Moivre teorem

Vi forklarer hva Moivres teorem er, vi demonstrerer og foreslår løste øvelser

Hva er Moivres teorem?

Han Moivre teorem Bruk grunnleggende algebraprosesser, for eksempel krefter og røtter ekstraksjon i komplekse tall. Teoremet ble uttalt av den anerkjente franske matematikeren Abraham de Moivre (1730), som assosierte de komplekse tallene med trigonometri.

Abraham Moivre gjorde denne foreningen gjennom uttrykk for brystet og coseno. Denne matematikeren genererte en slags formel som den er mulig.

Forklaring

Moivres teorem fastsetter følgende:

Hvis du har et komplekst tall i polarform z = r_Ɵ, Der R er modulen til det komplekse tallet Z, og vinkelen ɵ kalles amplitude eller argument for et hvilket som helst komplekst tall med 0 ≤ ɵ ≤ 2π, for å beregne dens n-denne kraften, vil det ikke være nødvendig å multiplisere den av seg selv n- tweces; Det vil si at det ikke er nødvendig å lage følgende produkt:

Zⁿ = z _* z _* z_{*… *} z = r_{Ɵ *} r_{Ɵ *} r_{Ɵ *... *} r_Ɵ   N-you.

For Contario sier teoremet at når du skriver Z i sin trigonometriske form, for å beregne den eneste kraften, fortsett som følger:

Ja z = r (cos ɵ + i _* sin ɵ) Så zⁿ = rⁿ (cos n*ɵ + i _* sin n*ɵ).

For eksempel, hvis n = 2, så z² = r²[cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)]. Hvis du må n = 3, så z³ = z² _* z. I tillegg:

z³ = r²[cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)] _* R [cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)] = r³[cos 3 (ɵ) + i sen 3 (ɵ)].

På denne måten kan de trigonometriske årsakene til brystet og kosinus oppnås for multipler av en vinkel, så lenge de trigonometriske årsakene til vinkelen er kjent.

På samme måte kan det brukes til å finne mer presise og mindre forvirrende uttrykk for n -denne roten til et komplekst tall z, slik at zⁿ = 1.

For å demonstrere Moivres teorem, brukes det matematiske induksjonsprinsippet: Hvis et heltall "A" har en "P" -egenskap, og hvis for ethvert heltall "n" større enn "A" som har eiendommen "P" se. Oppfyller at n + 1 har også "P" -egenskapen, så hele antallet som er større eller like at "A" har "P" -egenskapen.

Demonstrasjon av Moivres teorem

På denne måten gjøres demonstrasjonen av teorem med følgende trinn:

Induktiv base

Først blir det sjekket for n = 1.

Kan tjene deg: Curtosis: Definisjon, typer, formler, hva er det for for eksempel

Som z¹ = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ))¹ = r¹ (Cos ɵ + i _* Sen ɵ)¹ = r¹ [Cos (1_* Ɵ) + i _* Sen (1_* Ɵ)], det må n = 1 teoremet er oppfylt.

Induktiv hypotese

Formelen er ment å være sant for et positivt heltall, det vil si n = k.

z^k = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ))^k  = r^k (cos k ɵ + i _* sin k ɵ).

Bekreftelse

Det er bevist at det er sant for n = k + 1.

Som z^K+1= z^k _* Z, så z^K+1 = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ))^K+1 = r^k (Cos kɵ + i _* sin kɵ) _*  R (cos ɵ + i_* Senɵ).

Da multipliserer uttrykkene:

z^K+1 = r^K+1((cos kɵ)_*(cosɵ) + (cos kɵ)_*(Yo_*sinɵ) + (jeg _* sin kɵ)_*(cosɵ) + (i _* sin kɵ)_*(Yo_* Senɵ)).

For et øyeblikk blir faktoren r ignorert^K+1,  Og du får felles faktor I:

(Cos Kɵ)_*(cosɵ) + i (cos kɵ)_*(Senɵ) + I (Sen Kɵ)_*(cosɵ) + i²(Sen Kɵ)_*(Senɵ).

Som jeg² = -1, vi erstatter det i uttrykket og får:

(Cos Kɵ)_*(cosɵ) + i (cos kɵ)_*(Senɵ) + I (Sen Kɵ)_*(cosɵ) - (sin kɵ)_*(Senɵ).

Nå er den virkelige og imaginære delen bestilt:

(Cos Kɵ)_*(cosɵ) - (sin kɵ)_*(sinɵ) + i [(sin kɵ)_*(cosɵ) + (cos kɵ)_*(Senɵ)].

For å forenkle uttrykket blir trigonometriske identiteter av vinkler for kosinus og bihule brukt, som er:

cos (a+b) = cos a _* cos b - sen a _* sin b.

sin (a+b) = sen a _* cos b -cos a _* cos b.

I dette tilfellet er variablene vinklene ɵ og kɵ. Bruke trigonometriske identiteter, har du:

Cos Kɵ _* cosɵ -  sin kɵ _* sinɵ = cos (kɵ + ɵ)

sin kɵ _* cosɵ + cos kɵ _* sinɵ = sin (kɵ + ɵ)

På denne måten gjenstår uttrykket:

z^K+1 = r^K+1 (cos (kɵ + ɵ) + i _* Sin (Kɵ + ɵ))

z^K+1 = r^K+1(cos [(k +1) ɵ] + i _* sin [(k +1) ɵ]).

Dermed kan det demonstreres at resultatet er sant for n = k+1. Ved prinsippet om matematisk induksjon konkluderes det med at resultatet er sant for alle positive heltall; det vil si n ≥ 1.

Negativ hel

Moivres teorem brukes også når n ≤ 0. La oss vurdere en negativ hel "n"; Da kan "n" skrives som "-m", det vil si n = -m, å være "m" et positivt heltall. Derfor:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = (cos ɵ + i _* Sen ɵ) ^-m

For å oppnå eksponenten "m" på en positiv måte, er uttrykket skrevet omvendt:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos ɵ + i _* Sen ɵ) ^m

Kan tjene deg: Nullvinkel: Definisjon og egenskaper, eksempler, øvelser

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos mɵ + i _* sin mɵ)

Nå brukes det at hvis z = a+b*i er et komplekst tall, så 1 ÷ z = a-b*i. Derfor:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = cos (mɵ) - i _* Sen (Mɵ).

Ved å bruke den cos (x) = cos (-x) og at -sen (x) = sen (-x), må den:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = [cos (mɵ) - i _* Sin (Mɵ)]

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = cos (- mɵ) + i _* Sen (-Mɵ)

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = cos (nɵ) - i _* Sin (nɵ).

På denne måten kan det sies at teoremet gjelder alle verdiene til "n".

Løste øvelser

Positiv effektberegning

En av operasjonene med komplekse tall i sin polare form er multiplikasjonen mellom to av disse; I så fall multipliserer modulene og argumentene legges til.

Hvis du har to komplekse tall z₁ og z₂ Og du vil beregne (z₁*z₂)², Fortsett som følger:

z₁z₂ = [r₁ (Cos ɵ₁ + Yo _* Sen ɵ₁)] * [R₂ (Cos ɵ₂ + Yo _* Sen ɵ₂)]

Distributiv eiendom brukes:

z₁z₂ = r₁ r₂ (Cos ɵ_1* Cos ɵ₂ + Yo _* Cos ɵ_1* Yo _* Sen ɵ₂ + Yo _* Sen ɵ_1* Cos ɵ₂ + Yo²_* Sen ɵ_1* Sen ɵ₂).

De er gruppert og tegner begrepet "i" som en vanlig faktor av uttrykk:

z₁z₂ = r₁ r₂ [Cos ɵ_1* Cos ɵ₂ + Jeg (cos ɵ_1* Sen ɵ₂ + Sen ɵ_1* Cos ɵ₂) + i²_* Sen ɵ_1* Sen ɵ₂]

Som jeg² = -1, det erstattes i uttrykket:

z₁z₂ = r₁ r₂ [Cos ɵ_1* Cos ɵ₂ + Jeg (cos ɵ_1* Sen ɵ₂ + Sen ɵ_1* Cos ɵ₂) - Sen ɵ_1* Sen ɵ₂]

De virkelige begrepene med ekte og imaginære med imaginære er omgruppert:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos ɵ_1* Cos ɵ₂ - Sen ɵ_1* Sen ɵ₂) + i (cos ɵ_1* Sen ɵ₂ + Sen ɵ_1* Cos ɵ₂)]

Til slutt brukes trigonometriske egenskaper:

z₁z₂ = r₁ r₂ [Cos (ɵ₁ + Ɵ₂) + I Sen (ɵ₁ + Ɵ₂)].

For å konkludere:

(z₁*z₂)²= (r₁ r₂ [Cos (ɵ₁ + Ɵ₂) + I Sen (ɵ₁ + Ɵ₂)])²

= R₁²r₂²[cos 2*(ɵ₁ + Ɵ₂) + i sin 2*(ɵ₁ + Ɵ₂)].

Oppgave 1

Skriv det komplekse nummeret i polarform hvis z = - 2 -2i. Deretter bruker Moivres teorem z⁴.

Løsning

Det komplekse tallet z = -2 -2i er uttrykt i den rektangulære formen z = a +bi, hvor:

A = -2.

B = -2.

Å vite at den polare formen er z = r (cos ɵ + i _* Sen ɵ), er det nødvendig å bestemme verdien av modulen “R” og verdien av argumentet “ɵ”. Som r = √ (a²+b²), erstattes de gitte verdiene:

Det kan tjene deg: trigonometriske funksjoner: grunnleggende, i det kartesiske planet, eksempler, trening

R = √ (a²+b²) = √ ((-2) ²+(-2) ²)

= √ (4+4)

= √ (8)

= √ (4*2)

= 2√2.

For å bestemme verdien av “ɵ”, blir den rektangulære formen for dette brukt, som er gitt av formelen:

så ɵ = b ÷ a

Tan ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Som (ɵ) = 1 og det må<0, entonces se tiene que:

Ɵ = Arcan (1) +π.

= Π/4 +π

= 5π/4.

Som allerede oppnådd med verdien av "r" og "ɵ", kan det komplekse tallet z = -2 -2i uttrykkes i polarform som erstatter verdiene:

Z = 2√2 (cos (5π/4)+ i _* Sin (5π/4)).

Nå brukes Moivres teorem til å beregne z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5π/4)+ i _* Sin (5π/4))⁴

= 32 (cos (5π)+ i _* sin (5π)).

Oppgave 2

Finn produktet av komplekse tall som uttrykker det i sin polare form:

Z1 = 4 (cos 50^enten + Yo_* Sen 50^enten)

Z2 = 7 (cos 100^enten + Yo_* Sen 100^enten).

Deretter beregner du (Z1*Z2) ².

Løsning

Først dannes produktet av de gitte tallene:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^enten + Yo_* Sen 50^enten)] * [7 (cos 100^enten + Yo_* Sen 100^enten)]

Deretter multipliserer modulene hverandre, og argumentene legges til:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [Cos (50^enten + 100^enten) + i_* Sen (50^enten + 100^enten)]

Uttrykket er forenklet:

z₁ z₂ = 28 _* (Cos 150^enten + (Yo_* Sen 150^enten).

Til slutt gjelder Moivres teorem:

(Z1*Z2) ² = (28 _* (Cos 150^enten + (Yo_* Sen 150^enten)) ² = 784 (COS 300^enten + (Yo_* Sen 300^enten).

Beregning av negative krefter

For å dele to komplekse tall z₁ og z₂ I sin polare form er modulen delt og argumentene trekkes fra. Dermed er kvotienten z₁ ÷ z₂ Og det uttrykkes som følger:

z₁ ÷ z₂ = R1/R2 ([cos (ɵ₁- Ɵ₂) + I Sen (ɵ₁ - Ɵ₂)]).

Som i forrige tilfelle, hvis du vil beregne (z1 ÷ z2) ³ er divisjonen første effekter og så brukes moivre -teoremet.

Øvelse 3

Terninger:

Z1 = 12 (cos (3π/4) + i*sin (3π/4))),

Z2 = 4 (cos (π/4) + i*sin (π/4)),

Beregn (Z1 ÷ Z2) ³.

Løsning

Etter trinnene beskrevet ovenfor, kan det konkluderes med at:

(Z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π/4 - π/4) + i*sin (3π/4 - π/4))) ³

= (3 (cos (π/2) + i*sin (π/2)) ³

= 27 (cos (3π/2) + i*sin (3π/2)).

Referanser

1. Arthur Goodman, L. H. ( nitten nittiseks). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
2. Croucher, m. (s.F.). Av Moivres teorem for trigdentiteter. Wolfram Demonstrations Project.
3. Hazewinkel, m. (2001). Encyclopaedia of Mathematics.
4. Max Peters, w. L. (1972). Algebra og trigonometri.
5. Pérez, ca. D. (2010). Pearson Education.
6. Stanley, g. (s.F.). Lineær algebra. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Prequalculus. Pearson Education.