589933 - 1).

Det perfekte tallet #51 er (2^82589933) X (2^82589933 - 1) og har 49724095 Digitos.

Et perfekt antall er venn av deg selv

I antall teori sies det at to tall er venner når summen av delingene til en, ikke inkludert antallet i seg selv, er lik det andre antallet og omvendt.

Det kan tjene deg: Linje og semi -AVIVER -segment

Leseren kan bekrefte at summen av delingene av 220, ikke inkludert 220 er 284. På den annen side er summen av delingene av 284, ikke 284, lik 220. Derfor er tallene par 220 og 284 venner.

Fra dette synspunktet er et perfekt antall venn av deg selv.

Eksempler på perfekte tall

Deretter er de åtte første perfekte tallene oppført:

6

28

496

8128

33550336

8589869056

137438691328

2305843008139952128

Øvelser

I de følgende øvelsene vil det være nødvendig å beregne delingene av et tall, og deretter lage summen av dem og bekrefte om tallet er et perfekt tall eller ikke.

Derfor før du tar opp øvelsene, vil vi gjennomgå konseptet og vise hvordan de blir beregnet.

Til å begynne med, må du huske at tallene kan være søskenbarn (når de bare kan deles inn i nøyaktig med seg selv og 1) eller forbindelser (når de kan dekomponere som et produkt av primtall).

For et sammensatt nummer n du har:

N = aⁿ . b^m. c^p ... r^k 

Hvor a, b, c ... r er primtall og n, m, p ... k er eksponenter som tilhører naturlige tall, noe som kan være verdt fra 1 og utover.

Når det gjelder disse eksponentene, er det en formel for å vite hvor mange delere antallet n har, selv om det ikke forteller oss hva disse er. La C være dette beløpet, da:

C = (N +1) (M +1) (P +1) ... (K +1)

Nedbrytningen av antall n som et produkt av primtall og kunnskapen om hvor mange delere har, både søskenbarn og ikke -kusiner, vil hjelpe oss.

Når alle har, bortsett fra den siste som ikke er nødvendig i summen, kan det bekreftes om det er et perfekt tall eller ikke.

- Oppgave 1

Kontroller at nummer 28 er perfekt.

Løsning

Den første vil være å dekomponere antallet i de viktigste faktorene.

28 | 2
14 | 2
07 | 7
01 | 1

Delene er: 1, 2, 4, 7, 14 og 28. Hvis vi utelukker på 28 gir summen av delingene:

Kan tjene deg: halvparten av 15

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 3 + 4 + 7 + 14 = 7 + 7 + 14 = 14 + 14 = 28

Derfor er de 28 et perfekt tall.

I tillegg er summen av alle dens delere 28 + 28, så regelen σ (28) = 2 x 28.

- Oppgave 2

Bestem om nummer 38 er perfekt eller ikke.

Løsning

Antallet er brutt ned i de viktigste faktorene:

39 | 3
13 | 13
01 | 1

Divisorene på 39 uten å inkludere antallet selv er: 1, 3 og 13. Sum 1 + 3 + 13 = 4 + 13 = 17 er ikke lik 39, derfor er 39 et ufullkommen eller ikke-perfeksjonsnummer. 

- Øvelse 3

Finn ut om tallet 120 er perfekt eller ufullkommen.

Løsning

Antallet er brutt ned i de viktigste faktorene:

120 | 2
060 | 2
 30 | 2
 15 | 3
  5 | 5
  1 | 1

Fra de viktigste faktorene er delingene funnet:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 og 120

Hvis 120 var perfekte når du legger til alle dens delere, skulle få tak i 2 x 120 = 240. 

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360

Dette resultatet er helt klart forskjellig fra 240, så det konkluderes med at nummer 120 ikke er et perfekt tall.

- Oppgave 4

Kontroller at nummeret 496, oppnådd av Euclid -kriteriene, er et perfekt tall.

Løsning

Tallet 496 er brutt ned i de viktigste faktorene:

496 | 2
248 | 2
124 | 2
062 | 2
031 | 31
001 | 1

Da er delene deres:

1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496

Nå er alle lagt til, bortsett fra 496:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

Bekrefter at det faktisk er et perfekt tall.

Referanser

1. Baldor, a. 1986. Aritmetikk. Codex -utgaver og distribusjoner.
2. Alt om primtall. Vennene tall. Gjenopprettet fra: sykepleier.org.
3. Wolfram Mathworld. Eulers regel. Gjenopprettet fra: Mathworld.Wolfram.com.
4. Wolfram Mathworld. Perfekt tall. Gjenopprettet fra: Mathworld.Wolfram.com.
5. Wikipedia. Perfekte tall. Hentet fra: i.Wikipedia.org.
6. Wikipedia. Vennene tall. Gjenopprettet fra: er.Wikipedia.org.