Revolution faste stoffer volum, typer, løste øvelser

Han Revolution Solid Det er den tre -dimensjonale figuren som genereres ved rotasjon av en flat overflate rundt den aksiale aksen eller revolusjonsaksen. Figur 1 viser en animasjon av et faststoff av revolusjon generert på denne måten.

Et annet veldig enkelt eksempel å visualisere er å generere en rett sirkulær sylinder, rotere et rektangel med høyde eller lang H og radio R, rundt den positive x -aksen (figur 2). For å finne volumet er det en kjent formel:

V = baseareal x høyde

Figur 1. Figuren generert ved rotasjon av en Sen X -kurve. Kilde: Wikimedia Commons. Macks/CC By-SA (https: // CreativeCommons.Org/lisenser/by-SA/2.5).

Andre revolusjonsfaststoffer er sfæren, den rette sirkulære kjeglen og forskjellige figurer, i henhold til overflaten plassert i rotasjon og selvfølgelig den valgte aksen.

Figur 2. Generering av en rett sirkulær sylinder og en sfære. Kilde: Wikimedia Commons.

For eksempel å rotere halvcirkelen rundt en linje parallelt med diameteren, oppnås et fast stoff av hul revolusjon.

For sylinderen, kjeglen, sfæren, både massiv og hull, er det formler for å finne volumet, som avhenger av radius og høyde. Men når det genereres av andre overflater, beregnes volumet av definerte integraler.

[TOC]

Typer revolusjons faste stoffer

Revolution faste stoffer kan klassifiseres i henhold til kurven som genererer dem:

Sfære

Det er nok til å rotere en halvsirkel rundt en akse som vil være diameteren på radio R -sfæren. Volumet er:

V_sfære = (4/3) πr³

Fitte

For å få en H- og radio R -kjegle, må overflaten som må. Volumet er:

V_Fitte = (1/3) πhr²

Sylinder

Å rotere et rektangel rundt en aksial akse som passerer gjennom en sider, som kan være kortsiden eller langsiden, oppnås en rett sirkulær sylinder av radius r og høyde h, hvis volum er:

Kan tjene deg: tau (geometri): Lengde, teorem og øvelser

V_sylinder = πr²H

Toroid

Oksen har form av en smultring. Det oppnås ved å rotere et sirkulært område rundt en linje i flyet som ikke krysser sirkelen. Volumet er gitt av:

V_Toroid = 2πa²R

Hvor A er tverrseksjonens radius og r er toroidens radius i henhold til ordningen som er presentert i figuren:

Figur 3. Toroiddimensjoner. Kilde: Wikimedia Commons.

Metoder for beregning av volumet av en faste revolusjon

I integrert beregning er disse to metodene hyppige:

-Plater og skiver

-Skjell

Plate metode eller skiver

Når skive et solid av revolusjon.

Anta at en flat region roteres rundt den horisontale aksen. Fra det flate området tar vi et lite Δx bredde rektangel, som roteres vinkelrett rundt den aksiale aksen.

Høyden på rektangelet er mellom den ytterste kurven R (x) og den mest indre r (x). De tilsvarer henholdsvis den ytre radius og indre radio.

Når du gjør denne rotasjonen, genereres en ΔV volumskive, gitt av:

ΔV = fullt volum - hullvolum (hvis noen)

Husker at volumet til en rett sirkulær sylinder er π. radio² x høyde, vi har:

ΔV = π [r²(x) - r²(x)] Δx

Det faste stoffet kan deles inn i et mangfold av små porsjoner volum ΔV. Hvis vi legger til dem alle, vil vi ha fullt volum.

For å gjøre dette vil vi ha en tendens til å 0 volumet ΔV, som også blir veldig lite, og blir en DX -differensial.

Det kan tjene deg: gjensidig ikke -eksklusive hendelser: egenskaper og eksempler

Dermed har vi et integrert:

V = ∫_til^b π [r²(x) - r²(x)] dx

Figur 3. Skiver metode. Kilde: Larson. R. Beregning.

I tilfelle det faste stoffet er solid, så er funksjonen r (x) = 0, skiven av det faste stoffet som genereres er en plate og volumet gjenstår:

V = ∫_til^b πr²(x) dx

Når revolusjonsaksen er vertikal, tar de tidligere ligningene formen:

V = ∫_til^b π [r² (Y) - r² (y)] dy og v = ∫_til^b πr²(Y) Dy

Lag

Som navnet påpeker, er denne metoden å anta at det faste stoffet er sammensatt av differensielle tykke lag. Laget er et tynt rør som stammer fra et rektangel parallelt med rotasjonsaksen parallelt med rotasjonsaksen.

Figur 4. Et sylindrisk lag med høyde 2, langt H og radius P. Kilde: Larson, R. Beregning.

Vi har følgende dimensjoner:

-Høyden på rektangelet W

-Dens lengdegrad h

-Avstanden fra midten av rektangelet til rotasjonsaksen p

Å vite at volumet på laget er Utendørs volum - Interiørvolum:

π (P + w/2)²H - π (P - W/2)²h

Når du utvikler bemerkelsesverdige produkter og forenkling, oppnås det:

Lagvolum = 2π⋅p⋅w⋅h

La oss nå lage høyden med rektangelet Δy, som sett i følgende figur:

Figur 5. Horisontal revolusjonsakselagsmetode. Kilde: Larson, R. Beregning av en variabel.

Med dette er volumet ΔV:

ΔV = 2π P x H x Δy

Og lage antall lag n Vær veldig stor, Δy blir en differensiell dy, slik at det totale volumet er integralen:

V = ∫_c^d 2π p (y) h (y) dy

Den beskrevne prosedyren brukes på samme måte når revolusjonsaksen er vertikal:

Figur 6. Lagmetode for vertikal revolusjonsaks. Kilde: Larson, R. Beregning av en variabel.

Trening løst

Finn volumet som genereres av rotasjonen av det flate området mellom kurvene:

y = x²;  y = 0; x = 2

Rundt aksen og.

Kan tjene deg: negativ homotecia

Løsning

-Den første tingen å gjøre er å tegne regionen som vil generere revolusjonen fast og påpeke svingaksen. Vi har det i følgende graf:

Figur 7. Graf over kurvene for øvelsen løst. Kilde: f. Zapata med Geogebra.

-Nå er krysset mellom kurven y = x søkt² og linjen x = 2. For sin del er linjen y = 0 ingen ringere enn x -aksen.

Det er lett å advare at lignelsen og linjen krysser hverandre på punktet (2,4), som er bekreftet ved å erstatte x = 2 på y = x².

-Deretter velges en av metodene for å beregne volumet, for eksempel lagmetoden med vertikal revolusjonsakse:

V = ∫_til^b 2π p (x) h (x) dx

Trinn 1: Tegn rektangelet

Figur 8. Rektangel for det løste eksemplet. Kilde: f. Zapata med Geogebra.

Viktig: I lagmetoden er langsiden av rektangelet parallelt med rotasjonsaksen.

Trinn 2: Bestem P (x)

Laget av laget er x

Trinn 3: Bestem H (x)

Høyden på rektangelet bestemmes av lignelse x².

Trinn 4: Etablere og løse volumintegralet

Integrasjonsvariabelen er x, som varierer mellom 0 og 2, med dette har vi integrasjonsgrensene. Erstatte uttrykk for p (x) og h (x)

 Noen øvelser kan løses ved begge metodene. Kan leseren løse dette med skivermetoden?

Referanser

1. Larson, r. 2010. Beregning av en variabel. 9na. Utgave. McGraw Hill.
2. Purcell, e. 2007. Beregning med analytisk geometri. 9na. Utgave. Pearson Education.
3. Wikipedia. Solid av revolusjon. Hentet fra: i.Wikipedia.org.
4. Wikipedia. Toroid. Gjenopprettet fra: er.Wikipedia.org.
5. Wolfram Mathworld. Solid av revolusjon. Gjenopprettet fra: Mathworld.Wolfram.com.