Unitary Circle Trigonometriske funksjoner og applikasjoner

Han Unitary Circle Det er en radius sirkel lik 1, som vanligvis er fokusert på punkt (0,0) av det kartesiske koordinatsystemet Xy. Det brukes til å enkelt definere de trigonometriske årsakene til vinklene med rektangler.

Unitary Circle -ligningen fokusert på opprinnelse er:

x² + og² = 1

Figur 1. Enhetssirkelen. Kilde: Wikimedia Commons.

I figur 1 har vi enhetssirkelen, der hvert rom er i en kvadrant. Kvadrantene er nummerert med romertall og telles anti -Horary.

I den første kvadranten er det en trekant. Kategoriene, i henholdsvis rød og i blått mål 0.8 og 0.6, mens hypotenusen i grønt måler 1, fordi det er en radio.

Den akutte vinkelen α er en sentral vinkel i standardposisjon, noe som betyr at toppunktet sammenfaller med punktet (0,0) og dens første side med den positive x -aksen. Vinkelen måles i strid med klokkehendene, og ved konvensjon tildeles den et positivt tegn.

Vel, i enhetssirkelen er koordinatene til Coseno og sinus av α henholdsvis x- og y -koordinatene til punkt B, som i eksemplet som er vist er 0.8 og 0.6.

Fra disse to er de definert:

• tg α = sin α/cos α = 0.6/0.8 = 0.75
• Sec α = 1/ cos α = 1/0.8 = 1.25
• skade α = 1 / sin α = 1/0.6 = 1.66 ..
• CTG α = 1/tg = 0.8/0.6 = 1.33 ..

[TOC]

Unitary Circle -applikasjoner

Hvis vi begrenser oss til rektangler, vil trigonometriske grunner bare bli brukt på akutte vinkler. Imidlertid, ved hjelp av enhetssirkelen, utvides beregningen av trigonometriske årsaker til enhver vinkel α.

Figur 2.- Vinkler i kvadrantene og referansevinkelen i enhetssirkelen. Kilde: f. Zapata.

For dette er det nødvendig å definere begrepet referansevinkel α først_R:

Kan tjene deg: endelig sett: egenskaper, eksempler, løste øvelser

Referansevinkel

La α være en vinkel i standardposisjon (den som har Innledende side sammenfaller med den positive x -aksen), dens referansevinkel α_R Det er blant dens terminal side og X -aksen. Figur 2 viser referansevinkelen for vinkler i I, II, III og IV kvadrant.

For hver kvadrant beregnes referansevinkelen som følger:

-Første kvadrant: α_R = α

-Andre kvadrant: α_R = 180º - α

-Tredje kvadrant: α_R = α - 180º

-Fjerde kvadrant: α_R = 360º - α

Merk at den første kvadrantvinkelen α sammenfaller med referansevinkelen. Vel, de trigonometriske årsakene til vinkel α er de samme som deres referansevinkel, med tegnene i henhold til de som har kvadrantene der terminalsiden av α faller.

Med andre ord, de trigonometriske grunnene Coseno og brystet i vinkelen α sammenfaller med koordinatene til punkt P, ifølge figur 2.

I den følgende figuren ser vi de trigonometriske årsakene til noen bemerkelsesverdige vinkler, som trukket fra enhetssirkelen.

Figur 3. Koordinater av noen bemerkelsesverdige punkter i enhetssirkelen. Kilde: Wikimedia Commons.

Årsakene til at Coseno og brystet i enhver vinkel i I -kvadranten alle er positive. For α = 60º har vi koordinatene (1/2; √3/2), som tilsvarer henholdsvis COS 60º og SEN 60º.

Koordinatene til α = 120º er (-1/2; √3/2), siden det var i den andre kvadranten, er X-koordinaten negativ.

Oppsett av grafene til kosinus og bihule

Ved hjelp av enhetssirkelen og koordinatene til P -punktene på den, er det mulig å tegne grafene til funksjonene Cos T og Sen T, som vi vil se nedenfor.

Kan tjene deg: vinkelforskyvning

For dette er flere posisjoner med punkt P (t) lokalisert i enhetssirkelen. Vi starter med grafen til funksjonen f (t) = sen t.

Vi kan observere at når vi går fra t = 0 til t = π/2 (90º) øker verdien av sen t til 1, noe som er maksimal verdi.

På den annen side, fra t = π/2 til t = 3π/2 synker verdien av sin t fra 1, og passerer gjennom 0 ved t = π til sin minimum av -1 ved t = 3π/2.

Figuren viser grafen for den første syklusen av f (t) = sen t som tilsvarer den første returen til enhetssirkelen, denne funksjonen er periodisk periode 2π.

Figur 4. Figuren til grafen til f (t) = sen t for en syklus. Kilde: Zill, D. Algebra, trigonometri og analytisk geometri.

En analog prosedyre kan utføres for å oppnå grafen til funksjonen f (t) = cos t, som vist i følgende animasjon:

Figur 5. Grafer av sinus- og kosinusfunksjonene fra enhetssirkelen. Kilde: Wikimedia Commons.

Seno og Coseno fungerer egenskaper

-Begge funksjonene er kontinuerlige i settet med reelle og periodiske tall, av periode 2π.

-Domenet til funksjoner f (t) = sen t og f (t) = cos t er alle reelle tall: (-∞, ∞).

-For bryst- eller bihule- og kosinusruten har du intervallet [-1,1]. Beslagene indikerer at -1 og 1 er inkludert.

- Sin t -nuller er verdiene som tilsvarer nπ med n heltall, mens nuller av cos t er [(2n+1)/2] med n også hele.

-Funksjonen f (t) = sin t er merkelig, har symmetri med hensyn til opprinnelsen mens cos t -funksjonen er jevn, symmetrien er med hensyn til den vertikale aksen.

Kan tjene deg: tilfeldige valg med eller uten erstatning

Løste øvelser

- Oppgave 1

Gitt cos t = - 2/5, som er den horisontale koordinaten til punktet P (t) i enhetssirkelen i den andre kvadranten, oppnår den tilsvarende vertikale koordinat sen t.

Løsning

Siden P (t) tilhører enhetssirkelen, der det er oppfylt at:

x² + og² = 1

Derfor:

y = ± √ 1 - x²

Siden P (t) er i den andre kvadranten, vil den positive verdien bli tatt. Den vertikale koordinaten til punktet P (t) er y:

y = √ 1 - (-2/5)² = √0.84

- Oppgave 2

En matematisk modell for temperatur T I grader Fahrenheit på hvilken som helst dag, t Timer etter midnatt er det gitt av:

T (t) = 50 + 10 sen [(π /12) × (t - 8)]

Med T forstått mellom 0 og 24 timer. Finne:

a) Temperaturen kl. 08.00.

b) timer hvor t (t) = 60 ºF

c) Maksimale og minimale temperaturer.

Løsning på

Vi erstatter t = 8 i den gitte funksjonen:

T (8) = 50 + 10 sen [(π/12) × (t-8)] = 50 + 10 sen [(π/12) × (8-8)] =

= 50 + 10 x sen 0 = 50 ºF

Løsning b

50 + 10 Sen [(π/12) × (T-8)] = 60

Det er en trigonometrisk ligning, og du må fjerne den ukjente "T":

10 sen [(π/12) × (t -8)] = 60 - 50 = 10

sin [(π/12) × (t-8)] = 1

Vi vet at Sen π/2 = 1, derfor må brystargumentet være 1:

(π/12) × (t-8) = π/2

T-8 = 6

t = 14 h

Det konkluderes med at 14 timer etter midnatt er temperaturen 60 °, det vil si 14.00. Det er ingen annen time i løpet av dagen (24 timer) der dette skjer.

Løsning c

Maksimal temperatur tilsvarer verdien som Sen [(π/12) × (T-8)] = 1 og er 60 ºF. På den annen side oppstår minimum hvis sen [(π/12) × (t -8)] = -1 og er 40 ºF.

Referanser

1. Figuera, J. 1999. Matte. 1. Diversifisert. Bolivarian Collegiate Editions.
2. Hoffman, J. Valg av matematikkproblemer. Volum 4.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Matematikk er morsomt. Enhetssirkel. Gjenopprettet fra: fra: matematikk.com.
5. Wikipedia. Trigonometri -identiteter og formler. Gjenopprettet fra: er.Wikipedia.org.
6. Zill, d. 1984. Algebra og trigonometri. McGraw Hill.