Fysisk

Torricelli teorem

Torricelli teorem

Hva er Torricellis teorem?

Han Torricelli teorem o Torricelli -prinsippet sier at hastigheten på væsken som kommer ut gjennom hullet i veggen på en tank eller beholder, er identisk som et objekt skaffer seg som blir falt fritt fra en høyde som er lik den for den frie overflaten til væsken til Hullet.

Teoremet er illustrert i følgende figur:

Illustrasjon av Torricellis teorem. Kilde: Selvlaget.

På grunn av Torricellis teorem kan vi da si at hastigheten på væskens hastighet ved et hull som er opp til høyde H under den frie overflaten på væsken er gitt av følgende formel:

Hvor G er akselerasjonen av tyngdekraften og H er høyden fra hullet til den frie overflaten av væsken.

Evangelist Torricelli var en kroppsbygning og matematiker født i byen Faenza, Italia i 1608. Torricelli tilskrives oppfinnelsen av Mercury Barometer, og som anerkjennelse er det en trykkenhet kalt “Torr”, tilsvarer en Mercury Millimeter (mm HG).

Demonstrasjon av teoremet

I Torricellis teorem og i formelen som gir hastigheten, forutsetter det at tapene på grunn av viskositet er foraktelig, som i fritt fall antas det at friksjonen på grunn av luften som omgir gjenstanden som faller er ubetydelig.

Den forrige antagelsen er i de fleste tilfeller rimelig og innebærer også bevaring av mekanisk energi.

For å demonstrere teoremet, vil vi i utgangspunktet finne hastighetsformelen for et objekt som frigjøres med null første hurtighet, fra samme høyde som den flytende overflaten i tanken.

Kan tjene deg: tre -dimensjonale bølger: konsept, typer og eksempler

Prinsippet om bevaring av energi vil bli brukt for å oppnå hastigheten på objektet som faller akkurat når en høyde har falt h lik den fra hullet til den frie overflaten.

Ettersom det ikke er noen friksjonstap, er det gyldig å anvende prinsippet om mekanisk energibesparing. Anta at objektet som faller har masse m og høyden h måles fra væskeutgangsnivået.

Objekt som faller

Når objektet frigjøres fra en høyde som er lik den frie overflaten på væsken, er energien bare gravitasjonspotensial, siden hastigheten er null og derfor er den kinetiske energien null. Den potensielle energi -EPen er gitt av:

Ep = m g h

Når den går foran hullet er høyden null, så er den potensielle energien null, så den har bare kinetisk energi EC gitt av:

EC = ½ m V2

Siden energien er bevart EP = EC for det som oppnås:

½ m v2 = m g h

Rydde hastigheten v Torricelli -formelen oppnås deretter:

Væske som kommer ut av hullet

Neste gang vil vi finne hastigheten på væsken gjennom hullet, for å demonstrere at den sammenfaller med den som nettopp ble beregnet for et objekt som faller fritt.

For dette vil vi stole på Bernoulli -prinsippet, som ikke er noe mer enn bevaring av energi som brukes på væsker.

Bernoullis prinsipp er formulert slik:

Tolkningen av denne formelen er som følger:

  • Den første termen representerer den kinetiske energien til væsken per volum enhetens volum
  • Det andre representerer arbeidet som er utført av trykket per tverrenhet
  • Den tredje representerer gravitasjonspotensiell energi per enhet med væskevolum.
Kan tjene deg: øyeblikkelig hastighet: Definisjon, formel, beregning og øvelser

Når vi starter fra forutsetningen som er en ideell væske, under ikke -tourbulente forhold med relativt lave hastigheter, er det relevant å bekrefte at mekanisk energi per volum enhet i væsken er konstant i alle regioner eller tverrseksjoner med samme.

I denne formelen V er hastigheten på væsken, ρ Væsketetthet, P trykket og z Den vertikale posisjonen.

I figuren som vises nedenfor, demonstreres Torricellis formel basert på Bernoulli -prinsippet.

Vi bruker Bernoulli -formelen på den frie overflaten av væsken som vi betegner for (1) og i utgangshullet som vi betegner med (2). Nullhøydenivået er valgt med utgangshullet.

Under forutsetning av at tverrsnittet i (1) er mye større enn i (2), kan vi da anta at hastigheten på reduksjon i væske i (1) praktisk talt er ubetydeligverdig.

Dette er grunnen til at V er plassert1= 0, trykket som væsken blir utsatt for (1) er atmosfæretrykket og høyden målt fra hullet er h.

For utgangsseksjonen (2) antar vi at utgangshastigheten er V, trykket som væsken til utløpet også blir utsatt for er atmosfæretrykket og utgangshøyden er null.

Verdiene som tilsvarer seksjonene (1) og (2) erstattes i Bernoulli -formelen og lik. Likestilling er gyldig fordi vi antar at væsken er ideell og at det ikke er noen tyktflytende friksjonstap. Når alle begrepene er forenklet, oppnås hastigheten i utgangshullet.

Kan tjene deg: rød dverg

Den forrige boksen viser at resultatet som er oppnådd er det samme som for et objekt som faller fritt,

Med det som demonstreres Torricelli -prinsippet.

Løste øvelser

Oppgave 1

Yo) Det lille utløpsrøret til en vanntank er 3 m under vannoverflaten. Beregn vannutløpshastigheten.

Løsning:

Følgende figur viser hvordan Torricellis formel brukes på denne saken.

Oppgave 2

Ii) Forutsatt at utgangsrøret til den forrige treningstanken har en diameter på 1 cm, beregner du vannutløpsstrømmen.

Løsning:

Strømmen er væskevolumet som kommer ut per tidsenhet, og beregnes ganske enkelt ved å multiplisere utgangshullområdet med utgangshastigheten.

Følgende figur viser detaljene i beregningen.

Øvelse 3

Iii) Bestem hvor høyden den frie overflaten på vannet er i en beholder hvis det er kjent

at i et hull i bunnen av beholderen, kommer vannet til 10 m/s.

Løsning:

Selv når hullet er i bunnen av beholderen, kan Torricellis formel brukes.

Følgende figur viser detaljene i beregningene.

Referanser

  1. Wikipedia. Torricelli teorem.
  2. Hewitt, p. Konseptuell fysisk vitenskap. Femte utgave.119.
  3. Young, Hugh. 2016. Sears-Zanskys universitetsfysikk med moderne fysikk. 14. utg. Pearson. 384.