Euler -metoden for hva som er bruk av prosedyre og øvelser

Han Euler -metoden Det er det mest grunnleggende og enkle av prosedyrene som brukes for å finne omtrentlige numeriske løsninger, til en vanlig differensialligning av den første orden, forutsatt at dens opprinnelige tilstand er kjent.

En vanlig differensialligning (EDO) er ligningen som knytter en ukjent funksjon av en enkelt uavhengig variabel med dens derivater.

Påfølgende tilnærminger etter Eulers metode. Kilde: Oleg Alexandrov [Public Domain]

Hvis det største derivatet som vises i ligningen er i grad en, er det en vanlig differensialligning av første grad.

Den mest generelle måten å skrive en første grads ligning på er:

med den opprinnelige tilstanden:

x = x₀

y = y₀

[TOC]

Hva er Eulers metode?

Ideen med Euler -metoden er å finne en numerisk løsning på differensialligningen i intervallet mellom x₀ og x_F .

For det første er intervallet i N+1 -poeng uenig:

x₀, x₁, x₂, x₃..., x_n

Som er oppnådd slik:
x_Yo= x₀+Ih

Hvor H er bredden eller trinnet til underintervalsene:

Jo større antall n resultatet vil være mer presist, men et større antall poeng vil være nødvendig for å dekke intervallet der vi leter etter løsningen og datatiden vokser.

Med den innledende tilstanden er det også mulig å kjenne derivatet i begynnelsen:

og '(x_enten) = f (x_enten, og_enten)

Dette derivatet representerer skråningen på linjen tangens til funksjonskurven y (x) nøyaktig på punktet:

Ao = (x_enten, og_enten)

Da blir en omtrentlig prediksjon av verdien av funksjonen y (x) laget på følgende punkt:

og (x₁) ≈ og₁

og_1 = og_enten +(x₁- x_enten) F (x_enten, og_enten) = y_{enten +} H f (x_enten, og_enten)

Det neste omtrentlige punktet i løsningen som ville samsvare med:

TIL₁ = (x₁, og₁)

Prosedyren gjentas for å oppnå de påfølgende punktene

Kan tjene deg: logaritmisk funksjon: egenskaper, eksempler, øvelser

TIL₂, TIL₃..., x_n

I figuren vist i begynnelsen representerer den blå kurven den nøyaktige løsningen av differensialligningen, og den røde representerer de påfølgende omtrentlige punktene oppnådd ved Euler -prosedyren.

Løste øvelser

Oppgave 1

Yo) Være differensialligningen:

Med den opprinnelige tilstanden x = a = 0; og_til= 1

Ved å bruke Euler -metoden, få en omtrentlig løsning av og I koordinat x = b = 0.5, deling av intervallet [a, b] ved n = 5 deler.

Løsning

Numeriske resultater er oppsummert som følger:

Hvor det konkluderes med at løsningen og for verdi 0.5 er 1.4851.

Merk: For realisering av beregningene er det blitt brukt Smath Studio, Gratis gratis bruksprogram.

Oppgave 2

Ii) Fortsetter med den differensielle ligningen av trening I), finn den nøyaktige løsningen og sammenlign den med resultatet oppnådd ved Euler -metoden. Finn feilen eller forskjellen mellom det nøyaktige resultatet og det omtrentlige.

Løsning

Med den opprinnelige tilstanden x = a = 0; og_til= 1
Den nøyaktige løsningen er ikke veldig vanskelig å finne. Det er kjent at derivatet av Sen (x) -funksjonen er COS (X) -funksjonen. Derfor vil løsningen y (x) være:

og (x) = sin x + c

For å oppfylle den opprinnelige tilstanden og (0) = 1, må konstanten C være verdt 1. Deretter blir det nøyaktige resultatet sammenlignet med det omtrentlige:

Det konkluderes med at tilnærmingen i det beregnede intervallet har tre betydelige nøyaktighetstall.

Øvelse 3

Iii) Tenk på differensialligningen og dens opprinnelige forhold gitt nedenfor:

og '(x) =- y²

Med den opprinnelige tilstanden x₀ = 0; og₀ = 1

Bruk Euler -metoden for å finne omtrentlige verdier av løsningen og (x) I intervallet x = [0, 1.5]. Bruk trinn H = 0.1.

Løsning

Eulers metode er veldig indikert å bli brukt med et regneark. I dette tilfellet vil vi bruke regnearket til Geogebra, Et gratis og gratis bruksprogram.

Det kan tjene deg: sammensatt proporsjonalitet: forklaring, tre sammensatte regel, øvelser

Tre kolonner (A, B, C) er vist i regnearket til figuren x , Den andre kolonnen representerer variabelen og, og den tredje kolonnen derivatet og'.

Rad 2 inneholder de opprinnelige verdiene til X, OG, OG' .

Verdien av verdien 0.1 Det har blitt plassert i den absolutte posisjonscellen ($ d $ 4).

Den første Y0 -verdien er i celle B2, og Y1 i celle B3. Å beregne og₁ Formelen brukes:

og_1 = og_enten +(x₁- x_enten) F (x_enten, og_enten) = y_{enten +} H f (x_enten, og_enten)

Denne regnearkformelen ville være nummer B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

Tilsvarende ville Y2 være i celle B4 og formelen er vist i følgende figur:

Figuren viser også grafen til den nøyaktige løsningen, og punktene A, B, ..., P av den omtrentlige løsningen ved hjelp av Euler -metoden.

Newton Dynamics og Eulers metode

Den klassiske dynamikken ble utviklet av Isaac Newton (1643 - 1727). Den opprinnelige motivasjonen til Leonard Euler (1707 - 1783) for å utvikle sin metode var nettopp å løse ligningen av Newtons andre lov i forskjellige fysiske situasjoner.

Newtons andre lov uttrykkes ofte som en sekundær differensialligning:

Hvor x representerer plasseringen av et objekt for øyeblikket t. Dette objektet har en masse m og blir utsatt for en styrke F. Funksjonen F Det er relatert til styrke og masse som følger:

 Selv om Euler -metoden i prinsippet ble designet for å løse første grad av differensialligninger, er den lett utvidbar til den andre graden, siden det tilsvarer et system med to førstegradsligninger.

Det kan tjene deg: analytisk geometri

For å anvende Euler -metoden er det nødvendig t, hastighet v og posisjon x.

Følgende tabell forklarer hvordan start fra startverdier T1, V1, X1 En tilnærming av V2 -hastigheten og x2 -posisjonen kan oppnås, for øyeblikket T2 = T1+ΔT, der ΔT representerer en liten økning og tilsvarer trinnet I metoden til Euler.

Oppgave 4

IV) Et av de grunnleggende problemene i mekanikk er den for en masseblokk bundet til en fjær (eller vår) med elastisk konstant k.

Newtons andre lov for dette problemet ville være slik:

I dette eksemplet, for å forenkle det vil bli tatt M = 1 og K = 1. Finn omtrentlige løsninger på stillingen x Og hastigheten v Ved Eulers metode i tidsintervallet [0, π/2] deling av intervallet i 12 deler.

Ta 0 som et innledende øyeblikk, starthastighet 0 og startposisjon 1.

Løsning

De numeriske resultatene er vist i følgende tabell:

Grafikken til posisjonen og hastigheten mellom instantene 0 og 1 er også vist.44.

Foreslåtte øvelser for hjemmet

Oppgave 1

Bruk et regneark for å bestemme en omtrentlig løsning ved bruk av Euler -metoden for differensialligningen:

og '= -Exp (-y) med de opprinnelige forholdene x = 0, y = -1 i intervallet x = [0, 1]

Start med et trinn på 0,1. Graf resultatet.

Oppgave 2

Ved å bruke et regneark, finn numeriske løsninger på følgende andre grads ligning, hvor og det er en funksjon av den uavhengige variabelen t.

og "= - 1/y² med den opprinnelige tilstanden t = 0; y (0) = 0,5; og '(0) = 0

Finn løsningen i intervallet [0,5; 1.0] ved å bruke et trinn på 0,05.

Graf resultatet: og vs t; og 'vs t

Referanser

1. Eurlers metode.Hentet fra Wikipedia.org
2. Euler Solver. Tatt fra.Smath.com