Grunnleggende teorem om aritmetisk demonstrasjon, applikasjoner, øvelser

Han Det grunnleggende teoremet til aritmetikk Han uttaler at ethvert naturlig tall større enn 1 kan brytes ned som et produkt av primtall - å holde noen - og denne formen er unik for det tallet, selv om rekkefølgen på faktorene kan være annerledes.

Husk at et primtall p Det er den som bare innrømmer som positive deling av seg selv og 1. Følgende tall er søskenbarn: 2, 3, 5, 7, 11, 13 og så videre, siden det er uendelig. Nummer 1 regnes ikke som fetter, for å ha en enkelt divisor.

Figur 1. Euclides (til venstre) demonstrerte det grunnleggende teoremet om aritmetikk i sine bokelementer (350 a.C.), Og den første komplette demonstrasjonen skyldes Carl f. Gauss (1777-1855) (til høyre). Kilde: Wikimedia Commons.

For deres del kalles tall som ikke oppfyller ovennevnte sammensatte tall, Som 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 ... la oss ta nummer 10 for eksempel, og umiddelbart ser vi at det kan brytes ned som et produkt av 2 og 5:

10 = 2 × 5

Både 2 og 5 er faktisk primtall. Teoremet sier at dette er mulig for et hvilket som helst tall n:

Hvor p₁, p₂, p₃... s_r De er primtall og k₁, k₂, k₃,... k_r De er naturlige tall. Slik at primtall fungerer som murstein som, ved multiplikasjon, naturlige tall bygges.

[TOC]

Demonstrasjon av det grunnleggende teoremet til aritmetikk

Det begynner å demonstrere at hvert tall kan dekomponere i primefaktorer. Være et naturlig tall n> 1, fetter eller sammensatt.

For eksempel hvis n = 2, kan det uttrykkes som: 2 = 1 × 2, som er fetter. På samme måte som vi fortsetter med følgende tall:

3 = 1 × 3

4 = 2 × 2

5 = 1 × 5

6 = 2 × 3

7 = 1 × 7

8 = 2 × 2 × 2

Vi fortsetter slik, og dekomponerer alle naturlige tall til vi når nummer n -1. La oss se om vi kan gjøre det med nummeret som følger: n.

Hvis n er fetter, kan vi dekomponere det som n = 1 × n, men antar at n er sammensatt og har en divisor d, logisk mindre enn n:

Kan tjene deg: Beskrivende statistikk: Historie, egenskaper, eksempler, konsepter

1< d < n.

Ja n/d = p₁, med s₁ Et primtall, da er n skrevet som:

n = p₁.d

Hvis D er fetter er det ikke noe mer å gjøre, men hvis det ikke er det, er det et tall n₂ som er en divisor av d og mindre enn dette: n₂ < d, por lo que d podrá escribirse como el producto de n₂ For et annet fetternummer P₂:

d = s₂ n₂

At ved å bytte ut i det opprinnelige tallet n ville gi:

n = p₁ .p₂ .n₂

Anta nå n₂ Det er heller ikke et primtall, og vi skriver det som produkt av et primtall P₃, for en divisor av hans₃, slik at n₃ < n₂ < n₁ < n:

n₂ = s₃.n₃ → n = p₁ p₂ p₃.n₃

 Vi gjentar denne prosedyren et begrenset antall ganger til du får:

n = p₁.p₂.p₃ ... s_r

Dette betyr at det er mulig å dekomponere alle hele tall fra 2 til nummer n, som et produkt av primtall.

Unikhet av nedbrytning i primære faktorer

La oss bekrefte at bortsett fra faktorens rekkefølge, er denne nedbrytningen unik. Anta at du kan skrive på to måter:

n = p₁.p₂.p₃ ... s_r = q_1.q₂.q₃... q_s  (med r ≤ s)

Selvfølgelig q₁, q₂, q₃... de er også primtall. Som s₁ Del til (q_1.q₂.q₃... q_s) Deretter s₁ Det er lik noen av "q", uansett Som, så vi kan si at P₁ = q₁. Vi deler n mellom P₁ Og vi får:

p₂.p₃ ... s_r =_.q₂.q₃... q_s

Vi gjentar prosedyren for å dele alt mellom P_r, Så får vi:

1 = q_R+1... q_s

Men det er ikke mulig å komme til Q_R+1... q_s = 1 når r < s, solo si r = s. Aunque al admitir que r = s, también se admite que los “p” y los “q” son los mismos. Por lo tanto la descomposición es única.

applikasjoner

Som vi har sagt før, representerer primtallene hvis du vil, atomene i tallene, deres grunnleggende komponenter. Så det grunnleggende teoremet til aritmetikk har mange applikasjoner, den mest åpenbare: vi kan jobbe lettere med stort antall hvis vi uttrykker dem som et produkt av mindre tall.

Kan tjene deg: Hele tall

På samme måte kan vi finne den maksimale vanlige multiplen (m.c.m.) og den maksimale vanlige divisoren (m.C.D.), En prosedyre som hjelper oss å gjøre summer av brøk lettere, finne røtter med stort antall eller operere med radikaler, rasjonalisere og løse problemer med anvendelse av veldig mangfoldig karakter.

I tillegg er primtallene ekstremt gåtefulle. Et mønster er ennå ikke gjenkjent i dem, og det er ikke mulig å vite hva følgende vil være. Den største inntil tider ble funnet av datamaskiner og har 24.862.048 sifre, Selv om de nye primtallene vises sjeldnere hver gang hver gang.

Primo tall i naturen

Cicadas, sykelag eller chicharras som bor nordøst i USA dukker opp i 13 eller 17 år sykluser. Begge er primtall.

På denne måten unngår Chicharras sammenfallende med rovdyr eller konkurrenter som har andre fødselsperioder, og heller ikke de forskjellige Chicharra -variantene konkurrerer med hverandre, siden de ikke sammenfaller i løpet av samme år.

Figur 2. Den magiske Cicada del Este of the United States dukker opp hvert 13. eller 17. år. Kilde: PXFuel.

Primo -tall og online kjøp

Primo -tall brukes i kryptografi for å oppbevare detaljene om kredittkort når du kjøper online kjøp. På denne måten kommer dataene som kjøperen kommer nettopp til butikken uten å gå seg vill eller falle i skruppelløse mennesker.

Som? Kortdata er kodet i et tall n som kan uttrykkes som produktet av primtall. Disse primtallene er nøkkelen som avslører dataene, men de er ukjente for publikum, de kan bare dekodes på nettet de er rettet.

Å dekomponere et tall til faktorer er en enkel oppgave hvis tallene er små (ser øvelsene løst), men i dette tilfellet brukes de som viktige primtall på 100 sifre, som ved å multiplisere dem gir mye større tall, hvis detaljert nedbrytning innebærer en stort arbeid.

Kan tjene deg: punktlig estimat

Løste øvelser

- Oppgave 1

Nedbryt 1029 i primære faktorer.

Løsning

1029 er delbar med 3. Det er kjent fordi ved å legge til sifrene dine er summen et multiplum av 3: 1+0+2+9 = 12. Ettersom rekkefølgen på faktorene ikke endrer produktet, kan vi starte der:

1029 3

343

1029 = 3 × 343

På den annen side 343 = 7³, så:

1029 = 3 × 7³ = 3 × 7 × 7 × 7

Og siden både 3 og 7 er primtall, er dette nedbrytningen av 1029.

- Oppgave 2

Faktor trinomial x² + 42x + 432.

Løsning

Trinomialen blir skrevet om i skjemaet (x+a). (x+b) Og vi må finne verdiene til a og b, slik at:

A+b = 42; til.B = 432

Tallet 432 dekomponerer til primfaktorer, og derfra er det valgt, av Tanteo, den aktuelle kombinasjonen for fakta lagt til 42.

432 = 2⁴ × 3³ = 23³× 2³ = 2⁴× 3² × 3 = ..

Herfra er det flere muligheter for å skrive 432:

432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72 .. .

Og alle kan bli funnet ved å kombinere produkter mellom primfaktorer, men for å løse den foreslåtte øvelsen, er den eneste adekvate kombinasjonen: 432 = 24 × 18 siden 24 + 18 = 42, da:

x² + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)

Referanser

1. Baldor, a. 1986. Praktisk teoretisk aritmetikk. Redaktør kulturfirma med amerikanske tekster s.TIL.
2. BBC verden. Den skjulte naturkoden. Hentet fra: BBC.com.
3. Fra Leon, Manuel.Primo Numbers: Internet Guardians. Gjenopprettet fra: Blogger.20 minutter.er.
4. Unam. Nummerteori I: Grunnleggende teorem om aritmetikk. Hentet fra: Theoriadenumeros.Wikidot.com.
5. Wikipedia. Det grunnleggende teoremet til aritmetikk. Gjenopprettet fra: er.Wikipedia.org.