Diskret tilfeldig variabel

Vi forklarer hva som er en diskret tilfeldig variabel, dens egenskaper, vi gir eksempler og løser øvelser

Hva er en diskret tilfeldig variabel?

EN diskret tilfeldig variabel Det er en numerisk verdi oppnådd tilfeldig, som et resultat av et eksperiment, og som bare tar endelige eller regnskapsverdier. Dette betyr at det, gitt to påfølgende verdier av variabelen, ikke er noen mellomverdi mellom dem.

Eksempler på diskrete variabler er antallet kronblader, hvor mange ansikter (eller kryss) er samtidig to mynter, antall medlemmer eller barn i en familie, antall mennesker som bor i et hus og mange flere.

I alle tilfeller er resultatene av å utføre eksperimentet regnskap. En tilfeldig variabel kalt “x = antall barn av en familie” kan defineres, og denne variabelen kan ta verdier 0, 1, 2, 3 ..

Så for en generell sak identifiseres en diskret tilfeldig variabel av:

X = x₁, x₂, x₃... x_k

Hvor x₁, x₂, x₃... er de mulige resultatene av eksperimentet.

Det er ofte interessert i å vite sannsynligheten for forekomst av hvert av disse mulige resultatene, betegnet som:

p₁ = P (x = x₁)

p₂ = P (x = x₂)
.
.
.

Og så videre for hver x -verdi. "I" -indeksen varierer fra 1 til K: I = 1,2,3 ... K.

Denne listen, som inneholder sannsynligheten for hvert mulig resultat av eksperimentet, kalles sannsynlighetsfordeling enten sannsynlighetsfunksjon, Forutsatt at den tilfeldige variabelen er numerisk, er sannsynligheten for hver hendelse mellom 0 og 1 og summen av alle sannsynlighetene er lik 1.

Eksempler av diskrete tilfeldige variabler

De diskrete tilfeldige variablene er alltid numeriske og regnskap. De måler vanligvis antall ganger en hendelse oppstår, for eksempel:

• Antall samtaler mottatt av et kundesenter på en ettermiddag.
• Mengde bankinnskudd gjort på en enkelt dag.
• Start en terning og les nummeret som vises på øvre ansikt.
• Antall ansikter som kommer ut når du lanserer to identiske valutaer.
• Studenter som godkjente Algebra I -eksamen, tilfeldig valgt fra en gruppe på 100 ingeniørstudenter fra et universitet.
• Voksne medlemmer av en flokk med elefanter i et Afrika reserve.
• Antall barn per familie i en viss by.
• Folk som deltar på en midnattsfilmfunksjon.
• Antall biler som går gjennom en toll på en motorvei.

Kan tjene deg: Cruz -produkt

Hele og brøkverdier

Alle diskrete tilfeldige variabler nevnte tar hele verdier. Imidlertid kan diskrete tilfeldige variabler defineres med brøkverdier, for eksempel den tilfeldige variabelen F gitt av:

F = brøkdel av mangelfulle stykker ved tilfeldig å velge 50 elementer av mye

Mulige verdier er som følger:

• Ingen defekt stykke er funnet: f₁= 0
• Bare 1 mangelfullt stykke av 50: f₂= 1/50 = 0.02
• To mangelfulle stykker finnes i 50: f₃= 2/50 = 0.04
• Og så videre, inntil saken der de 50 valgte stykkene er dårlige: f₅₁ = 50/50 = 1

Løste øvelser

Oppgave 1: Identifiser diskrete tilfeldige variabler

De har de tilfeldige variablene gitt av:

X = antall jordskjelv i året, skjedde i en viss geografisk sone

Y = nøyaktig lengde på menneskets fot

Z = voksen fottøystørrelse

R = varighet av en samtale til en Callcenter

Er alle diskrete tilfeldige variabler? Rettferdiggjøre svaret.

Løsning

X- og Z -variablene er diskrete, siden antall jordskjelv i løpet av et år er et regnskapsbeløp. På den annen side er fottøystørrelser endelige, nummerering kan variere i henhold til landet, for eksempel 6, 6.5, 7 ..., men det er også en begrenset mengde.

På den annen side kan den nøyaktige lengden på den menneskelige foten ta enhver verdi. For eksempel mellom to personer hvis fotmål 23.5 og 23.8 cm, det er alltid mulig å finne en annen hvis fotmål, si 23.6 cm. Denne typen variabel er også tilfeldig, men fortsetter.

Når det gjelder tiden som varer en telefonsamtale, er det ikke en diskret variabel, siden det er uendelige verdier mellom to ganger t₁ og T₂ varighet.

Kan tjene deg: Hele tall

Oppgave 2: Samtidig to mynter

Et eksperiment består av samtidig lansering av to identiske valutaer, som den tilfeldige variabelen x = antall ansikter er definert. Finne:

a) Verdiene som X tar.

b) Sannsynlighetsfordelingen

Løsning på

De mulige resultatene av eksperimentet er følgende: Ingen dyrt (to Sel), a dyrt og a Tetning, en Tetning og en dyrt Og til slutt, to ansikter.

Ved å nekte ansiktet som C og SEAL som S, blir resultatene oppsummert som følger:

Ω = (s, s); (C, S); (S, C); (DC)

Dette settet er kjent som prøveområde.

Derfor tar den tilfeldige variabelen x verdiene: 0 (ingen ansikt), 1 (ett ansikt i enten mynter) og 2 (det var dyrt i begge mynter). Siden resultatene er regnskap, er variabelen, i tillegg til tilfeldig, diskret:

X = 0.1,2

Løsning b

Når en mynt lanseres, hvis ærlig, er det dyrt enten Tetning De har samme sjanse til å forlate, lik ½. Derfor, hvis to mynter lanseres samtidig, siden resultatene er uavhengige, fordi myntene ikke påvirker hverandre, multipliserer sannsynligheten for å skaffe to sider (eller to kors) sannsynligheten for hver hendelse.

Hvis det oppnås to kors, betyr det at det kom ut noe ansikt:

P (2 kryss = 0 ansikter) = P (x = 0) = ½ ∙ ½ = ¼

På den annen side er sannsynligheten for CS- eller SC -kombinasjonen summen av de to gunstige sannsynlighetene:

P (1 ansikt) = P (x = 1) = ¼ + ¼ = ½

Endelig er sannsynligheten for å oppnå to ansikter:

P (2 ansikter) = P (x = 2) = ½ ∙ ½ = ¼

Merk at denne sannsynlighetsfordelingen oppfyller kravene som er fastsatt i begynnelsen:

Sannsynligheten for hver hendelse er mellom 0 og 1.

Ved å legge til de tre sannsynlighetene, 1: ¼ + ½ + ¼ = 1

Kan tjene deg: colineale vektorer Histogrammet viser sannsynlighetsfordelingen for lanseringen av to identiske valutaer. I den horisontale aksen er den tilfeldige variabelen plassert, midten av stangen tilsvarer verdien av variabelen. Og i den vertikale aksen er sannsynligheten plassert, i dette tilfellet prosentandel. Kilde: f. Zapata.

Oppgave 3: Ddu kaster en balansert terning

Et eksperiment består av å kaste en balansert terning to ganger. Den tilfeldige variabelen som er definert er:

X = antall ganger a 1 kommer ut

a) Liste over de mulige resultatene av eksperimentet og bestem verdiene til den tilfeldige variabelen.

b) Finn sannsynlighetsfordelingen.

Løsning på

Siden det er en balansert terning, har alle ansikter samme sannsynlighet for å forlate, og siden terningen er en kube med seks ansikter, er denne sannsynligheten lik 1/6.

De mulige resultatene av eksperimentet kan syntetiseres som følger:

• Du får ikke 1 eller en gang: x₁= 0
• 1 kommer ut bare en gang: x₂= 1
• Begge lanseringene er 1: x₃= 2

Derfor er den tilfeldige variabelen X diskret og har tre verdier:

X = 0.1,2

Løsning b

Når det gjelder sannsynlighetsfordelingen av denne variabelen, er det første å legge merke til at settet med alle mulige resultater består av 36 par, som utgjør prøveområdet:

Ω = (1,1), (1.2), (1.3) ... (1.6); (2,1), (2,2), (2,3); (3,1), (3,2), (3,3); (4.1), (4,2) ... (4.6); (5,1), (5,2) ... (5.6); (6,1), (6.2) ... (6.6)

-Nå telles disse parene der en 1 ikke oppnås:

x₁ = (X = 0) = (2,2), (2,3) ... (2,6); (3,2), (3,3)…; (4.2), (4,3)…; (5,2), (5.3)…; (6.2), (6.3) ...

Totalt er det 25 par, der 1 ikke kommer ut, derfor er sannsynligheten for å skaffe noen av disse jevnaldrende:

p₁ = P (x = 0) = 25/36

-Deretter vises jevnaldrende der 1 bare en gang:

x₂ = (X = 1) = (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1) ( 4.1), (5.1), (6,1)

Det er derfor 10 par:

p₂ = P (x = 1) = 10/36 = 5/18

-Endelig er det bare ett par der 1 kommer ut to ganger: (1,1). Så:

p₃ = P (x = 2) = 1/36