Simpson regelformel, demonstrasjon, eksempler, øvelser

De Simpson -regel Det er en metode å beregne, omtrent, definerte integraler. Det er basert på å dele integrasjonsintervallet i et par sub-intervalloer like fordelt.

De ekstreme verdiene for to påfølgende underintervall definerer tre punkter, som justerer en parabola, hvis ligning er en andregrads polynom. 

Figur 1. I Simpson -metoden er integrasjonsintervallet delt inn i et par intervaller med lik bredde. Funksjonen er tilnærmet med en lignelse i hver 2. underintervalo og integrerte tilnærminger med summen av området under lignelsene. Kilde: UPV.er.

Deretter blir området under kurven for funksjonen i de to påfølgende intervallene tilnærmet av interpolasjonspolynomområdet. Legger til bidraget til området under lignelsen om alle påfølgende underintervaller, det er den omtrentlige verdien av integralen.

På den annen side, ettersom integralen av en lignelse kan beregnes algebraisk nøyaktig, er det mulig å finne en analytisk formel for den omtrentlige verdien av den definerte integralen. Er kjent som Simpson Formula.

Feilen i det omtrentlige resultatet som således oppnådde, reduseres i den grad antallet underavdelinger n er større (å være n et dreiemoment) tall.

Under vil det bli gitt et uttrykk som gjør det mulig å estimere det øvre nivået av tilnærmingsfeilen til integralen I, når en partisjon av vanlige underintervaller av det totale intervallet [A, B] er gjort [b].

[TOC]

Formel

Integrasjonsintervallet [a, b] er delt inn i n underintervaler med n som et dreiemoment. Bredden på hver underavdeling vil være:

H = (b - a)/n

På denne måten, på intervallet [a, b] er partisjonen gjort:

X0, x1, x2, ..., xn-1, xn

Å være x0 = a, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, ..., xn-1 = x0 + (n-1) h, xn = x0 + nh = b.

Det kan tjene deg: forskjell mellom sirkel og omkrets (med eksempler)

Formelen som tillater omtrent beregning av den definerte integrerte og kontinuerlige funksjonen, og helst myk, i intervallet [a, b] er:

Demonstrasjon

For å oppnå Simpson -formelen, nærmer seg i hver underintervall [xi, xi+2] Funksjonen f (x) med andre grad P (x) polynom (lignelse) som passerer gjennom de tre punktene: [xi, f (f (f (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F Xi)]; [Xi+1, f (xi+1)] og [xi+2, f (xi+2)]].

Deretter beregnes den integrerte polynomen P (x) i [xi, xi+2] som tilnærmer integralen av funksjonen f (x) i det intervallet.

Figur 2. Graf for å demonstrere Simpson -formelen. Kilde: f. Zapata.

Interpolasjonspolynomkoeffisienter

Parabola -ligningen P (x) har den generelle formen: P (x) = a x² + B x + C. Som lignelsen går gjennom punktene som indikeres i rødt (se figur), bestemmes koeffisientene A, B, C ut fra følgende ligningssystem:

A (-h)² - B h + c = f (xi)

C = f (xi+1)

A (h)² + B H + C = F (XI + 2)

Det kan observeres at koeffisient C bestemmes. For å bestemme koeffisienten legger vi til den første og tredje ligningen som oppnår:

2 a h² + 2 c = f (xi) + f (xi + 2).

Da erstattes verdien av C, og det er klart:

A = [f (xi) - 2 f (xi+1)+f (xi+2)] / (2 h²)

For å bestemme koeffisient B blir den tredje ligningen av den første trukket fra og B renser seg:

B = [f (xi+2) - f (xi)] = 2 h.

Oppsummert har andre grads polynom P (x) som passerer gjennom punktene Qi, Qi+1 og Qi+2 koeffisienter:

A = [f (xi) - 2 f (xi+1)+f (xi+2)] / (2 h²)

B = [f (xi+2) - f (xi)] = 2 h

C = f (xi+1)

Beregning av omtrentlig integral i [xi, xi+2]

Omtrentlig beregning av integralen i [a, b]

Som allerede sagt, på det totale integrasjonsintervallet [a, b] en partisjon x0, x1, x2, ..., xn -1, xn med trinn h = xi+1 - xi = (b - (b -) / n, der n er et par.

Kan tjene deg: Prøvetakingsfeil: Formler og ligninger, beregning, eksempler

Da er integralen som er definert i det totale intervallet [a, b] summen av integralene i underintervallene [xi, xi+2], som nærmer seg integralene til interpolasjonspolynomene P (x):

I forrige seksjon ble formelen for polynomintegraler i underintervallene funnet. Bruke dette resultatet på hvert integral har:

Som kan skrives om på en mer kompakt måte som følger:

Tilnærmingsfeil

Hvis funksjonen du vil integrere i intervallet [a, b] har avledet fjerde orden, kontinuerlig i det intervallet, er det mulig å finne en formel som gjør det mulig av Simpson Sn -formel For verdien av integralen:

Merk at feilen avtar med den fjerde kraften i intervallet underavdelingsnummer. Hvis du for eksempel går fra N underavdelinger til 2N, synker feilen med en 1/16 -faktor.

Det øvre feilnivået oppnådd ved Simpson -tilnærmingen kan oppnås fra denne samme formelen, og erstatte det fjerde derivatet med den maksimale absolutte verdien av det fjerde derivatet i intervallet [A, B].

Løste eksempler

- Eksempel 1

Tenk på funksjonen f (x) = 1 / (1 + x²). 

Finn den definerte integralen av F (x) -funksjonen i intervallet [-1, 1] ved bruk av Simpson-metoden med to underavdelinger (n = 2).

Løsning 

Er tatt n = 2. Integrasjonsgrensene er a = -1 og b = -2, da er partisjonen slik: 

X0 = -1; X1 = 0 og x2 = +1.

Derfor vedtar Simpsons formel som følger:

Med n = 2 → xo = -1, x1 = 0; x2 = 1, derfor:

- Eksempel 2

Tenk på funksjonen f (x) = 1 / (1 + x²). 

Finn den definerte integralen av funksjonen f (x) i intervallet [-1, 1] av Simpson-formelen med fire underavdelinger (n = 4).

Det kan tjene deg: estimering etter intervaller

Løsning 

Er tatt n = 4. Integrasjonsgrensene er a = -1 og b = -2, da er partisjonen slik: 

X0 = -1; X1 = -1/2; X2 = 0; X3 = 1/2 og x4 = +1.

Simpsons formel er etablert som følger:

Integral ≃ [(b -a)/(3 n)] [f (x0) + 4 i + 2 p + f (xn)]

For tilfellet det blir brukt, er det som følger:

Integral ≃ (1- (1))/(3⋅4)] [F (-1) + 4 [F (-½) + F (½)] + 2 [F (0)] + F (1)

Integral ≃ (2/12) [½ + 4 (⅘ + ⅘) + 2⋅1 + ½] = (⅙) [47/5] = 47/30 = 1.5666

- Eksempel 3

Bestem det definerte integralet av de foregående eksemplene nøyaktig og foreta en sammenligning av det nøyaktige resultatet med de som er oppnådd av Simpson -formelen i eksempler 1A og 1B.

Løsning 

Det ubestemte integralet av funksjonen f (x) = 1 / (1 + x²) er funksjonen Arctan (x).

Når du evaluerer integrasjonsgrensene:

Integral = Arctan (1) - Arctan (-1) = π/4 - (-π/4) = π/2 = 1,5708

Hvis vi sammenligner resultatet av den nøyaktige løsningen med den som er oppnådd ved Simpson -metoden med n = 2 og n = 4, har vi:

For n = 2 er forskjellen mellom den eksakte og den omtrentlige løsningen π/2 -5/3 = -0959, det vil si en prosentvis forskjell på -0,06%.

Og for Simpson -tilnærmingen med n = 4, er forskjellen mellom den nøyaktige og den omtrentlige løsningen π/2 - 47/30 = 0,0041, det vil si en prosentvis forskjell på 0,003%.

Foreslått trening

Simpsons metode er egnet for å bli brukt på programmeringsspråk og dataprogrammer rettet mot matematiske beregninger. Det foreslås for leseren som, basert på formlene gitt i denne artikkelen, skriver sin egen kode i favorittprogrammet sitt.

Følgende figur viser en øvelse der Simpson -formelen er implementert i Smath Studio, Gratis programvare tilgjengelig for operativsystemer Vinduer og Android.

Figur 3. Eksempel på numerisk integrasjon gjennom Simpson -regelen ved hjelp av programvare. Kilde: f. Zapata.

Referanser

1. Casteleiro, J. M. 2002. Omfattende beregning (Illustrated Edition). Madrid: ESIC -redaksjon.
2. UPV. Simpson -metoden. Polytechnic University of Valencia. Gjenopprettet fra: YouTube.com
3. Purcell, e. 2007. Niende utgaveberegning. Prentice Hall.
4. Wikipedia. Simpson -regel. Gjenopprettet fra: er.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Lagrange Polynomial interpolasjon. Gjenopprettet fra: er.Wikipedia.com