Ulikhet i demonstrasjonstrekanten, eksempler, øvelser løst

Det kalles Ulikhet i trekanten Til eiendommen som oppfyller to reelle tall som består av den absolutte verdien av summen, er alltid mindre enn eller lik summen av dens absolutte verdier. Denne egenskapen er også kjent som Minkowski ulikhet eller trekantet ulikhet.

Denne egenskapen til tallene kalles trekantet ulikhet fordi det i trekantene hender at lengden på den ene siden alltid er mindre enn eller lik summen av de to andre, selv om denne ulikheten ikke alltid gjelder innen trekanten.

Figur 1. Den absolutte verdien av summen av to tall er alltid mindre enn eller lik summen av dens absolutte verdier. (Utarbeidet av r. Pérez)

Det er flere demonstrasjoner av trekantet ulikhet i reelle antall, men i dette tilfellet vil vi velge en basert på egenskapene til den absolutte verdien og den firkantede binomialen.

Teorem: For alle tallpar til og b Tilhører reelle tall, må det:

| A + B | ≤ | a | + | b |

[TOC]

Demonstrasjon

Vi begynner med å vurdere det første medlemmet av ulikheten, som vil bli kuttet ned:

| A + B |^2 = (A + B)^2 = A^2 + 2 A B + B^2 (EC. 1)

I forrige trinn har eiendommen blitt brukt at et hvilket som helst antall høyt til torget er lik den absolutte verdien av nevnte antall høyt til torget, det vil si: | x |^2 = x^2. Utviklingen av den firkantede binomialen har også blitt brukt.

Alt nummer x Det er mindre enn eller lik dens absolutte verdi. Hvis antallet er positivt, er det verdt likhet, men hvis antallet er negativt, vil det alltid være mindre enn et positivt tall. I dette tilfellet sin egen absolutte verdi, det vil si at det kan uttales det x ≤ | x |.

Kan tjene deg: Ikke -lineær programmering: Metoder og øvelser

Produktet (a b) Det er et tall, derfor brukes det (A B) ≤ | a b |. Når denne eiendommen blir brukt på (EC. 1) Vi har:

| A + b |^2 = a^2 + 2 (a b) + b^2 ≤ a^2 + 2 | a b | + B^2 (EC. 2)

Tar hensyn til det | A B | = | A || b | La (EC. 2) Det kan skrives som følger:

 | A + b |^2 ≤ a^2 + 2 | A || b | + B^2 (EC. 3)

Men som vi har sagt før at kvadratet på et tall er lik den absolutte verdien av antallet høyt til torget, så kan ligning 3 skrives om som følger:

 | A + b |^2 ≤ | a |^2 + 2 | a | | b | + | B |^2 (EC. 4)

I det andre medlemmet av ulikhet blir et bemerkelsesverdig produkt anerkjent, som når det brukes fører til:

 | A + b |^2 ≤ (| a | + | b |)^2 (Ec. 5)

I det forrige uttrykket skal det bemerkes at verdiene som skal reises på begge ulikhetsmedlemmer også er positive til at det også må oppfylles at:

 | A + B | ≤ (| a |+ | b |) (EF. 6)

Det forrige uttrykket er akkurat det du ønsket å demonstrere.

Eksempler

Neste skal vi sjekke den trekantede ulikheten med flere eksempler.

Eksempel 1

Verdien tas A = 2 og verdien B = 5, det vil si både positive tall, og vi bekrefter om ulikheten er oppfylt eller ikke.

 | 2 + 5 | ≤ | 2 |+ | 5 |

 | 7 | ≤ | 2 |+ | 5 |

7 ≤ 2+ 5

Likestilling er bekreftet, derfor er trekantenes ulikhetsteorem blitt oppfylt.

Eksempel 2

Følgende verdier er valgt a = 2 og b = -5, det vil si et positivt tall og det andre negative, vi sjekker om ulikheten er oppfylt eller ikke er oppfylt eller ikke.

Kan tjene deg: trinomial

 | 2 - 5 | ≤ | 2 |+ | -5 |

 | -3 | ≤ | 2 |+ | -5 |

 3 ≤ 2 + 5

Ulikhet er oppfylt, derfor er den trekantede ulikhetsteoremet bekreftet.

Eksempel 3

Verdien tas A = -2 og verdien B = 5, det vil si et negativt tall og det andre positive, vi bekrefter om ulikheten er oppfylt eller ikke.

 | -2 + 5 | ≤ | -2 |+ | 5 |

 | 3 | ≤ | -2 |+ | 5 |

 3 ≤ 2 + 5

Ulikhet blir bekreftet, derfor er teoremet blitt oppfylt.

Eksempel 4

Følgende verdier a = -2 og b = -5 er valgt, det vil si både negative tall, og vi sjekker om ulikhet er oppfylt eller ikke er oppfylt eller ikke.

 | -2 - 5 | ≤ | -2 |+ | -5 |

 | -7 | ≤ | -2 |+ | -5 |

 7 ≤ 2+ 5

Likhet bekreftes, derfor er Minkowsk -ulikhetsteoremet blitt oppfylt.

Eksempel 5

Verdien tas a = 0 og verdien b = 5, det vil si et nulltall og det andre positive, så sjekker vi om ulikheten er oppfylt eller ikke er oppfylt eller ikke.

 | 0 + 5 | ≤ | 0 |+ | 5 |

 | 5 | ≤ | 0 |+ | 5 |

 5 ≤ 0+ 5

Likestilling er oppfylt, derfor er trekantets ulikhetsteorem bekreftet.

Eksempel 6

Verdien tas a = 0 og verdien b = -7, det vil si et nulltall og det andre positive, så sjekker vi om ulikheten er oppfylt eller ikke.

 | 0 - 7 | ≤ | 0 |+ | -7 |

 | -7 | ≤ | 0 |+ | -7 |

 7 ≤ 0+ 7

Likhet bekreftes, derfor er den trekantede ulikhetsteoremet blitt oppfylt.

Løste øvelser

I de følgende øvelsene representerer geometrisk ulikheten i trekanten eller ulikheten i Minkowski for tall A og B.

Kan tjene deg: papomudas

Tallet A vil bli representert som et segment på x -aksen, dets opprinnelse eller sammenfaller med nullen til x -aksen og den andre enden av segmentet (ved punkt P) vil være i positiv retning (til høyre) av x akse hvis a> 0, men til < 0 estará hacia la dirección negativa del eje X, tantas unidades como indique su valor absoluto.

Tilsvarende vil nummer B bli representert som et segment hvis opprinnelse er på punkt P. Den andre enden, det vil si poenget som vil være til høyre for P hvis B er positivt (b> 0) og punktet Q vil være | B | enheter til venstre for P hvis B<0.

Oppgave 1

Representerer grafisk ulikheten i trekanten for a = 5 og b = 3 | A + B | ≤ | a | + | b |, å være C = a + b. 

Løsning 1:

Oppgave 2

Lag en trekantet ulikhetsgraf for A = 5 og B = -3. 

| A + B | ≤ | a | + | b |, å være C = a + b.

Løsning 2:

Øvelse 3

Grafer ulikheten i trekanten for A = -5 og B = 3.

| A + B | ≤ | a | + | b |, å være C = a + b. 

Løsning 3:

Oppgave 4

Graf den trekantede ulikheten for A = -5 og B = -3.

| A + B | ≤ | a | + | b |, å være C = a + b.

Løsning 4:

Referanser

1. OG. Whitesitt. (1980).Boolean algebra og dens applikasjoner . Continental Editorial Company C. TIL.
2. Mícheal eller 'searcoid.(2003) Elements of Abstract Analysis ... Department of Mathematics. University College Dublin, Beldfield, Dublind.
3. J. Van Wyk. (2006) Matematikk og ingeniørfag i informatikk. Institute for Computer Sciences and Technology. National Bureau of Standards. Washington, d. C. 20234
4. Eric Lehman. Matematikk for informatikk.  Google Inc.
5. F Thomson Leighton (1980). Kalkulus. Institutt for matematikk og datavitenskap og AI Laboratory, Massachussetts Institute of Technology.
6. Khan Academy. Triangle ulikhetsteorem. Gjenopprettet fra: Khanacademy.org
7. Wikipedia. Trekantet ulikhet. Gjenopprettet fra: er. Wikipedia.com