Sylindriske koordinater system, endring og øvelser

De sylindriske koordinater De tjener til å lokalisere punkter i det tre -dimensjonale rommet og består av en radiell koordinat ρ, en azimutal koordinat φ og en høydekoordinat z.

Et poeng P Ligger i verdensrommet er projisert ortogonalt på flyet Xy gir opphav til poenget P ' I det flyet. Avstanden fra opprinnelsen til punktet P ' definerer koordinaten ρ, mens vinkelen som danner aksen X Med semi -strak Op ' Definer koordinaten φ. Endelig koordinaten z Det er den ortogonale projeksjonen av poenget P på aksen Z. (Se figur 1).

Figur 1. Punkt P for sylindriske koordinater (ρ, φ, z). (Egen utdyping)

Den radiale koordinaten ρ er alltid positiv, den azimutale koordinaten φ varierer fra null radianer til to Pi -radianer, mens Z -koordinaten kan ta noen reell verdi:

0 ≤ ρ < ∞

0 ≤ φ < 2π

- ∞ < z < + ∞

[TOC]

Endring av koordinater

Det er relativt enkelt å oppnå de kartesiske koordinatene (x, y, z) fra et punkt P fra sine sylindriske koordinater (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρ sen (φ)

z = z

Men det er også mulig å skaffe polare koordinater (ρ, φ, z) basert på kunnskapen om de kartesiske koordinatene (x, y, z) til et punkt p:

ρ = √ (x² + og²)

φ = Arctan (y/x)

z = z

Vektorbase i sylindriske koordinater

Basen av sylindriske vektorer er definert Uρ, Uφ, Uz.

Vektoren Uρ Det er tangent til linjen φ = CTTE og Z = CTTE (peker radialt ut), vektoren Uφ er tangent til linjen ρ = ctt og z = ctt og til slutt Uz Den har samme retning av z -aksen.

Figur 2. Sylindrisk koordinatbase. (Wikimedia Commons)

I den sylindriske enhetsbasen, posisjonsvektoren r Fra et punkt P er det skrevet vektorisk slik:

Det kan tjene deg: domene og motsetning av en funksjon (med eksempler)

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

På den annen side en uendelig forskyvning dr Fra punkt P uttrykkes det som følger:

dr = Dρ Uρ + ρ dφ  Uφ + Dz Uz

Tilsvarende er et uendelig element av DV -volum i sylindriske koordinater:

Dv = ρ dρ dφ dz

Eksempler

Det er utallige eksempler på bruk og anvendelse av sylindriske koordinater. I kartografi, for eksempel sylindrisk projeksjon, basert nøyaktig på disse koordinatene. Det er flere eksempler:

Eksempel 1

Sylindriske koordinater har applikasjoner innen teknologi. Som et eksempel har du CHS (Cylinder-head-sektor) system med dataplokasjon på en harddisk, som faktisk består av flere plater:

- Sylinderen eller sporet tilsvarer koordinat ρ.

- Sektoren tilsvarer albumets φ -posisjonen som roterer høyt vinkelhastighet.

- Hodet tilsvarer Z -posisjonen til lesehodet på det tilsvarende albumet.

Hver informasjonsbyte har en presis adresse i sylindriske koordinater (C, S, H).

Figur 2. Plassering av informasjon i sylindriske koordinater i et harddisksystem. (Wikimedia Commons)

Eksempel 2

Konstruksjonskraner setter lastposisjonen i sylindriske koordinater. Den horisontale posisjonen er definert av avstanden til kranaksen eller pilen. Den vertikale posisjonen til belastningen bestemmes av Z -koordinaten til høyden.

Figur 3. Lastens plassering i en konstruksjonskran kan enkelt uttrykkes i sylindriske koordinater. (Pixabay Image - RCOS R. Pérez)

Løste øvelser

Oppgave 1

Det er P1 -punktene med sylindriske koordinater (3, 120º, -4) og punktet P2 for sylindriske koordinater (2, 90º, 5). Finn Euklidiansk avstand Mellom disse to punktene.

Kan tjene deg: divisjoner der resten er 300

Løsning: Først fortsetter vi med å finne de kartesiske koordinatene til hvert punkt etter formelen som skjedde ovenfor.

P1 = (3* cos 120º, 3* Sen 120º, -4) = (-1.5, 2.60, -4)

P2 = (2* cos 90º, 2* sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

Den euklidianske avstanden mellom P1 og P2 er:

D (P1, P2) = √ ((0 - (-1.5))²+(2 - 2.60)²+(5 -(-4))² ) = ..

... √ (2.25+0.36+81) = 9.14

Oppgave 2

Punkt P har kartesiske koordinater (-3, 4, 2). Finn de tilsvarende sylindriske koordinater.

Løsning: De sylindriske koordinatene finnes ved hjelp av forholdene gitt ovenfor:

ρ = √ (x² + og²) = √ ((-3)² + 4²) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = Arctan (y/x) = Arcan (4/(-3)) = -53.13º + 180º = 126.87º

Z = 2

Det må huskes at den arcangente funksjonen er multivaluada av periodisitet 180º. I tillegg må vinkelen φ tilhøre den andre kvadranten, siden X E Y og av punkt P -koordinater er i den kvadranten. Dette er grunnen til at 180º er lagt til resultatet φ.

Øvelse 3

Uttrykk i sylindriske koordinater og i kartesiske koordinater overflaten til en radiosylinder 2 og hvis akse sammenfaller med Z -aksen.

Løsning: Det er underforstått at sylinderen har en uendelig forlengelse i Z -retning, slik at ligningen av nevnte overflate i sylindriske koordinater er:

ρ = 2

For å oppnå den kartesiske ligningen av den sylindriske overflaten, tas kvadratet til begge medlemmene av den forrige ligningen:

ρ² = 4

Vi multipliserer med 1 begge medlemmene av forrige likhet og bruker Grunnleggende trigonometrisk identitet (Sen²(φ) + cos²(φ) = 1):

1 * ρ² = 1 * 4

(Sen²(φ) + cos²(φ)) * ρ² = 1 * 4

Parentesen utvikler seg for å oppnå:

(ρ Sen (φ))² + (ρ cos (φ))² = 4

Kan tjene deg: befolkning og prøve

Vi husker at den første parentesen (ρ sen (φ)) er koordinat og et punkt i polare koordinater, mens parentesen (ρ cos (φ)) representerer x -koordinaten, slik at vi har igjen Sylinderligningen i kartesiske koordinater:

og² + x² = 2²

Den forrige ligningen skal ikke forveksles med en sirkel i XY -planet, siden det i dette tilfellet ville være slik: og² + x² = 2² ; Z = 0.

Oppgave 4

En radius sylinder r = 1 m og høyde h = 1 m har sin radialt fordelt masse i henhold til følgende ligning d (ρ) = c (1 - ρ/r) hvor c er en konstant av verdi c = 1 kg/m³. Finn den totale massen av sylinderen i kilo.

Løsning: Den første tingen er å innse at funksjonen d (ρ) representerer den volumetriske massetettheten, og at tetthetsmassen er fordelt i sylindriske kaskaroner med synkende tetthet av sentrum til periferien. Et uendelig volumelement i henhold til symmetrien til problemet er:

Dv = ρ dρ 2π h

Derfra må du, den uendelige massen til et sylindrisk skall være:

Dm = d (ρ) dv

Så den totale massen av sylinderen vil bli uttrykt med følgende Definert integrert:

M = ∫_enten^R D (ρ) dv = ∫_enten^R C (1 - ρ/r) ρ dρ 2π h = 2π h c ∫_enten^R (1 - ρ/r) ρ dρ

Løsningen av den indikerte integralen er ikke vanskelig å få tak i, og det er resultatet:

∫_enten^R (1 - ρ/r) ρ dρ = (⅙) r²

Innlemme dette resultatet i uttrykk for sylindermassen oppnås:

M = 2π h c (⅙) r² = ⅓ π h c r² =

 ⅓ π 1m*1 kg/m³* 1m² = π/3 kg ≈ 1.05 kg

Referanser

1. Arfken g og weber h. (2012). Matematiske metoder for fysikere. En omfattende guide. 7. utgave. Akademisk presse. ISBN 978-0-12-384654-9
2. CC -beregning. Løst sylindriske og sfæriske koordinater. Gjenopprettet fra: Beregning.DC
3. Weisstein, Eric w. “Sylindriske koordinater.”Fra Mathworld-A Wolfram Web. Gjenopprettet fra: Mathworld.Wolfram.com
4. Wikipedia. Sylindrisk koordinatsystem. Hentet fra: i.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Vektorfelt i sylindriske og sfæriske koordinater. Hentet fra: i.Wikipedia.com