Matte

Delvis brøk

Delvis brøk
Nedbrytningsmetoden i delvis fraksjoner brukes til å løse integraler. Kilde: f. Zapata.

Hva er delvis brøk?

Metoden til delvis brøk o Simple fraksjoner brukes i algebra og matematisk beregning for å dekomponere et rasjonelt uttrykk, og etterlater en algebraisk sum av enklere fraksjoner.

Å være de ekstra enkle brøkene, forenkles beregningen av operasjoner som derivater og integraler, blant andre.

Tenk på følgende rasjonelle algebraiske uttrykk, som består av polynomer P (x) og Q (x) i henholdsvis telleren og nevneren:

Du vil skrive dette uttrykket som summen av mindre brøk. For å gjøre dette, skal det bemerkes at polynom q (x) i nevneren er en firkantet trinomial, som raskt kan faktores, som et produkt av to faktorer:

x2+x - 12 = (x+4) (x - 3)

Derfor forblir det forrige uttrykket som følger:

Når du kjenner summen av brøk, fører denne måten å skrive uttrykket lett til denne andre:

Det gjenstår å finne verdiene til A og B, slik at det opprinnelige uttrykket uttrykkes som summen av disse to mindre brøkene. For det viste eksemplet er verdiene: a = 3 og b = 2, og leseren kan bekrefte at i virkeligheten summen:

Det tilsvarer det opprinnelige uttrykket:

Gitt at:

Hvordan beregnes delvise fraksjoner?

Det er metoder for beregning av koeffisientene som må gå i tellerne av de enkle fraksjonene, som er avhengig av formen for det opprinnelige rasjonelle uttrykket, det vil si på form av P (x)/q (x).

For det første må det huskes at når graden av P (x) er mindre enn for Q (x), er det en eget rasjonelt uttrykk, Og hvis det motsatte oppstår, er det en feil rasjonell uttrykk.

Metodene for å dekomponere i enkle fraksjoner refererer til sine egne algebraiske uttrykk, hvis de ikke er det, må de først reduseres, og utføre divisjonsoperasjonen P (x)/q (x).

Det kan tjene deg: trigonometriske identiteter (eksempler og øvelser)

Deretter er målet å finne tellerne for hver av brøkene, som fire tilfeller skilles ut for, noe som avhenger av faktoriseringen av nevneren Q (x).

Sak 1: Faktorene til Q (x) er lineære og ikke gjentatt

Hvis faktorene til Q (x) er lineære og ikke gjentatt, det vil si at de er av formen (X-AYo):

Q (x) = (x -a1)(til2) ... (forn)

Med en1 ≠ a2  ≠ a3 ... ≠ an, Det vil si at alle faktorene til Q (x) er forskjellige, det rasjonelle uttrykket er skrevet som:

Verdiene til a1, TIL2, TIL3… TILn, De må bestemmes. Det rasjonelle uttrykket vist i begynnelsen er et eksempel på denne saken.

Sak 2: Q (x) har gjentatte lineære faktorer

Hvis q (x) består av en gjentatt faktor av skjemaet (x - a)n, Med n ≥ 2 utføres nedbrytning i delvis fraksjoner som følger:

Som i forrige tilfelle, må koeffisienter bestemmes av algebraiske prosedyrer.

Sak 3: Q (x) har en uponert irreducibel kvadratisk faktor

Hvis det vises ved å faktorere Q (x)2+BX+C, for denne faktoren, i nedbrytningen må inkluderes, et tilsetning med denne skjemaet:

Verdiene til A og B må finnes.

Sak 4: Q (x) har en irreducibel og gjentatt kvadratisk faktor

Forutsatt at faktoriseringen av Q (x) inneholder en irreducibel og gjentatt kvadratisk faktor2+BX+C)n, Følgende tilsetninger må være inkludert:

Som alltid må de nødvendige koeffisientene beregnes. Eksemplene nedenfor viser de algebraiske prosedyrene som kreves.

Eksempler på delvise brøk

Eksempel 1

Følgende eget rasjonelle uttrykk:

Den kommer allerede med den faktoriserte nevneren, bestående av to ikke -gjentatt lineære faktorer, så Q (x) er:

Q (x) = (x+2) (x -1)

Deretter tilsvarer nedbrytningen i delvis fraksjoner som er søkt med sak 1, og kunne skrive:

For å finne de respektive verdiene til A og B, utføres summen av likhet:

Kan tjene deg: ellipse

Utjevne tellere:

A (x - 1) + B (x + 2) = 3x

Bruke distribusjonseiendommer og gruppere lignende vilkår:

Øks - a + bx + 2b = 3x

(A +b) x +( - a +2b) = 3x

Koeffisienten (A+B) er lik 3, siden begge følger med på hver side av likhet, til begrepet som inneholder "x". For sin del er koeffisienten (−a+2b) lik 0, siden det til rettighetsrettigheten ikke er noe annet lignende begrep.

Følgende system med to ligninger med to ukjente dannes deretter:

A+B = 3
−a+2b = 0

Hvis løsning er:

A = 2
B = 1

Derfor:

Leseren kan sjekke likhet og utføre summen av seksjoner til høyre.

Eksempel 2

I dette andre uttrykket:

Også faktorisert, blir utseendet til det gjentatte begrepet (x+1) observert2, I tillegg til det lineære begrepet (x+2). I så fall er nedbrytningen i delvise fraksjoner, som indikert i sak 2,:

For å finne verdiene til A, B og C, utføres summen av høyre, og bare telleren brukes:

Telleren for det resulterende uttrykket er lik den for det opprinnelige uttrykket, og utvikler algebraisk for å skille de lignende vilkårene:

A (x+1)2 + B (x+2) (x+1)+c (x+2) = x - 3

A (x2+2x+1)+B (x2+3x+2)+C (x+2) = x --3

(A+b) x2 + (2a+3b+c) x+(a+2b+2c) = x - 3

Fra resultatet, et system med tre ligninger med tre ukjente A, B og C:

A + B = 0
2a+3b+c = 1
A+2B+2C = −3

Systemløsningen er:

A = −5
B = 5
C = −4

Nedbrytningen i forespurte delvise fraksjoner er:

Trening løst

Denne delen viser en løst øvelse som illustrerer anvendelsen av metoden for delvise fraksjoner eller enkle fraksjoner, til beregningen av ubestemte integraler. Målet er å skrive integreringen på en enklere måte.

Når de er skrevet om, søkes de resulterende enkle integralene i en tabell eller løst ved en enkel variabel endring.

Kan tjene deg: historisk bakgrunn av analytisk geometri

Det blir bedt om å beregne følgende integral:

Løsning

Den første er å bekrefte at integreringen faktisk er et eget rasjonelt algebraisk uttrykk, siden graden av telleren er mindre enn denominatoren. Dens nevner er lett faktor og gjenstår:

Derfor er Q (x):

Q (x) = x (x2+2)

Og det består av et lineært begrep: x og et irreducible kvadratisk begrep ikke gjentatt: x x2+2, derfor er det en kombinasjon av sak 1 og sak 3. Nedbrytningen i delvis fraksjoner av integreringen er:

Gjør summen til rettighetsretten:

Som alltid fungerer for delvise fraksjoner bare med telleren for sumuttrykket, som alltid skal være lik det for det opprinnelige uttrykket:

A (x2 + 2) + x (bx + c) = 2

Utvikle:

Øks2 + 2A + BX2 + CX = 2

Gruppere lignende vilkår:

(A+b) x2 + CX + 2A = 2

Lik koeffisientene for de lignende begrepene, oppnås systemet med ligninger som skal løses, med de ukjente A, B og C:

A + B = 0
C = 0
2a = 2

Fra den andre ligningen er det allerede kjent at C = 0, fra den siste følger det at a = 1, derfor b = -1, slik at den første. Med disse verdiene er det oppnådd:

Nå erstattes den i den opprinnelige integralen:

Og to enkle integraler med elementære funksjoner oppnås, funnet i tabellene eller er rask oppløsning.

Den første ideen disse integralene er elementær:

Og det andre integralet:

Det løses med følgende variabel endring: u = x2+4, du = 2xdx, og gir opphav til:

Returnerer endring av variabel:

Til slutt, å samle begge resultatene, bestemmes løsningen:

De to integrasjonskonstantene går i en, kalt C.

Referanser

  1. Araujo, f. 2018. Integrert beregning. Salesian Polytechnic University. Abya-Yala University redaksjon. Quito, Ecuador.
  2. Arcega, r. Integrasjon ved nedbrytning i delvis brøk. Gjenopprettet fra: uaeh.Edu.MX.
  3. Larson, r. 2012. Forkalkning. 8. Utgave. Cengage Learning.
  4. Purcell, e. J. 2007. Beregning. 9na. Utgave. Prentice Hall.
  5. Swokowski, e. 2011. Algebra og trigonometri med analytisk geometri. 13. Utgave. Cengage Learning.