Binomial distribusjonskonsept, ligning, egenskaper, eksempler

De Binomial distribusjon Det er en sannsynlighetsfordeling som sannsynligheten for hendelsesforekomst beregnes, forutsatt at de forekommer under to modaliteter: suksess eller fiasko.

Disse kirkesamfunnene (suksess eller fiasko) er helt vilkårlige, siden de ikke nødvendigvis betyr gode eller dårlige ting. I løpet av denne artikkelen vil vi indikere den matematiske formen for binomialfordelingen, og deretter vil betydningen av hvert begrep bli forklart i detalj.

Figur 1. Lanseringen av en terning er et fenomen som kan modelleres ved binomial distribusjon. Kilde: Pixabay.

[TOC]

Ligning

 Ligningen er som følger:

Med x = 0, 1, 2, 3 .. .n, hvor:

- P (x) er sannsynligheten for å ha nøyaktig x suksesser mellom n forsøk eller forsøk.

- x Det er variabelen som beskriver fenomenet av interesse, tilsvarende antall suksesser.

- n Antall forsøk

- p Det er sannsynligheten for suksess i 1 forsøk

- q Det er sannsynligheten for å mislykkes i 1 forsøk, derfor Q = 1 - P

Beundringssymbolet "!”Det brukes til fabrikknotasjon, slik at:

0! = 1

1! = 1

2! = 2.1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 120

Og så videre.

Konsept

Binomialfordelingen er veldig passende for å beskrive situasjoner der en hendelse skjer eller ikke forekommer. Hvis det oppstår er det en suksess, og hvis ikke, er det en fiasko. I tillegg må sannsynligheten for suksess alltid være konstant.

Det er fenomener som passer til disse forholdene, for eksempel lanseringen av en valuta. I dette tilfellet kan vi si at "suksess" er å få et ansikt. Sannsynligheten er ½ og endres ikke, uansett hvor mange ganger valutaen lanseres.

Lanseringen av en ærlig terning er et annet godt eksempel, i tillegg til å kategorisere i gode brikker og mangelfulle brikker en vis.

Kan tjene deg: System of Equations: Solution Methods, Eksempler, øvelser

Kjennetegn

Vi kan oppsummere egenskapene til binomialfordelingen som følger:

- Enhver hendelse eller observasjon, blir trukket ut fra en uendelig befolkning uten erstatning eller en begrenset befolkning med erstatning.

- Bare to alternativer blir vurdert, gjensidig utelukkende: suksess eller fiasko, som forklart i begynnelsen.

- Sannsynligheten for suksess må være konstant i enhver observasjon som er gjort.

- Resultatet av enhver hendelse er uavhengig av enhver annen hendelse.

- Gjennomsnittet av binomialfordelingen er n.p

- Standardavviket er:

De foregående eksemplene oppfyller disse forholdene, selv om det er visse begrensninger å gjelde.

Søknadseksempel

La oss ta en enkel begivenhet, som kan være å få 2 ansikter 5 ved å lansere en ærlig terning 3 ganger. Hva er sannsynlighetene for at i 3 lanseringer er det oppnådd 2 ansikter på 5?

Det er flere måter å oppnå det på, for eksempel at:

- De to første utgivelsene er 5 og ikke.

- Den første og den siste er 5, men ikke medium.

- De to siste lanseringene er 5 og den første gjør det ikke.

Ta som et eksempel den første sekvensen som er beskrevet og beregne sannsynligheten for forekomst. Sannsynligheten for å oppnå et 5 ansikt i den første lanseringen er 1/6, og også i den andre, ettersom de er uavhengige hendelser.

Sannsynligheten for å oppnå et annet ansikt på 5 i den siste lanseringen er 1 - 1/6 = 5/6. Derfor er sannsynligheten for at denne sekvensen kommer ut, produktet av sannsynligheter:

(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0.023

Hva med de to andre sekvensene? De har identisk sannsynlighet: 0.023.

Og ettersom vi har totalt 3 vellykkede sekvenser, vil den totale sannsynligheten være:

P (2 ansikter 5 i 3 lanseringer) = antall mulige sekvenser x Sannsynlighet for en bestemt sekvens = 3 x 0.023 = 0.069.

La oss nå prøve binomialen, der det er gjort:

Kan servere deg: Mackinder Box

x = 2 (få 2 sider på 5 av 3 lanseringer er suksess)

n = 3

P = 1/6

Q = 5/6

Løste øvelser

Det er flere måter å løse binomiale distribusjonsøvelser. Som vi har sett, kan de enkleste løses og forteller hvor mange vellykkede suksesser som eksisterer og deretter multipliserer med de respektive sannsynlighetene.

Når det er mange alternativer, blir tallene imidlertid større, og det er å foretrekke å bruke formelen.

Og hvis tallene er enda høyere, er det gutter av binomialfordelingen. Imidlertid har de for tiden blitt foreldet til fordel for de mange typer kalkulatorer som letter beregningen.

Oppgave 1

Et par har barn med sannsynlighet på 0,25 for å ha blod av typen eller. Paret har totalt 5 barn. Svar: a) Passer denne situasjonen til en binomial distribusjon?, b) Hva er sannsynligheten for at nøyaktig 2 av dem er av typen eller?

Løsning

a) Den binomiale fordelingen er justert, siden den oppfyller forholdene som er etablert i tidligere seksjoner. Det er to alternativer: å ha type eller "suksess" blod, mens du ikke har det er "fiasko", og alle observasjoner er uavhengige.

b) Du har binomialfordelingen:

Der følgende verdier erstattes:

x = 2 (skaff deg 2 barn med type o blod)

n = 5

P = 0.25

Q = 0.75

= 0.2637

Eksempel 2

Et universitet uttaler at 80% av studentene som tilhører universitetsbasketballaget. En etterforskning undersøker den akademiske posten av 20 studenter som tilhører nevnte basketlag som meldte seg inn på universitetet for lenge siden.

Av disse 20 studentene var 11 avsluttet løpet og 9 forlot studiene.

Figur 2. Nesten alle studenter som spiller for universitetsteamet, klarer å oppgradere. Kilde: Pixabay.

Hvis universitetets uttalelse er sant, bør antallet studenter som spiller basketball og som klarer å oppgradere, mellom 20, ha en binomial distribusjon med N = 20 og P = 0,8. Hva er sannsynligheten for at nøyaktig 11 av de 20 spillerne uteksamineres?

Kan tjene deg: vinkler i omkretsen: typer, egenskaper, løste øvelser

Løsning

I binomial distribusjon:

Følgende verdier må erstattes:

x = 11

N = 20

P = 0.8

Q = 0.2

= 0.00739

Eksempel 3

Forskerne gjennomførte en studie for å avgjøre om det var signifikante forskjeller i konfirmasjonsgraden blant medisinstudenter som ble innlagt gjennom spesielle programmer og medisinstudenter som ble innlagt gjennom de vanlige opptakskriteriene.

Det ble funnet at graderingsgraden var 94% for studenter som ble innlagt gjennom spesielle programmer (basert på data fra dataene til Journal of the American Medical Association).

Hvis 10 av studentene i spesialprogrammene er tilfeldig valgt, finn sannsynligheten for at minst 9 av dem ble uteksaminert.

b) Ville det være uvanlig tilfeldig å velge 10 studenter fra spesialprogrammene og innhente at bare 7 av dem har uteksaminert?

Løsning

Sannsynligheten for at en student innrømmet gjennom en spesiell programutdannede er 94/100 = 0.94. De er valgt N = 10 Studenter av spesialprogrammene, og du vil finne ut sannsynligheten for at minst 9 av dem uteksamineres.

Følgende verdier erstattes i binomialfordelingen:

x = 9

N = 10

P = 0.94

Q = 0.06Dette er sannsynligheten for at nøyaktig 9 blir uteksaminert, men de kan også uteksaminere nøyaktig 10:

 P (minst 9 utdannet) = P (9) + P (10) = 0.3439+0.5386 = 0.8825

b)
Ja det er uvanlig, siden sannsynligheten som er oppnådd er ganske liten.

Referanser

1. Berenson, m. 1985. Statistikk for administrasjon og økonomi. Inter -American s.TIL.
2. Mathworks. Binomial distribusjon. Gjenopprettet fra: er.Mathworks.com
3. Mendenhall, w. 1981. Statistikk for administrasjon og økonomi. 3. utgave. IBEROAMERICA REDAKSJON GROUP.
4. Moore, d. 2005. Grunnleggende statistikk anvendt. 2. Utgave.
5. Triola, m. 2012. Elementær statistikk. 11. Ed. Pearson Education.
6. Wikipedia. Binomial distribusjon. Gjenopprettet fra: er.Wikipedia.org