Intefinerte integrerte egenskaper, applikasjoner, beregning (eksempler)

De Ubestemt integral Det er omvendt drift av avledningen og for å betegne det det langstrakte “S” -symbolet brukes: ∫. Matematisk er den ubestemte integralen til funksjonen f (x) skrevet:

∫f (x) dx = f (x) + c

Der integreringen av f (x) = f '(x) er en funksjon av variabelen x, som igjen er den som er avledet fra en annen funksjon f (x), kalt integral eller antiderivatet.

Figur 1. Ubestemt integral er et av de kraftigste verktøyene for matematisk modellering. Kilde: Wikimedia Commons. Wallpoper / Public Domain.

På sin side er C en konstant som er kjent som Integrasjonskonstant, som alltid følger med resultatet av eventuell ubestemt integral. Vi vil se dens opprinnelse umiddelbart gjennom et eksempel.

Anta at de ber oss om å finne følgende ubestemte integrerte i:

I = ∫x.Dx

Jeg identifiserer umiddelbart F '(x) med x. Det betyr at vi må gi en funksjon f (x) slik at dens derivat er x, noe som ikke er vanskelig:

f (x) = ½ x²

Vi vet at når vi er avledet f (x) vi kommer til F '(x), bekrefter vi det:

[½ x²] '= 2. (½ x) = x

Nå, funksjonen: f (x) = ½ x² + 2 tilfredsstiller også kravet, siden avledningen er lineær og derivatet av en konstant er 0. Andre funksjoner som, når de er avledet, resulterer i f (x) = er:

½ x² -1, ½ x² + femten; ½ x² - √2 ..

Og generelt alle funksjonene til skjemaet:

f (x) = ½ x² + C

De er riktige svar på problemet.

Noen av disse funksjonene kalles antiderivat eller primitive av f '(x) = x og er nettopp det settet av alle antiderivativene til en funksjon som er kjent som en ubestemt integrert.

Det er nok å kjenne en av de primitive, for som det er sett, er den eneste forskjellen mellom dem den konstante c av integrasjonen.

Det kan tjene deg: Poisson Distribusjon: Formler, ligninger, modell, egenskaper

Hvis problemet inneholder startbetingelser, er det mulig å beregne verdien av C for å tilpasse seg dem (se eksemplet løst senere).

[TOC]

Hvordan beregne en ubestemt integrert

I forrige eksempel ble ∫x beregnet.dx fordi en funksjon f (x) var kjent at når den ble avledet, resulterte den i integreringen.

Det er grunnen til at fra de mest kjente funksjonene og deres derivater, kan grunnleggende integraler løses.

I tillegg er det noen viktige egenskaper som utvider spekteret av muligheter når du løser et integrert. Være k Et reelt tall, da er det sant at:

1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + c

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

4.- ∫xⁿ Dx = [x^N+1/n + 1] + c (n ≠ -1)

5.- ∫x ^-1 Dx = ln x +c

Avhengig av integrering er det flere algebraiske metoder så vel som numeriske for å løse integraler. Her nevner vi:

-Endring av variabel

-Algebraiske og trigonometriske substitusjoner.

-Integrasjon av deler

-Nedbrytning i enkle brøk for å integrere rasjonell type

-Bruk av bord

-Numeriske metoder.

Det er integraler som kan løses med mer enn en metode. Dessverre er det ikke noe unikt kriterium for å bestemme a priori den mest effektive metoden for å løse et spesifikt integral.

Faktisk tillater noen metoder å nå løsningen av visse integraler raskere enn andre. Men sannheten er at å tilegne deg ferdigheter ved å løse integraler du må øve på hver metode.

- Løst eksempel

Løse:

Løsning

La oss gjøre en enkel variabel endring for subradisk mengde:

U = x-3

Med:

X = u+3

Avleder begge sider på begge uttrykkene du får:

Dx = du

Nå erstatter vi i integralen, som vi vil betegne som jeg:

I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u+3) (√u) du = ∫ (u+3) u^1/2 du

Kan tjene deg: ordinær variabel

Vi bruker distribusjonseiendom og multiplikasjon av krefter med lik base, og det oppnås:

I = ∫ (u^3/2 + 3 u^1/2) du

For eiendom 3 i forrige seksjon:

I = ∫ u^3/2 du +∫ 3u^1/2 du

Nå brukes eiendom 4, som er kjent som Maktregel:

Første integrert

∫ u^3/2 du = [u ^{3/2 + 1} / (3/2 + 1)] + C₁ =

= [u^5/2  / (5/2)] + C₁ = (2/5) u^5/2  + C₁

Andre integrert

∫ 3U^1/2 du = 3 ∫u^1/2 du = 3 [u^3/2  / (3/2)] + C₂ =

= 3 (2/3) u^3/2  + C₂ = 2U^3/2  + C₂

Så kommer resultatene sammen:

I = (2/5) u^5/2  + 2U^3/2  + C

De to konstantene kan samles i ett uten problemer. Til slutt må vi ikke glemme å returnere endringen av variabelen som ble gjort før og uttrykke resultatet med tanke på den opprinnelige variabelen x:

I = (2/5) (x-3)^5/2  + 2 (X-3)^3/2  + C

Det er mulig å faktorere resultatet:

I = 2 (x-3) ^3/2 [(1/5) (X-3) +1] + C = (2/5) (X-3) ^3/2 (x + 2) + c

applikasjoner

Ubestemt integral gjelder for en rekke modeller innen natur- og samfunnsvitenskap, for eksempel:

Bevegelse

I løsningen av bevegelsesproblemer, for å beregne hastigheten på en mobil, kjent dens akselerasjon og i beregningen av posisjonen til en mobil, kjent dens hastighet.

Økonomi

Når du beregner produksjonskostnadene og modellerer en etterspørselsfunksjon, for eksempel.

Søknadsøvelse

Minimumshastigheten som kreves av et objekt for å unnslippe den terrestriske gravitasjonsattraksjonen er gitt av:

I dette uttrykket:

-v er hastigheten på objektet som vil flykte fra jorden

-Og det er avstanden målt fra sentrum av planeten

-M er jordens masse

-G er konstant gravitasjon

Kan tjene deg: Normal distribusjon: Formel, egenskaper, eksempel, trening

Det blir bedt om å finne forholdet mellom v og og, å løse de ubestemte integralene, hvis objektet blir gitt en innledende hastighet V_enten Og jordens radius er kjent og kalles r.

Figur 2.- En kunstig satellitt soyuz. Hvis for mye hastighet er gitt, vil den slippe unna jordens alvorlighetsgrad, minimumshastigheten for at dette skal skje kalles eksoshastighet. Kilde: Wikimedia Commons.

Løsning

Vi blir presentert to ubestemte integraler for å løse gjennom integrasjonsreglene:

Yo₁ = ∫v dv = v²/2 + C₁

Yo₂ = -Gm ∫ (1/y²) dy = -gm ∫ og^-2 dy = -gm [og^-2+1/(-2 + 1)] + C₂ = GM. og^-1 + C₂

Vi er like i₁ og jeg₂:

v²/2 + C₁ = GM. og^-1 + C₂

De to konstantene kan samles i en:

Når integralene er løst, bruker vi de opprinnelige forholdene, som er følgende: Når objektet er på jordoverflaten, er det i en avstand R fra midten av det samme. I uttalelsen forteller de oss at det er avstanden målt fra jordens sentrum.

Og bare å være på overflaten er at den innledende hastigheten er utstyrt med at den vil unnslippe gravitasjonsattraksjonen til planeten. Derfor kan vi slå fast at V (r) = V_enten. I så fall forhindrer ingenting oss i å erstatte denne tilstanden i resultatet vi nettopp har oppnådd:

Og siden v_enten Det er kjent, og det samme er G, M og R, vi kan fjerne verdien av integrasjonskonstanten C:

Som vi kan erstatte i resultatet av integralene:

Og til slutt klarer vi V², Faktorering og gruppering ordentlig:

Dette er uttrykket som relaterer hastigheten v av en satellitt som har skutt fra planetens overflate (radius r) med innledende hurtighet vo, Når det er på avstand og Fra sentrum av planeten.

Referanser

1. Haeussler, e. 1992. Matematikk for administrasjon og økonomi. IBEROAMERICA REDAKSJON GROUP.
2. Hyperfysikk. Rømningshastighet. Gjenopprettet fra: hthyperphysics.PHY-ASTR.GSU.Edu.
3. Larson, r. 2010. Beregning av en variabel. 9na. Utgave. McGraw Hill.
4. Purcell, e. 2007. Beregning med analytisk geometri. 9na. Utgave. Pearson Education.
5. Wolfram Mathworld. Eksempel på integraler. Gjenopprettet fra: Mathworld.Wolfram.com.