Halvsirkel hvordan beregne omkretsen, området, centroid, øvelser

Han halvsirkel Det er en flat figur avgrenset av en diameter på omkretsen og en av de to flate sirkulære buer bestemt av nevnte diameter.

På denne måten grenser en halvsirkel av en Halvirkumferanse, som består av en flat sirkulær lysbue og et rett segment som forbinder endene av den flate sirkulære buen. Halvsirkelen dekker halvsirkelen og alle interiørene peker på det samme.

Figur 1. Radio R Radio -halvsirkel. Kilde: f. Zapata.

Vi kan se dette i figur 1, som viser en radio r rión r, hvis mål er halvparten av diameteren ab. Legg merke til at i motsetning til en sirkel, der det er uendelige diametre, er det i halvsirkelen bare en diameter.

Halvirkelen er en geometrisk figur med mange bruksområder innen arkitektur og design, som vi ser i følgende bilde:

Figur 2. Seminicírculo som et dekorativt element i arkitektur. Kilde: Pikist.

[TOC]

Elementer og mål for en halvsirkel

Elementene i en halvcirkel er:

1.- Den flate sirkulære buen A⌒B

2.- Segmentet [AB] 

3.- Interiøret peker på halvcirkel sammensatt av A⌒B -buen og segmentet [AB].

Omkretsen av en halvsirkel

Omkretsen er summen av konturen til Arch Plus den for det rette segmentet, derfor:

Omkrets = ARC Lengde A⌒B + segmentlengde [AB]

I tilfelle av en radiopålesirkel r vil dens omkrets p bli gitt av formelen:

P = π⋅r + 2⋅r = (π + 2) ⋅r

Den første begrepet er halvparten av omkretsen av en radius r -omkrets, mens den andre er lengden på diameteren, som er dobbelt så stor radius.

Kan tjene deg: termometriske skalaer

Område av en halvsirkel

Ettersom en halvsirkel er en av de flate kantete sektorene som gjenstår ved å trekke en diameter gjennom omkretsen, vil dens område A være halvparten av sirkelområdet som inneholder radio -halvsirkelen R:

A = (π⋅r²) / 2 = ½ π⋅r²

Centroid av en halvsirkel

Centroid av en halvcirkel er på sin symmetriaks til en høyde målt fra dens diameter på 4/(3π) ganger radius r.

Dette tilsvarer omtrent 0,424⋅R, målt fra midten av halvsirkelen og på dens symmetriaks, som vist i figur 3.

Figur 3. Halvsirkel av radio R, som indikerer formlene for å bestemme området, omkretsen og plasseringen av dets centroid. Kilde: f. Zapata.

Treghetsmoment av en halvsirkel

Treghetsmomentet til en flat figur er definert med hensyn til en akse, for eksempel X -akse, for eksempel:

Integralen av kvadratet av avstanden til punktene som tilhører figuren til aksen, og integrasjonsdifferensialet er et uendelig område av område, tatt i posisjonen til hvert punkt. 

Figur 4 viser definisjonen av treghetsmomentet I_x av halvsirkelen til radio r, med hensyn til x -aksen som passerer gjennom dens diagonal:

Figur 4. Definisjon av treghetsmoment ix av en halvcirkel med hensyn til x -aksen som passerer gjennom dens diagonale. Resultatet vises for treghetsmomentene med hensyn til x- og y -aksene. Kilde: f. Zapata.

Treghetens øyeblikk med hensyn til x -aksen er gitt av:

Yo_x = (π⋅r⁴) / 8

Og treghetens øyeblikk med hensyn til symmetriaksen og er:

Kan tjene deg: bølgende optikk

Iy = (π⋅r⁴) / 8

Det viser at begge treghetsmomenter sammenfaller i formelen, men det er viktig å understreke at de blir henvist til forskjellige akser.

Registrert vinkel

Vinkelen som er registrert i halvsirkelen er alltid 90º. Uansett hvilken del av buen som blir ført til punktet, er vinkelen som dannes mellom sidene AB og BC på figuren alltid rett.

Figur 5. Vinkel registrert i halvsirkelen. Kilde: Math Open Reference.

Løste øvelser

Oppgave 1 

Bestem omkretsen til en 10 cm radius -halvsirkel.

Løsning

Husk at omkretsen avhengig av radius er gitt av formelen vi så tidligere:

P = (2 + π) ⋅r

P = (2 + 3.14) ⋅ 10 cm = 5,14 ⋅ 10 cm = 51,4 cm.

Oppgave 2

Finn området på en 10 cm radiopål.

Løsning

Formelen for området til en halvsirkel er:

A = ½ π⋅r² = ½ π⋅ (10 cm)² = 50π cm² = 50 x 3,14 cm² = 157 cm².

Øvelse 3

Bestem høyden H på centroidet til en radius -halvsirkel R = 10 cm målt fra basen, og den samme er diameteren til halvsirkelen. 

Løsning

Centroid er halvsirkelens likevektspunkt, og dens posisjon er på symmetriaksen i en høyde H av basen (halvcirkelieter):

H = (4⋅r) / (3π) = (4⋅10 cm) / (3 x 3,14) = 4 246 cm

Oppgave 4

Finn treghetsmomentet til en halvsirkel med hensyn til aksen som sammenfaller med dens diameter, vel vitende om at halvsirkelen er laget av et tynt ark. Radius er 10 cm og massen er 100 gram.

Løsning

Formelen som gir treghetsmomentet til halvcirkelen er:

Kan tjene deg: Solid State Physics: Egenskaper, struktur, eksempler

Yo_x = (π⋅r⁴) / 8

Men som problemet forteller oss at det er en material halvsirkel, må det forrige forholdet multipliseres med overflatetettheten til halvsirkelmasse, som vil bli betegnet med σ.

Yo_x = σ (π⋅r⁴) / 8

Vi bestemmer da σ, som ikke er noe annet enn massen i halvsirkelen delt mellom området av det samme.

Området ble bestemt i oppgave 2 og resultatet var 157 cm². Da vil den overfladiske tettheten av denne halvsirkelen være:

σ = 100 gram / 157 cm² = 0,637 g/cm²

Da vil treghetsmomentet med hensyn til diameteren bli beregnet som følger:

Yo_x = (0,637 g/cm²) [3,1416 ⋅ (10 cm)⁴]/ 8

Resulterende:

Yo_x = 2502 g⋅cm²

Oppgave 5

Bestem treghetsmomentet til en radius halvcirkel 10 cm bygget av et materialark med en overflatetetthet på 0,637 g/cm² av en akse som passerer gjennom centroid og er parallell med diameteren.

Løsning

For å løse denne øvelsen er det nødvendig å huske Steiner's teorem om treghetsmomenter av parallelle akser, som sier:

Treghetsmomentet i med hensyn til en akse som er på avstand H av centroid er lik summen av treghetsmomentet I_c Når det.

I = i_c + M h²

I vårt tilfelle er det kjent at det er treghetsmomentet med hensyn til diameteren, som allerede var beregnet i oppgave 4. H vet også mellom diameteren og centroid, som ble beregnet i oppgave 3.

Vi må bare tømme IC:

Yo_c = I - m h²

Yo_c = 2502 g⋅cm² - 100g ⋅ (4246 cm)² noe som resulterer i treghetsmomentet av en akse parallelt med diameteren og som går gjennom centroid er: 

Yo_c = 699,15 g⋅cm²

Referanser

1. Alexander, d. 2013. Geometri. 5. plass. Utgave. Cengage Learning.
2. Matematikk åpen referanse. Halvsirkel. Gjenopprettet fra: Mathpenref.com.
3. Universformler.Halvsirkel. Gjenopprettet fra: Universoformulas.com.
4. Universformler. Område av en halvsirkel. Gjenopprettet fra: Universoformulas.com.
5. Wikipedia. Halvsirkel. Hentet fra: i.Wikipedia.com.