Løst faktoriseringsøvelser

De factoring Det er den algebraiske prosedyren som et algebraisk uttrykk blir produkter av enklere vilkår. På denne måten er mange beregninger forenklet.

Faktoriseringsøvelser er med på å forstå denne teknikken, som brukes mye i matematikk og består i prosessen med å skrive en sum som et produkt av visse vilkår.

Figur 1.- Gjennom å ta et algebraisk uttrykk utvides utvides til et produkt av faktorer som det er behagelig å jobbe. Kilde: f. Zapata.

For å være tilstrekkelig faktor, må du starte med å se om det er bokstaver og tall til felles for hvert begrep. For eksempel uttrykket 5x⁴ -10x³ + 25x², som inneholder tre begreper, kan det være faktor som legger merke til at "x" gjentas i hver enkelt, selv om det med forskjellig kraft. Når det gjelder de numeriske koeffisientene, er alle multipler på 5.

Så den vanlige faktoren består av:

-Produktet mellom den maksimale vanlige divisoren for koeffisientene og

-Den minste kraften til bokstavene som vises.

I eksemplet er den vanlige faktoren:

5x²

Og uttrykket forblir slik:

5x⁴ - 10x³ + 25x² = 5x² ⋅ (x² - 2x + 5)

Leseren kan sjekke gjennom anvendelsen av distribusjonseiendommer, at begge uttrykkene er likeverdige.

[TOC]

Faktoriseringsmetoder: kvadratforskjell

Ikke alle algebraiske uttrykk er fabrikker som vi nettopp har gjort, så her vil vi vise hvordan du bruker flere metoder med løst trinn for trinn.

Dermed lærer leseren med litt praksis å bruke den mest praktiske metoden i tilfeller som:

-Binomial og trinomial faktorisering.

-Polynomisk faktorisering.

-Polynomiske røtter beregning.

Bildet av figur 1 er veldig nyttig når spørsmålet oppstår: hva slags faktoriseringsbruk for en trening?

Vi vil starte med en forskjell på firkanter, for hvilken formel 1 av bordet blir brukt.

- Trening løst 1

Faktor 16x binomial² - 49

Løsning

I dette eksemplet gjentas ikke kraften og de numeriske koeffisientene er ikke søskenbarn med hverandre, som i eksemplet med prinsippet. Imidlertid, hvis det er bekreftet at det gitte uttrykket er en Forskjell på firkanter, Formel 1 kan brukes.

Alt som trengs er å identifisere vilkårene til og b:

til² = 16x² → A = √ (16x²) = 4x
b² = 49 → B = 49 = 7

Når den er identifisert, fortsett å erstatte formelen:

16x² - 49 = (4x + 7) (4x - 7)

Kan tjene deg: Reduksjon av lignende vilkår

Og uttrykket forblir som de to faktorproduktet.

I dette og i alle tilfeller de følger, kan leseren bekrefte at hvis han utvikler resultatet med distribusjonseiendommen, oppnås det opprinnelige algebraiske uttrykket tilbake.

Perfekt firkantet trinomial faktorisering

Disse tilfellene tilsvarer formlene 2 og 3 i figur 1. Før du bruker det, må det imidlertid verifiseres at uttrykket er oppfylt at:

-To begreper er de perfekte rutene til til og b.

-Det gjenværende uttrykket er det doble produktet av A og B, det vil si: 2ab.

Hvis ovennevnte er sant, er det en perfekt firkantet trinomial og formlene brukes direkte.

- Trening løst 2

Faktor trinomial: x² + 12x + 36

Løsning

Dette uttrykket virker passende å bruke formel 2 i boksen, men først må vi bekrefte at det er en perfekt firkantet trinomial. Først observeres det at både den første og tredje termen er perfekte firkanter:

• x² Det er det perfekte firkanten av x, siden (x)² = x²
• 36 er det perfekte firkanten av 6, siden 6² = 36

Så:

a = x
B = 6

Og til slutt må det verifiseres at den gjenværende begrepet er 2AB, og faktisk:

12x = 2⋅x⋅6

Det trekker bare fra faktorering i henhold til formelen:

x² + 12x + 36 = (x + 6)²

- Trening løst 3

Skriv uttrykket 4x² -20x + 25 i faktorisert form.

Løsning

Ettersom det er et negativt tegnbegrep kan tjene formel 3 i boksen, men før det må verifiseres at det er en perfekt firkantet trinomial:

• 4x² Det er 2x kvadrat, siden (2x)² = 4x², Derfor A = 2x
• 25 lik 5², deretter b = 5
• Begrepet 20x er lik 2⋅2x⋅5 = 20x

Faktoriseringen forblir slik:

4x² -20x + 25 = (2x - 5)²

Sum og forskjell på terninger

Når du har summer eller forskjeller i terninger, gjelder formler 4 eller 5 avhengig av saken.

- Trening løst 4

Faktoriser 8x³ - 27

Løsning

Vi har en forskjell i terninger her, så å trekke ut kubikkroten til hvert begrep:

Da a = 2x og b = 3.

Formel 4 følges, noe som er passende for forskjellen i terninger:

8x³ - 27 = (2x-3) ⋅ [(2x)² + 2x⋅3 + 3²] = (2x-3) ⋅ (4x² + 6x + 9)

Faktorisering ved å gruppere vilkår

I det følgende bildet er det et polynom med fire begreper som må tas faktoriseres. De tre første begrepene har "x" til felles, men den siste gjør det ikke. Vi kan heller ikke si at numeriske koeffisienter er multipler av samme faktor.

Kan tjene deg: konveks polygon: definisjon, elementer, egenskaper, eksempler

Imidlertid vil vi prøve å gruppere begrepene i to deler med parenteser, indikert med den gule pilen: de to første begrepene har til felles "x", mens de to siste har til felles at koeffisientene er multipler på 5.

Vi faktor disse to gruppene (Blue Arrow). Nå må leseren observere at når en ny felles faktor kommer ut: parentesen (3x+2).

Berøringsfaktoriser for andre gang (rosa pil), siden (3x+2) er en vanlig faktor på x og 5.

Figur 2. Et eksempel på hvordan man kan faktorere for gruppering av vilkår. Kilde: f. Zapata.

Røttene til et polynom

Er verdiene på variabelen som avbryter polynomet. Hvis det er et polynom hvis variabel er "x", som vi har sett, fordi det handler om å finne verdiene til x slik at når den erstatter, er den oppnådde numeriske verdien 0.

Faktorisering er en metode for å finne nuller i noen polynomer. La oss se på et eksempel:

- Trening løst 5

Finn nuller av trinomial x² -2x - 3

Løsning

Vi fakturerer det trinomiale, men dette er ikke en perfekt firkantet trinomial. Vi kan imidlertid utføre en prosedyre av Tanteo. Vi skrev trinomialen som produkt av to faktorer, som dette:

x² -2x - 3 = (x) . (x)

I den første parentesen er det første trinomiale tegnet plassert, sett fra venstre mot høyre. Dette er et tegn (-). I den andre parentesen er produktet av de to tegnene som vises etter begrepet med x²:

(-) x (-) = +

På denne måten vil faktoriseringen bli sett:

x² -2x - 3 = (x -) . (x +)

Nå må du se etter to numre A og B som kommer til å bli satt i de blanke områdene. Når multiplisert skal være 3:

• A x b = 3

Og de må også overholde det faktum at når det er resultert, er det 2, siden tegn på parenteser er forskjellige.

(Hvis de hadde vært like tegn, bør det søkes to tall A og B at når de ble lagt til, ga de koeffisienten for begrepet med "x"). Så:

• A - B = 2

Tallene som oppfyller begge forholdene er 3 og 1, siden:

3 x 1 = 3

3 - 1 = 2

Det høyeste antallet er plassert i parentesen til venstre, og faktoriseringen forblir som følger:

x² - 2x - 3 = (x - 3) . (x + 1)

Zeros av polynomet er verdiene til x som avbryter hver faktor:

Kan tjene deg: til og med tall

x - 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 1 = 0 ⇒ x = -1

Leseren kan bekrefte at å erstatte disse verdiene i den opprinnelige trinomialen, dette blir kansellert.

Andre øvelser

- Trening løst 6

Faktor følgende polynom: P (x) = x²-1.

Løsning

Det er ikke alltid nødvendig å bruke løsningsmidlet. I dette eksemplet kan et bemerkelsesverdig produkt brukes.

Omskriving av polynomet som følger.

Ved å bruke det bemerkelsesverdige produktet 1, kan forskjellen på firkanter, polynomen P (x) være fabrikker som følger: P (x) = (x+1) (x-1).

Dette indikerer også at røttene til P (x) er x1 = -1 og x2 = 1.

- Trening løst 7

Faktisk følgende polynom: q (x) = x³ - 8.

Løsning

Det er et bemerkelsesverdig produkt som sier følgende: A³-B³ = (A-B) (A²+AB+B²).

Når du vet dette, kan du omskrive polynomet Q (x) som følger: q (x) = x³ -8 = x³ - 2³.

Nå, ved bruk av det bemerkelsesverdige produktet som er beskrevet, er faktoriseringen av polynomet Q (x) q (x) = x³-2³ = (x-2) (x²+2x+2²) = (x-2) (x²+2x+ 4).

Mangler factoring av det kvadratiske polynomet som oppsto i forrige trinn. Men hvis det er observert, kan det bemerkelsesverdige produktet nummer 2 hjelpe; Derfor er den endelige faktoriseringen av Q (x) gitt av Q (x) = (x-2) (x+2) ².

Dette sier at en rot av Q (x) er x1 = 2, og at x2 = x3 = 2 er den andre roten til Q (x), som gjentas.

- Trening løst 8

Faktoriser r (x) = x² - x - 6.

Løsning

Når et bemerkelsesverdig produkt ikke kan oppdages, eller den nødvendige erfaringen for å manipulere uttrykket ikke er tilgjengelig, fortsettes bruken av oppløsningen. Verdiene er følgende a = 1, b = -1 og c = -6.

Når du erstatter dem i formelen, er det x = (-1 ± √ ((-1) ²-4*1*(-6)))/2*1 = (-1 ± √25)/2 = (-1 ± 5)/2.

Herfra er to løsninger som er følgende:

x1 = (-1+5)/2 = 2

x2 = (-1-5)/2 = -3.

Derfor kan polynom r (x) være fabrikker som r (x) = (x-2) (x-(-3)) = (x-2) (x+3).

- Trening løst 9

Faktor h (x) = x³ - x² - 2x.

Løsning

I denne øvelsen kan du starte med å ta ut den vanlige faktoren X, og det oppnås at H (x) = x (x²-x-2).

Derfor gjenstår det bare å faktorere det kvadratiske polynomet. Ved å bruke løsningsmidlet igjen må røttene være:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4*1*(-2)))/2*1 = (-1 ± √9)/2 = (-1 ± 3)/2.

Derfor er røttene til den kvadratiske polynomet x1 = 1 og x2 = -2.

Avslutningsvis er faktoriseringen av polynomet H (x) gitt av H (x) = x (x-1) (x+2).

Referanser

1. Baldor. 1977. Elementær algebra. Venezuelanske kulturutgaver.
2. Røtter av et polynom. Hva er og hvordan beregnes trinn for trinn. Gjenopprettet fra: Ekuatio.com.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matematikk for beregning. 5. plass. Utgave. Cengage Learning.
5. Zill, d. 1984. Algebra og trigonometri. McGraw Hill.