Uavhengige hendelsesdemonstrasjon, eksempler, øvelser

To Hendelser er uavhengige, Når sannsynligheten for at den ene av dem ikke vil skje, blir ikke påvirket av det faktum at den andre skjer -eller ikke skjer -vurderer at disse hendelsene oppstår tilfeldig.

Denne omstendigheten er alltid gitt at prosessen som genereres av resultatet av hendelse 1, ikke endres på noen måte sannsynligheten for mulige resultater fra hendelse 2. Men hvis dette ikke er tilfelle, sies det at hendelsene er avhengige.

Figur 1. Fargede klinkekuler brukes ofte for å forklare sannsynligheten for uavhengige hendelser. Kilde: Pixabay.

En situasjon med uavhengige hendelser er som følger: Anta at to terninger på seks sider blir kastet, den ene blå og den andre rosa. Sannsynligheten for en 1 i den blå terningen er uavhengig av sannsynligheten for at en 1 -eller ikke kommer ut - i de rosa terningene.

Et annet tilfelle av to uavhengige hendelser er å lansere en mynt to ganger på rad. Resultatet av den første lanseringen vil ikke avhenge av resultatet av andre og omvendt.

[TOC]

Demonstrasjon av to uavhengige hendelser

For å bekrefte at to hendelser er uavhengige, vil vi definere begrepet betinget sannsynlighet for en hendelse med hensyn til en annen. For dette er det nødvendig å skille mellom eksklusive hendelser og inkluderende hendelser:

To hendelser er eksklusive hvis mulige verdier eller elementer i hendelsen A, har ingenting til felles med verdiene eller elementene i hendelsen B.

Derfor i to eksklusive hendelser er settet med kryssing mellom A med B tomrommet:

Eksklusive arrangementer: A∩B = Ø

Tvert imot, hvis hendelsene er inkluderende, kan det skje at ett resultat av hendelsen A også sammenfaller med det fra en annen B, og er A og B forskjellige hendelser. I dette tilfellet:

Inkluderende hendelser: A∩B ≠ Ø

Dette fører til at vi definerer den betingede sannsynligheten for to inkluderende hendelser, med andre ord, sannsynligheten for forekomst av hendelse A, forutsatt at hendelse B oppstår:

P (A¦b) = P (A∩B)/P (B)

Derfor er betinget sannsynlighet sannsynligheten som oppstår og B delt med sannsynligheten som oppstår b. Sannsynligheten som er basert på en:

P (b¦a) = p (a∩b)/p (a (a)

Kriterier for å vite om to hendelser er uavhengige

Neste vil vi gi tre kriterier for å vite om to hendelser er uavhengige. Det er nok at en av de tre er oppfylt, slik at hendelsesuavhengigheten blir demonstrert.

1.- Hvis sannsynligheten som vil skje så lenge B er lik sannsynligheten for A, er dette uavhengige hendelser:

Det kan tjene deg: eiendom til algebra -lås: demonstrasjon, eksempler

P (a¦b) = p (a) => a er uavhengig av b

2.- Hvis sannsynligheten som oppstår B gitt, er lik sannsynligheten for B, har de uavhengige hendelser:

P (b¦a) = p (b) => b er uavhengig av en

3.- Hvis sannsynligheten som oppstår og B, er lik produktet av sannsynligheten som oppstår for sannsynligheten som oppstår B, er dette uavhengige hendelser. Det gjensidige er også sant.

P (A∩B) = P (A) P (B) A og B er uavhengige hendelser.

Eksempler på uavhengige hendelser

Gummisålene produsert av to forskjellige leverandører blir sammenlignet. Prøvene til hver produsent blir utsatt for flere forsøk som de avsluttes om de er innenfor spesifikasjonene eller ikke. 

Figur 2. Forskjellige gummisoler. Kilde: Pixabay.

Det resulterende sammendraget av 252 -prøvene er som følger:

Produsent 1; 160 oppfyller spesifikasjoner; 8 Ikke oppfyller spesifikasjoner.

Produsent 2; 80 oppfyller spesifikasjoner; 4 Ikke oppfyller spesifikasjoner.

Hendelse A: "Prøven er fra produsenten 1".

Hendelse B: "At prøven oppfyller spesifikasjonene".

Det er ønsket å vite om disse hendelsene A og B er eller ikke er uavhengige, som vi bruker et av de tre kriteriene som er nevnt i forrige seksjon.

Kriterier: p (bped) = p (b) => b er uavhengig av en

P (b) = 240/252 = 0.9523

P (b¦a) = p (a ⋂ b)/p (a) = (160/252)/(168/252) = 0.9523

Konklusjon: Hendelser A og B er uavhengige.

Anta at en hendelse C: "At showet kommer fra produsenten 2"

Vil det være hendelse B uavhengig av hendelse C?

Vi bruker et av kriteriene.

Kriterier: P (B¦c) = P (B) => B er uavhengig av C

P (B¦c) = (80/252)/(84/252) = 0.9523 = P (B)

Derfor, i henhold til tilgjengelige data, er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt gummisåle oppfyller spesifikasjonene, uavhengig av produsenten. 

Gjøre en uavhengig hendelse til en avhengig

La oss se på følgende eksempel for å skille mellom hendelser Avhengige e uavhengig. 

Vi har en pose med to hvite sjokoladekuler og to svarte baller. Sannsynligheten for å få en hvit eller svart ball er den samme i første forsøk.

Anta at resultatet var en hvit ball. Hvis den ekstraherte ballen fylles på nytt i posen, gjentas den opprinnelige situasjonen: to hvite baller og to svarte baller.

Så i en annen hendelse eller utvinning er mulighetene for å ta ut en hvit ball eller en svart ball identiske med de første gangene. Det er derfor uavhengige hendelser.

Men hvis den hvite ballen ikke blir etterfylt i den første hendelsen fordi vi har spist den, er det i den andre ekstraksjonen større muligheter for å få en svart ball. Sannsynligheten for at i en annen ekstraksjon oppnås igjen hvit, er forskjellig fra den første hendelsen og er betinget av forrige resultat.

Kan tjene deg: Scaleno Triangle

Øvelser

- Oppgave 1

I en boks legger vi de 10 klinkekuler i figur 1, hvorav 2 er grønne, 4 blå og 4 hvite. De kommer til å velge to tilfeldige klinkekuler, en første og en etter. Det blir bedt om å finne
Sannsynlighet for at ingen av dem er blå, under følgende forhold:

a) Med erstatning, det vil si å gå tilbake til boksen den første marmoren før det andre utvalget. Angi om de er uavhengige eller avhengige hendelser.

b) Uten erstatning, slik at den første marmoren trukket ut, er ute av boksen på tidspunktet for å gjøre det andre valget. Påpek om de er avhengige eller uavhengige hendelser.

Løsning på

Vi beregner sannsynligheten for at den første marmoren som er ekstrahert ikke er blå, noe som er mindre sannsynligheten for at den er blå P (A), eller direkte at den ikke er blå, fordi den kom ut grønt eller hvitt:

P (a) = 4/10 = 2/5

P (ingen blå) = 1 - (2/5) = 3/5

O vel:

P (grønn eller hvit) = 6/10 = 3/5.

Hvis marmoren returneres, er alt igjen som før. I denne andre ekstraksjonen er det også 3/5 sannsynlighet for at den ekstraherte marmoren ikke er blå.

P (ingen blå, ingen blå) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Hendelsene er uavhengige, siden den ekstraherte marmoren kom tilbake til boksen og den første hendelsen ikke påvirker sannsynligheten for forekomst av sekundet.

Løsning b

For den første utvinningen går det samme i forrige avsnitt. Sannsynligheten for at det ikke er blått er 3/5.

For den andre ekstraksjonen har vi 9 klinkekuler i posen, siden den første ikke kom tilbake, men den var ikke blå, derfor er 9 klinkekuler og 5 ikke -blue igjen i posen:

P (grønn eller hvit) = 5/9.

P (ingen være blå) = p (først ingen blå). P (andre ikke -blue /første var ikke blå) = (3/5) . (5/9) = 1/3

I dette tilfellet handler det ikke om uavhengige hendelser, siden den første hendelsen betinget det andre.

- Oppgave 2

En butikk har 15 skjorter i tre størrelser: 3 små, 6 medium og 6 store. 2 skjorter er tilfeldig valgt.

a) Hvilken sannsynlighet begge utvalgte skjorter er små, hvis en først fjernes og uten å bytte ut partiet en annen?

b) Hva sannsynlig er begge utvalgte skjorter små, hvis den ene først blir fjernet, den andre byttes ut og den andre fjernes?

Det kan tjene deg: ekte ekte variabel funksjon og dens grafiske representasjon

Løsning på

Her er to hendelser:

Arrangement A: Den første valgte skjorten er liten

Arrangement B: Den andre valgte skjorten er liten

Sannsynligheten for hendelsen A er: P (A) = 3/15

Sannsynligheten som er fra hendelse B er: P (B) = 2/14, fordi en skjorte allerede hadde blitt trukket ut (14), men den er også ønsket å møte arrangementet til den første skjorten som er trukket ut, må være liten og ved det er det 2 Liten.

Med andre ord, sannsynligheten for A og B vil være et produkt av sannsynligheter er:

P (A og B) = P (Bped) P (A) = (2/14) (3/15) = 0.029

Derfor er sannsynligheten for å være av hendelse A og B lik produktet som hendelsen er, på grunn av sannsynligheten for hendelse B hvis hendelsen ble gitt.

Det er verdt å merke seg at:

P (b¦a) = 2/14

Sannsynligheten som er av hendelse B uavhengig av om hendelsen er gitt vil være:

P (b) = (2/14) hvis den første var liten, eller p (b) = 3/14 hvis den første ikke var liten.

Generelt kan følgende konkluderes:

P (bped) er ikke lik p (b) => b er ikke uavhengig av en

Løsning b

Det er to arrangementer igjen:

Arrangement A: Den første valgte skjorten er liten

Arrangement B: Den andre valgte skjorten er liten

P (a) = 3/15

Husk hva resultatet er, skjorten byttes ut fra partiet og fjerner igjen en skjorte igjen. Sannsynligheten som var av hendelse B, hvis hendelsen A ble gitt:

P (B¦a) = 3/15

Sannsynligheten for at hendelser vil bli gitt A og B vil være:

P (A og B) = P (Bped) P (A) = (3/15) (3/15) = 0.04

Noter det: 

P (b¦a) er lik p (b) => b er uavhengig av en.

- Øvelse 3

Tenk på to uavhengige hendelser A og B. Det er kjent at sannsynligheten for at hendelsen skjer er 0,2 og sannsynligheten for at hendelsen B skjer er 0,3. Hva vil være sannsynligheten for at begge hendelsene oppstår?

Løsning 2

Å vite at hendelsene er uavhengige, er det kjent at sannsynligheten for at begge hendelsene oppstår er et produkt av individuelle sannsynligheter. Det er å si,

P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Merk at det er en mye lavere sannsynlighet enn sannsynligheten for at hver hendelse skjer uavhengig av resultatet av den andre. Eller med andre ord, mye mindre enn individuelle sannsynligheter.

Referanser

1. Berenson, m. 1985. Statistikk for administrasjon og økonomi. Inter -American s.TIL. 126-127.
2. Monterrey Institute. Sannsynlighet for uavhengige hendelser. Gjenopprettet fra: Monterreyinstitute.org
3. Mats professor. Uavhengige hendelser. Gjenopprettet fra: YouTube.com
4. Superprof. Typer hendelser, avhengige hendelser. Gjenopprettet fra: Superprof.er
5. Virtuell veileder. Sannsynlighet. Hentet fra: Vitutor.nett
6. Wikipedia. Uavhengighet (sannsynlighet). Gjenopprettet fra: Wikipedia.com