Venner eller vennlige eksempler og hvordan du finner dem

De Venner eller vennlige tall Det er to naturlige tall A og B hvis sum av delingene av en av dem (ikke inkludert antall) er lik det andre antallet, og summen av delingene til denne andre (ikke inkludert den heller) er lik den første utgave.

Mange par av tall som deler denne nysgjerrige eiendommen er funnet. De er ikke for lite antall, mindreårige er 220 og 284, oppdaget for flere århundrer siden. Så la oss gi dem som et eksempel på hva dette særegne vennskapet mellom tall betyr.

Figur 1. Paret av venner 220 og 284 var allerede kjent i århundrer. Kilde: Pixabay.

Divisorene på 220, ikke inkludert 220, er: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 og 110. På den annen side er delingene av 284, ikke inkludert 284: 1, 2, 4, 71 og 142.

Nå legger vi til delingene av den første utgaven, som er 220:

D₁ = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

Vi observerer at summen faktisk er 284, antall venn.

Deretter blir delingene av 284 lagt til:

D₂ = 1+2+4+71+142 = 220

Og det første medlemmet av paret er oppnådd.

De gamle greske matematikerne fra Pythagorean School, grunnlagt av Pythagoras (569-475 til.C.), Forfatteren av det berømte teoremet med samme navn, klarte å oppdage dette særegne forholdet mellom disse to tallene, som mange mystiske egenskaper tilskrives.

De ble også kjent av de islamske matematikerne i middelalderen, som klarte å bestemme en generell formel for å finne venner om 850 -årene av vår tid.

[TOC]

Formel for å finne venner

Den islamske matematikeren Thabit ibn Qurra (826-901) fant en måte å generere noen vennestall. Sean p, q og r Tre primtall, det vil si tall som bare innrømmer 1 og seg selv som divisorer.

Når du oppfyller følgende:

P = 3.2^N-1 - 1

Q = 3.2ⁿ - 1

Kan tjene deg: Corollary (geometri)

R = 9.2^2n-1 - 1

Med n et tall større enn 1, da:

A = 2ⁿPQ og B = 2ⁿr 

Gjøre opp et par venner. Vi skal prøve formelen for n = 2 og se hvilke par vennene som genererer:

P = 3.2^2-1 - 1 = 3. 2 - 1 = 5

Q = 3.2² - 1 = 11

R = 9.2^2.2-1 - 1 = 71

Så:

A = 2ⁿPQ = 2². 5. 11 = 220

B = 2ⁿR = 2². 71 = 284

Formelen til middelalderens matematiske.

Teoremet fungerer imidlertid ikke for alle venner som er funnet så langt, bare for n = 2, n = 4 og n = 7.

Århundrer senere utledet den sveitsiske matematikeren Leonhard Euler (1707-1783) en ny regel for å finne vennlige tall, basert på Thabit ibn Qurra:

P = (2^N-m + 1). 2^m - 1

Q = (2^N-m + 1). 2ⁿ - 1

R = (2^N-m + 1)². 2^m+n  - 1

Som alltid er tallene P, Q og R søskenbarn, men nå er det to hele eksponenter: M og N, hvorav M må oppfylle følgende tilstand:

1 ≤ m ≤ n-1

Vennens par er dannet på samme måte:

A = 2ⁿpq 

B = 2ⁿr 

Hvis M = N-1 oppnås igjen Thabits teorem, men som tilfellet er med den islamske matematikeren, tilfredsstiller ikke alle vennlige tall Euler-regelen. Imidlertid, med det mengden vennlige tall som er kjent til da, økte.

Her er de første par eksponentene (m, n) å finne noen vennlige tall med:

(1,2), (3,4), (6,7), (1,8) og (29,40)

Senere, i treningsdelen, vil vi finne et par vennlige tall som dannes takket være eksponentene (3,4) av Euler -regelen.

Eksempler på vennens tall

-220 og 284

Kan tjene deg: tilfeldig eksperiment: konsept, prøveområde, eksempler

-1184 og 1210

-2620 og 2924

-5020 og 5564

-6232 og 6368

-10.744 og 10.856

-12.285 og 14.595

-17.296 og 18.416

Selvfølgelig kan mange flere par vennlige tall genereres av datamaskinen.

Hvordan du kan bryte ned et tall og finne delene dine

La oss nå se hvordan du finner delingene av et tall, for å bekrefte hvis de er venner. I henhold til definisjonen av vennlige tall er alle delingene til hver deltaker nødvendig for å kunne legge dem til, bortsett fra tallene selv.

Nå kan naturlige tall deles inn i to grupper: primtall og sammensatte tall.

Primo -tall innrømmer bare som eksakte delinger til 1 og seg selv. Og tallene som er sammensatt av deres del, kan alltid uttrykkes som produktet av primtall og har andre delinger, bortsett fra 1 og av seg selv.

Et hvilket som helst sammensatt nummer, som 220 eller 284, kan uttrykkes på denne måten:

N = aⁿ . b^m. c^p... r^k

Hvor a, b, c ... r er primtall og n, m, p ... k er eksponenter som tilhører naturlige tall, noe som kan være verdt fra 1 og utover.

Når det gjelder disse eksponentene, er det en formel for å vite hvor mange (men ikke hvilke) deling. La C være dette beløpet:

C = (N +1) (M +1) (P +1) ... (K +1)

Når tallet N er uttrykt i form av PRIME Numbers -produkter og det er kjent hvor mange delere har, har du allerede verktøyene til å vite hva deres delere er, både søskenbarn og ikke -kusiner. Og det er nødvendig å møte dem alle for å sjekke om de er venner, bortsett fra den siste, som er selve nummeret.

Løste øvelser

- Oppgave 1

Finn alle delene til par vennene 220 og 284.

Løsning

Først finner vi de viktigste delingene av 220, som er et sammensatt tall:

Kan tjene deg: punktlig estimat

220 │2
110 │2
55 │5
11 │11
1 │

Nedbrytningen i prime faktorer på 220 er:

220 = 2 x 2 x 5 x 11 = 2².5. elleve

Derfor n = 2, m = 1, p = 1 og eier:

C = (2+1). (1+1). (1+1) = 12 Divisores

De første delingene som blir advart om nedbrytningen av tallet er: 1, 2, 4, 5 og elleve. Og det er de også 110 og 55.

5 av dem ville mangle, som lager produkter mellom søskenbarn og deres kombinasjoner: 2².5 = tjue;  2².11 = 44; 2. 11 = 22 og til slutt 1 og hans eget 220.

En analog prosedyre for 284 følges:

284 │2
142 │2
71 │71
1 │

284 = 2². 71

C = (2+1). (1+1) = 3 x 2 = 6 deling

Disse delisorene er: 1, 2, 4, 71, 142 og 284, som det fremgår av i begynnelsen.

Figur 2. Med den beskrevne metoden kan disse parene analyseres for å bekrefte at de er vennens tall. Kilde: f. Zapata.

- Oppgave 2

Kontroller Euler -formelen for n = 4 og m = 3 genererer listen over primtall (p, q, r) = (23,47, 1151). Hva er par venner dannet med dem?

Løsning

Primtall P, Q og R beregnes av:

P = (2^N-m + 1). 2^m - 1

Q = (2^N-m + 1). 2ⁿ - 1

R = (2^N-m + 1)². 2^m+n  - 1

Bytte ut verdiene på M = 3 og n = 4 oppnås:

P = (2^4-3 + 1). 2³ - 1 = 23

Q = (2^4-3 + 1). 2⁴ - 1 = 47

R = (2^4-3 + 1)². 2⁴⁺³  - 1 = 1151

Nå brukes formelen for å finne et par vennenummer A og B:

A = 2ⁿpq 

B = 2ⁿr 

A = 2ⁿPQ = 16. 23. 47 = 17.296

B = 2ⁿR = 16. 1151 = 18.416

Og de er faktisk blant listen over de første parene av vennene som vi viser tidligere.

Referanser

1. Baldor, a. 1986. Aritmetikk. Codex -utgaver og distribusjoner.
2. Alt om primtall. Vennene tall. Gjenopprettet fra: sykepleier.org.
3. Wolfram Mathworld. Eulers regel. Gjenopprettet fra: Mathworld.Wolfram.com.
4. Wikipedia. Minnelige tall. Hentet fra: i.Wikipedia.org.
5. Wikipedia. Vennene tall. Gjenopprettet fra: er.Wikipedia.org.