Teorem om eksistens og unikhetsdemonstrasjon, eksempler og øvelser

Han Eksistens og unikhetsteorem etablerer de nødvendige og tilstrekkelige betingelsene for en første -ordens differensialligning, med en gitt innledende tilstand, for å ha en løsning, og at denne løsningen også er den eneste. 

Teoremet gir imidlertid ingen teknikk eller indikasjon på hvordan du finner en slik løsning. Eksistensen og unikhetsteoremet strekker seg også til differensialligninger av høyere orden med innledende forhold, noe som er kjent som Cauchy -problem.

Figur 1. En differensialligning med starttilstand og dens løsning vises. Eksistensen og unikhet teorem garanterer at det er den eneste mulige løsningen.

Den formelle uttalelsen om eksistensen og unikhetsteoremet er som følger:

"For en differensialligning og '(x) = f (x, y) med innledende tilstand og (a) = b,  eksisterer minst en løsning i et rektangulært område av flyet Xy inneholder punktet (A, b), Ja f (x, y) Det er kontinuerlig i den regionen. Og hvis det delvise derivatet av F med respekt for og: G = ∂f/ ∂y Det er kontinuerlig i det samme rektangulære området, så løsningen er unik i et miljø på punktet (A, b) innhold i kontinuitetsregionen i F og g.""

Nytten av dette teoremet ligger først til å vite hva som er regionene i XY -planet der det kan være en løsning og også vite om løsningen som er funnet er den eneste mulige, eller om det er andre. 

Legg merke til at i tilfelle at tilstanden til unik.

[TOC]

Demonstrasjon av eksistensen og unikhetsteoremet

Figur 2. Til Charles Émile Picard (1856-1941) En av de første demonstrasjonene av eksistensen og unikhetsteoremet er akkreditert. Kilde: Wikimedia Commons.

For dette teoremet er det kjent to mulige demonstrasjoner, en av dem er demonstrasjonen av Charles Émile Picard (1856-1941) og den andre skyldes Giuseppe Peano (1858-1932) basert på verkene til Augustin Louis Cauchy (1789-1857 ).

Kan tjene deg: Samtidig vektorer: Kjennetegn, eksempler og øvelser

Det skal bemerkes at de lyseste matematiske sinnene på det nittende århundre deltok i demonstrasjonen av dette teoremet, så det kan være intuitt at ingen av dem er enkle.

For formelt å demonstrere teoremet, er det nødvendig å først etablere en serie med mer avanserte matematikkbegreper, for eksempel Lipschitz -type funksjoner, Banach -rom, Caratheodory og flere flere eksistensteorem, som unnslipper formålet med artikkelen.

En stor del av differensialligningene som håndteres i fysikk omhandler kontinuerlige funksjoner i regionene av interesse, derfor vil vi begrense oss til å vise måten teoremet brukes i enkle ligninger.

Eksempler

- Eksempel 1

Tenk på følgende differensialligning med en innledende tilstand:

og '(x) = - y; med og (1) = 3

Er det en løsning for dette problemet? Er det den eneste mulige løsningen?

Svar

For det første blir eksistensen av løsningen av differensialligningen evaluert og at den også oppfyller den opprinnelige tilstanden. 

I dette eksemplet f (x, y) = - y Eksistentens tilstand krever å vite om  f (x, y) Det er kontinuerlig i et flyregion Xy Inneholder koordinatpunktet x = 1, y = 3.

Men f (x, y) = -y Det er den relatert funksjon, som er kontinuerlig i domenet til reelle tall og eksisterer i hele spekteret av reelle tall.

Derfor konkluderes det med at f (x, y) er kontinuerlig i r², Så teorem garanterer eksistensen av minst en løsning.

Å vite dette, er det på tide å vurdere om løsningen er unik eller om det tvert imot er mer enn en. For dette er det nødvendig å beregne delvis derivat av F Angående variabelen og:

∂f/∂y = ∂ (-y)/∂y = -1

Så G (x, y) = -1 som er en konstant funksjon, som også er definert for alle r² Og det er også kontinuerlig der. Det følger at eksistensen og unikhetsteorem garanterer at dette innledende verdiproblemet har en unik løsning, selv om det ikke forteller oss hva det er.

Kan tjene deg: konveks polygon: definisjon, elementer, egenskaper, eksempler

- Eksempel 2

Tenk på følgende første ordre vanlig differensialligning med innledende tilstand:

og '(x) = 2√y; og (0) = 0.

Er det en løsning og (x) for dette problemet? I så fall, bestemme om det er en eller flere enn en.

Svar

Vi vurderer funksjonen f (x, y) = 2√y. Funksjonen F er bare definert for y≥0, Vel, vi vet at et negativt tall mangler ekte rot. I tillegg f (x, y) Det er kontinuerlig i øvre semplan av r²  inkludert x -aksen, så Eksistensen og unikhetsteorem garantier Minst en løsning i den regionen.

Nå er den opprinnelige tilstanden x = 0, y = 0 i kanten av løsningsregionen. Så tar vi det delvise derivatet av f (x, y) med hensyn til y:

∂f/∂y = 1/√y

I dette tilfellet er ikke funksjonen definert for y = 0, nettopp der den opprinnelige tilstanden er.

Det som forteller oss teoremet? Den forteller oss at selv om vi vet at det er minst en løsning den øvre semplanen til x -aksen inkludert x -aksen, ettersom tilstanden til unikhet ikke er oppfylt, er det ingen garanti for at det er en enkelt løsning.

Dette betyr at det kan være en eller flere av en løsning i kontinuitetsområdet til F (x, y). Og som alltid forteller teoremet oss ikke hva som kan være.

Løste øvelser

- Oppgave 1

Løs Cauchy -problemet i eksempel 1:

og '(x) = - y; med og (1) = 3. 

Finn funksjonen y (x) som tilfredsstiller differensialligningen og den opprinnelige tilstanden.

Løsning

I eksempel 1 ble det bestemt at dette problemet har en løsning og også er unik. For å finne løsningen, er det første som bør legges merke til at det er en første grads differensialligning av separerbare variabler, som er skrevet som følger:

Kan tjene deg: Variasjonskoeffisient: Hva er det for, beregning, eksempler, øvelser

dy /dx = - og → dy = -y dx

Deling mellom og i begge medlemmer for å skille variablene vi har:

dy/y = - dx

Ubestemt integrert i begge medlemmene brukes:

∫ (1/y) dy = - ∫dx

Å løse de ubestemte integralene er:

ln (y) = -x + c

hvor C er en konstant av integrasjon som bestemmes av den opprinnelige tilstanden:

ln (3) = -1 + c, det vil si at c = 1 + ln (3)

Å erstatte verdien av C og omorganisere er:

ln (y) - ln (3) = -x + 1

Bruke følgende egenskap av logaritmene:

Forskjellen i logaritmer er kvotientlogaritmen

Det forrige uttrykket kan skrives om slik:

ln (y/3) = 1 - x

Den eksponentielle funksjonen brukes med begge medlemmene for å oppnå:

Y / 3 = e^{(1 - x)}

Som tilsvarer:

 y = 3e e^-x

Dette er den unike løsningen av ligningen og '= -y med y (1) = 3. Grafen til denne løsningen er vist i figur 1.

- Oppgave 2

Finn to løsninger på problemet reist i eksempel 2:

og '(x) = 2√ (y); og (0) = 0.

Løsning

Det er også en ligning av separate variabler, som er skrevet differensielt gjenstår:

Dy / √ (y) = 2 dx

Å ta det ubestemte integralet i begge medlemmer gjenstår:

2 √ (y) = 2 x + c

Som kjent det y≥0 I løsningsregionen har vi:

y = (x + c)² 

Men ettersom den opprinnelige tilstanden x = 0, må y = 0 oppfylles, så er konstanten C null og følgende løsning gjenstår:

og (x) = x².

Men denne løsningen er ikke unik, funksjonen y (x) = 0 er også en løsning av problemet som reises. Eksistensen og unikhetsteoremet gjaldt dette problemet i eksempel 2 hadde allerede spådd at det kunne være mer enn en løsning.

Referanser

1. Coddington, jarl a.; Levinson, Norman (1955), Theory of Ordinary Differential Equations, New York: McGraw-Hill.
2. Encyclopedia of Mathematics. Cauchy-Lipschitz teorem. Gjenopprettet fra: EncyclopediaofMath.org
3. Lindelöf, South l'A A anvendelse av Methode des a tilnærminger suksessiver aux Équations différentielles ordinærer du premier ordre; Compttes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Anc Acadequie des Sciences. Vol. 116, 1894, s. 454-457. Gjenopprettet fra: Gallisk.Bnf.fr.
4. Wikipedia. Picards påfølgende tilnærmingsmetode. Gjenopprettet fra: er.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Picard-Lindelöf teorem. Gjenopprettet fra: er.Wikipedia.com.
6. Zill, d.1986. Elementære differensialligninger med applikasjoner.Prentice Hall.