Boolsk algebrahistorie, teoremer og postulater, eksempler

Han Boolean algebra O Booles algebra er den algebraiske notasjonen som brukes til behandling av binære variabler. Dekker studier av hvilken som helst variabel som bare har 2 mulige, komplementære og eksklusive resultater med hverandre. For eksempel er variablene hvis eneste mulighet er sann eller usant, riktig eller feil, av eller på grunnlaget for studiet av den boolske algebraen.

Boolean algebra utgjør grunnlaget for digital elektronikk, noe som gjør det ganske til stede i samtid. Det styres av begrepet logiske porter, der operasjonene som er kjent i tradisjonell algebra er bemerkelsesverdig påvirket.

Kilde: Pexels.com

[TOC]

Historie

Den boolske algebraen ble introdusert i 1854 av den engelske matematikeren George Boole (1815 - 1864), som var en selvopptatt lærd på den tiden. Hans bekymring oppsto fra en eksisterende tvist mellom Augustus av Morgan og William Hamilton, om parametrene som definerer dette logiske systemet.

George Boole hevdet at definisjonen av numeriske verdier 0 og 1 tilsvarer, innen logikk, til tolkning Ingenting og universet henholdsvis.

George Booles intensjon var å definere, gjennom egenskapene til algebra, uttrykkene for den proposisjonelle logikken som er nødvendig for å håndtere binære variabler.

I 1854 er de mest betydningsfulle delene av den boolske algebra utgitt i boken "En undersøkelse av tanelovene om hvilke matematiske teorier om logikk og sannsynlighet er basert på ”.

Denne nysgjerrige tittelen vil bli oppsummert senere som "Tankenes lover "(" The Laws of Thought "). Tittelen hoppet til berømmelse på grunn av den umiddelbare oppmerksomheten den hadde fra datidens matematiske samfunn.

I 1948 brukte Claude Shannon det i utformingen av Biestable Electrical Switching Circuits. Dette fungerte som en introduksjon til anvendelsen av den boolske algebraen i hele elektronisk-digitale ordningen.

Struktur

Elementære verdiene i denne typen algebra er 0 og 1, som tilsvarer henholdsvis falsk og sanne. De grunnleggende operasjonene i den boolske algebraen er 3:

- Og konjunksjonsoperasjon. Representert med et punkt ( . ). Synonym av produktet.

- Eller eller disjunksjonsoperasjon. Representert av et kors ( +) .Synonym av summen.

- Ingen operasjon eller denasjon. Representert av prefikset ikke (ikke a). Det er også kjent som komplement.

Hvis det i et sett en 2 lover for intern sammensetning betegnet som et produkt og sum er definert ( .  + ), sies det at listen (a . + ) Det er en boolsk algebra hvis og bare hvis nevnte liste oppfyller betingelsen for å være et distribuerende retikulum.

Det kan tjene deg: rasjonelle tall: egenskaper, eksempler og operasjoner

For å definere en distribusjon av retikulum, må fordelingsbetingelsene mellom de gitte operasjonene være oppfylt:

. er distribuerende med hensyn til summen +                   til . (b + c) = (a . b) + (a . c)

+ er distribuerende med hensyn til produktet.                  A + (B . c) = (a +b) . (A + C)

Elementene som utgjør settet A må være binær, og dermed ha verdier av Univers eller tomhet.

applikasjoner

Det største applikasjonsscenariet er den digitale grenen, der den tjener til å strukturere kretsene som utgjør de logiske operasjonene som er involvert. Kunstenkunsten enkelhet for å optimalisere prosesser, er resultatet av riktig anvendelse og praksis med boolsk algebra.

Fra utdyping av elektriske brett, gjennom overføring av data, inntil vi når programmering på forskjellige språk, kan vi ofte finne Booles algebra i alle typer digitale applikasjoner.

Boolske variabler er veldig vanlig i programmeringsstrukturen. Avhengig av programmeringsspråket som brukes, vil det være strukturelle operasjoner av koden som bruker disse variablene. Betingede og argumenter for hvert språk innrømmer boolske variabler for å definere prosessene.

Postulater

Det er teoremer som styrer de strukturelle logiske lovene til boolsk algebra. På samme måte er de postulert for å kjenne til mulige resultater i forskjellige kombinasjoner av binære variabler, ifølge operasjonen som er utført.

Sum (+)

Operatøren Eller hvis logiske element er Union (U) er definert for binære variabler som følger:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Produkt (.)

Operatøren Og hvis logiske element er krysset (∩) er definert for binære variabler som følger:

0 . 0 = 0

0 . 1 = 0

1 . 0 = 0

1 . 1 = 1

Motsatt (ikke)

Operatøren Ikke hvis logiske element er komplementet (x) 'er definert for binære variabler som følger:

Ikke 0 = 1

Ikke 1 = 0

Mange av postulatene skiller seg fra ekvivalenter i konvensjonell algebra. Dette skyldes domenet til variablene. For eksempel kan tilsetning av universelementer i boolsk algebra (1 + 1) ikke gi det konvensjonelle resultatet av 2, fordi det ikke hører til elementene i det binære komplekset.

Teoremer

Null regel og enhet

Enhver enkel operasjon som involverer et element med binære variabler er definert:

0 + a = a

1 + A = 1

0 . A = 0

1 . A = a

Like krefter eller Idemploynce

Operasjon mellom like variabler er definert som:

Kan tjene deg: kongruens: kongruente figurer, kriterier, eksempler, øvelser

A + a = a

TIL . A = a

Komplementering

Enhver operasjon mellom en variabel og dens komplement er definert som:

A + ikke a = 1

TIL . Ikke a = 0

Involvering eller dobbelt fornektelse

All dobbel fornektelse vil bli betraktet som den naturlige variabelen.

Ikke (ikke a) = a

Kommutativ

A + b = b + a; Summer av summen.

TIL . B = b . TIL ; Produktkommutivitet.

Assosiativ

A + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c; Sum assosiativitet.

TIL . (B . C) = (a . B) . C = a . B . C; Produktforening.

Distribusjon

A + (B . C) = (a + b) . (A + c); Distribuere sum med hensyn til produktet.

TIL . (B + c) = (a . B) + (a + c); Produktdistributivitet med hensyn til summen.

Absorpsjonslover

Det er mange absorpsjonslover mellom flere referanser, noen av de mest kjente er:

TIL . (A + b) = a

TIL . (Ikke a + b) = a . B

Ikke a (a + b) = ikke en . B

(A + B) . (A + ikke b) = a

A + a . B = a

A + ikke a . B = a + b

Ikke a + a . B = ikke a + b

TIL . B + a . Ikke b = a

Morgan's teorem

De er transformasjonslover, som administrerer par variabler som samhandler mellom de definerte operasjonene av den boolske algebra ( + . ).

MERK . B) = ikke a + ikke b

Ikke (a +b) = ikke en . Ikke b

A + b = ikke (ikke a + ikke b)

TIL . B = ikke (ikke en . Ikke b)

Dualitet

Alle postulater og teoremer har dualitetens kraft. Dette innebærer at ved å utveksle variabler og operasjoner, blir den resulterende forslaget bekreftet. Det vil si når du utveksler 0 for 1 og og eller omvendt; Det opprettes et uttrykk som også vil være helt gyldig.

For eksempel hvis du tar postulatet

1 . 0 = 0

Og dualitet brukes

0 + 1 = 1

En annen perfekt gyldig postulat oppnås.

Karnaugh Map

Karnaughs kart er et diagram brukt i boolsk algebra for å forenkle logiske funksjoner. Den består av et to -dimensjonalt arrangement som ligner sannhetstabeller med proposisjonell logikk. Ekte tabeller Data kan direkte legemliggjøres på Karnaugh -kartet.

Karnaughs kart kan huse prosesser opptil 6 variabler. For funksjoner med et større antall variabler anbefales bruk av programvare for å forenkle prosessen.

Foreslått i 1953 av Maurice Karnaugh, ble det etablert som et fast verktøy innen Boole.

Eksempler

Boolean algebra tjener til å redusere logiske dører i en krets, der prioriteten er å bringe kompleksiteten eller nivået på kretsen til det minste mulige uttrykk. Dette skyldes beregningsforsinkelsen som hver dør antar.

I det følgende eksemplet vil vi observere forenklingen av et logisk uttrykk frem til det minste uttrykk, ved å bruke teoremene og postulatene til den boolske algebra.

Ikke (ab + a + b) . Ikke (a + ikke b)

Ikke [a (b + 1) + b] . Ikke (a + ikke b); Faktoring av A med vanlig faktor.

Kan tjene deg: beregning av tilnærminger ved bruk av differensialer

Ikke [a (1) + b] . Ikke (a + ikke b); Av teorem a + 1 = 1.

Ikke (a + b) . Ikke (a + ikke b); Av teorem a . 1 = a

( MERK . Ikke b) . [ MERK . Ikke (ikke b)];

Av teorem av Morgan ikke (a + b) = ikke en . Ikke b

( MERK . Ikke b) .  ( MERK . B); Ved dobbel fornektsteorem ikke (ikke a) = a

MERK . Ikke b . MERK . B; Algebraisk gruppe.

MERK . MERK . Ikke b . B; Produktkommutivitet til . B = b . TIL

MERK . Ikke b . B; Av teorem a . A = a

MERK . 0; Av teorem a . Ikke a = 0

0; Av teorem a . 0 = 0

TIL . B . C + ikke a + a . Ikke b . C

TIL . C . (B + ikke b) + ikke a; Faktorisering (a . C) med vanlig faktor.

TIL . C . (1) + ikke a; Av teorem a + ikke a = 1

TIL . C + ikke a; Med null regel teorem og enhet 1 . A = a

Ikke en + c ; Ved lov fra Morgan til + ikke en . B = a + b

For denne løsningen må Morgan's lov utvides til å definere:

Ikke (ikke a) . C + ikke a = ikke a + c

Fordi ikke (ikke a) = a ved involvering.

Forenkle logisk funksjon

MERK . Ikke b . Ikke C + ikke en . Ikke b . C + ikke en . Ikke c før det er minst mulig uttrykk

MERK . Ikke b . (Ikke c + c) + ikke en . Ikke C; Faktorisering (ikke en . Ikke b) med vanlig faktor

MERK . Ikke b . (1) + Ikke en . Ikke C; Av teorem a + ikke a = 1

(MERK . Ikke b) + (ikke en . Ikke c);  Med null regel teorem og enhet 1 . A = a

Ikke en (ikke b + ikke c); Faktorering av ikke en med vanlig faktor

MERK . Ikke (b . C); Ved ikke lov om Morgan (a . B) = ikke a + ikke b

Ikke [a + (b . C)] Ved ikke lov om Morgan (a . B) = ikke a + ikke b

Ethvert av de 4 fetme alternativene representerer en mulig løsning for å redusere kretsnivået

Forenkle logisk funksjon til dets minimumsuttrykk

( TIL . Ikke b .  C + a . Ikke b . B . D+ ikke en . Ikke b) . C

( TIL . Ikke b . C + a . 0 . D + ikke en . Ikke b) . C; Av teorem a . Ikke a = 0

( TIL . Ikke b . C + 0 + ikke en . Ikke b) . C; Av teorem a . 0 = 0

( TIL . Ikke b . C + ikke en . Ikke b) . C; Av teorem a + 0 = a

TIL . Ikke b . C . C + ikke en . Ikke b . C; Ved distribusjon av produktet med hensyn til summen

TIL . Ikke b . C + ikke en . Ikke b . C; Av teorem a . A = a

Ikke b . C (a + ikke a) ; Faktorisering (ikke B . C) med vanlig faktor

Ikke b . C (1); Av teorem a + ikke a = 1

Ikke b . C; Med null regel teorem og enhet 1 . A = a

Referanser

1. Boolean algebra og dens j -applikasjoner. Eldon Whitesitt. Continental Editorial Company, 1980.
2. Matematikk og ingeniørfag i informatikk. Christopher J. Van Wyk. Institute for Computer Sciences and Technology. National Bureau of Standards. Washington, d. C. 20234
3. Matematikk for informatikk. Eric Lehman. Google Inc.
   F Thomson Leighton Department of Mathematics and the Computer Science and AI Laboratory, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies.
4. Elementer av abstrakt analyse. Mícheál O'Searcoid PhD. Institutt for matematikk. University College Dublin, Beldfield, Dublind.
5.  Introduksjon til logikk og til metodikken til de deduktive vitenskapene. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University Press.