Matematisk håpformel, egenskaper, eksempler, trening

De Matematisk håp eller forventet verdi av tilfeldig variabel X, det er betegnet som e (x) og er definert som summen av produktet mellom sannsynligheten for en tilfeldig hendelse og verdien av nevnte hendelse.

I matematisk form uttrykkes det som følger:

μ = e (x) = ∑ x_Yo. P (x_Yo) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) +..

Figur 1. Matematisk håp er mye brukt i aksjemarkedet og forsikringsfeltet. Kilde: Pixabay.

Hvor x_Yo Det er verdien av hendelsen og p (x_Yo) dens sannsynlighet for forekomst. Summeringen strekker seg til alle verdiene som er innlagt x. Og hvis disse er endelige, indikerte sammendraget konvergerer til verdien E (x), men hvis summen ikke konvergerer, mangler variabelen forventet verdi.

Når det gjelder en kontinuerlig variabel x, Variabelen kan ha uendelige verdier, og integralene erstatter sammendragene:

Her representerer f (x) Sannsynlighetstetthetsfunksjon.

Generelt er matematisk håp (som er et vektet gjennomsnitt) ikke lik det aritmetiske eller gjennomsnittlige gjennomsnittet, med mindre det er diskrete fordelinger der hver hendelse er like sannsynlig. Så, og bare da:

μ = e (x) = (1/n) ∑ x_Yo

Hvor n er antall mulige verdier.

Konseptet er veldig nyttig i finansmarkeder og forsikringsselskaper, der det ofte mangler sikkerhet, men de er sannsynlig.

[TOC]

Egenskaper ved matematisk håp

Blant de viktigste egenskapene til matematisk håp er følgende:

- Skilt: Hvis x er positiv, vil E (x) også være.

- Forventet verdi av en konstant: Den forventede verdien av en virkelig konstant k Det er konstant.

E (k) = k

- Linearitet i summen: Håpet om en tilfeldig variabel som igjen er summen av to variabler x y y er summen av håp.

Kan tjene deg: ordnet par

E (x + y) = e (x) + e (y)

- Multiplikasjon med en konstant: Hvis den tilfeldige variabelen er form kx, hvor k Det er en konstant (et reelt tall), det går ut av den forventede verdien.

E (kx) = k e (x)

- Forventet verdi av produktet og uavhengigheten mellom variabler: Hvis en tilfeldig variabel er produktet av de tilfeldige variablene x y y, som er uavhengige, er den forventede verdien av produktet et produkt av de forventede verdiene.

Eks.Y) = e (x).HEI)

- Tilfeldig variabel Y = øks + b: De forrige egenskapene blir brukt.

E (øks + b) = ae (x) + e (b) = ae (x) + b

Generelt, ja Y = g (x):

E (y) = e [g (x)] = ∑ g (x_Yo). P [G (x_Yo)]

- Bestill i forventet verdi: Ja x ≤ y, da:

E (x) ≤ e (y)

Siden det er de forventede verdiene til hver av dem.

Matematisk håp i spill

Da den berømte astronomen Christian Huygens (1629-1695) ikke observerte himmelen, var han dedikert til å studere, blant andre fagområder, sannsynligheten i pengespill. Det var han som introduserte begrepet matematisk håp i sitt arbeid fra 1656 med tittelen: Resonnement om gambling.

Figur 2. Christiaan Huygens (1629-1625) var en strålende og allsidig forsker, som vi skylder det forventede verdiskonseptet.

Huygens fant ut at spill kunne klassifiseres på tre måter, i henhold til forventet verdi:

-Spill med fordel: E (x)> 0

-Fair -spill: E (x) = 0

-Ulempeespill: E (x) < 0

Problemet er at i et sjansespill er matematisk håp ikke alltid lett å beregne. Og når du kan resultatet er det noen ganger skuffende for de som spør om de skal satse eller ikke.

La oss gjøre et forsøk med en enkel innsats: ansikt eller kryss, og den som taper betaler en kaffe på 1 $. Hva er den forventede verdien av denne innsatsen?

Kan tjene deg: Hva er retningslinjen? (Geometri)

Vel, sannsynligheten for å være dyr er ½, akkurat som et kors kommer ut. Den tilfeldige variabelen er å vinne $ 1 eller tape $ 1, gevinsten er betegnet med tegn + og tapet med tegn -.

Vi organiserer informasjonen i en tabell:

Vi multipliserer verdiene på kolonnene: 1. ½ = ½ y (-1). ½ = -½ og til slutt blir resultatene lagt til. Summen er 0 og det er et rettferdig spill, der deltakerne forventes å vinne eller tape.

Fransk roulette og lotteri er spill med en ulempe der de fleste av traigatorene taper. Senere er det en litt mer sammensatt innsats i delen av løste øvelser.

Eksempler 

Her er noen enkle eksempler der begrepet matematisk håp er intuitivt og tydeliggjør konseptet:

Eksempel 1

Vi starter med å lansere en ærlig terning. Hva er den forventede lanseringsverdien? Vel, hvis terningen er ærlig og har 6 ansikter, etterlater sannsynligheten for at enhver verdi (x = 1, 2, 3 ... 6) etterlater 1/6, som dette:

E (x) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5.(1/6) + 6. (1/6) = 21/6 = 3.5

Figur 3. Ved lanseringen av en ærlig terninger er den forventede verdien ikke en mulig verdi. Kilde: Pixabay.

Den forventede verdien i dette tilfellet er lik gjennomsnittet, siden hvert ansikt har samme sannsynlighet for å komme ut. Men E (x) er ikke en mulig verdi, siden ingen ansikt er verdt 3.5. Dette er helt mulig i noen distribusjoner, selv om resultatet i dette tilfellet ikke hjelper å satse mye.

La oss se på et annet eksempel med lanseringen av to mynter.

Eksempel 2

To ærlige mynter blir kastet i luften og definerer den tilfeldige variabelen X som antall oppnådde ansikter. Hendelsene som kan oppstå er følgende:

Kan tjene deg: 90 Divisors: Hva er og forklaring

-Ingen ansikt kommer ut: 0 ansikter som er lik 2 kryss.

-1 ansikt og 1 tetning eller kors kommer ut.

-2 ansikter kommer ut.

La C være et ansikt og et tetning, prøveområdet som beskriver disse hendelsene er som følger:

S_m = Sel-iso; Sel-kara; Ansiktsjett; Cara-Cara = TT, TC, CT, CC

Sjansene for hendelser skjer er:

P (x = 0) = P (t).P (t) = ½ . ½ = ¼

P (x = 1) = p (tc) + p (ct) = p (t).P (C) + P (C).P (t) = ¼ +¼ = ½

P (x = 2) = P (C).P (c) = ½ . ½ = ¼

Tabellen er bygget med de oppnådde verdiene:

I henhold til definisjonen som er gitt i begynnelsen, beregnes matematisk håp som:

μ = e (x) = ∑ x_Yo. P (x_Yo) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) +..

Erstatte verdier:

E (x) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Dette resultatet tolkes som følger: Hvis en person har nok tid til å gjøre et stort antall eksperimenter som lanserer de to myntene, forventes det å få et ansikt i hver lansering.

Vi vet imidlertid at utgivelsene som 2 frimerker kommer ut er helt mulig.

Trening løst

I lanseringen av to ærlige valutaer blir følgende innsats gjort: Hvis 2 ansikter kommer ut, tjener de $ 3, hvis 1 ansikt er vunnet, men hvis to frimerker kommer ut, må du betale $ 5. Beregn forventet gevinst av innsatsen.

Figur 4. I følge innsatsen endres matematisk håp ved å lansere to ærlige mynter. Kilde: Pixabay.

Løsning

Den tilfeldige variabelen x er verdiene som pengene tar i innsatsen og sannsynlighetene ble beregnet i forrige eksempel, derfor er tabellen til innsatsen:

E (x) = 3 . ¼ + 1. ½ + (-5) . ¼ = 0

Ettersom den forventede verdien er 0, er det et rettferdig spill, så her forventes det at bettoren ikke vinner og ikke taper. Imidlertid kan spillbeløp endres for å forvandle innsatsen til et spill med en fordel eller et spill med en ulempe.

Referanser

1. Brase, c. 2009. Undervurderbar statistikk. Hougton Mifflin.
2. Olmedo, f. Introduksjon til begrepet forventet verdi eller matematisk håp om en tilfeldig variabel. Gjenopprettet fra: personlig.oss.er.
3. Statistikk librettexts. Forventet verdi av diskrete tilfeldige variabler. Hentet fra: Statistikk.Librettexts.org.
4. Triola, m. 2010. Elementær statistikk. 11. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, r. 2007. Sannsynlighet og statistikk for vitenskap og ingeniørfag. 8. Utgave. Pearson Education.