Transcendente tall som er formler, eksempler, øvelser

De transcendente tall De er de som ikke kan oppnås som et resultat av en polynomligning. Det motsatte av et transcendent antall er en Algebraisk nummer, som er løsninger av en polynomlig ligning av typen:

til_n xⁿ + til_N-1 x^N-1 +… + A₂ x² + til₁ x + a₀ = 0

Hvor koeffisientene til_n, til_N-1,… til₂, til₁, til₀ De er rasjonelle tall, kalt Polynomkoeffisienter. Hvis et X -nummer er en løsning av den forrige ligningen, er ikke dette tallet transcendent.

Figur 1. To antall stor betydning i vitenskapen er transcendente tall. Kilde: Public Domain fartures.nett.

Vi vil analysere noen få tall og se om de er transcendente eller ikke:

a) 3 er ikke transcendent fordi det er en løsning av x - 3 = 0.

b) -2 kan ikke være transcendent fordi det er en løsning av x + 2 = 0.

c) ⅓ Det er 3x - 1 = 0 -løsning

d) En løsning av ligning x² - 2x + 1 = 0 er √2 -1, så sagt antall per definisjon er ikke transcendent.

e) heller ikke √2 fordi det er resultatet av ligning x² - 2 = 0. Ved å heve √2 kvadrat resulterer det i 2, som trakk fra 2 ikke betyr noe til null. Så √2 er et irrasjonelt tall, men det er ikke transcendent.

[TOC]

Hva er transcendente tall?

Problemet er at det ikke er noen generell regel å skaffe dem (senere vil vi si et skjema), men noen av de mest kjente er antallet pi og Neper nummer, betegnet henholdsvis av: π og og.

Tallet π

Antallet π ser naturlig nok ut til å observere at den matematiske kvotienten mellom omkretsen P av en sirkel og dens diameter d, uavhengig av om den er en liten eller stor sirkel, alltid gir samme tall, kalt pi:

π = P/D ≈ 3.14159 ..

Dette betyr at hvis omkretsens diameter blir tatt som en måleenhet, for alle av dem, enten den er stor eller liten, vil omkretsen alltid være verdt P = 3.14 ... = π, Som det kan sees i animasjonen i figur 2.

Kan tjene deg: Bolzano teoremFigur 2. Omkretslengden på en sirkel er noen ganger lengden på diameteren, og er omtrent 3.1416.

For å bestemme flere desimaler, må du måle mer presisjon P og D og deretter beregne kvotienten, som er gjort på matematisk måte. Konklusjonen er at desimalene til kvotienten ikke har noen ende og aldri gjentas, så antallet π I tillegg til å være transcendent, er det også irrasjonell.

Et irrasjonelt tall er det tallet som ikke kan uttrykkes som inndeling av to hele tall. 

Det er kjent at hvert transcendent antall er irrasjonelt, men det er ikke sant at alt irrasjonelt er transcendente. For eksempel √2 er irrasjonell, men det er ikke transcendent.

Figur 3. Transcendente tall er irrasjonelle, men gjensidig uttalelse er ikke sant.

Antallet e

Det transcendente antallet er grunnlaget for de neperiske logaritmene og deres desimale tilnærming er:

E ≈ 2.718281828459045235360 .. .

Hvis du ville skrive nummeret og Akkurat det ville være nødvendig å skrive desimal uendelig, fordi hvert transcendent antall er irrasjonelt, som sagt før.

De første ti sifrene av og De er enkle å huske:

2.7 1828 1828 og selv om det ser ut til å følge et repeterende mønster, oppnås ikke dette i ordens desimaler større enn ni.

En mer formell definisjon av og er den neste:

Noe som betyr at den nøyaktige verdien av og Operasjonen som er angitt i denne formelen oppnås, når det naturlige tallet n Det har en tendens til uendelig.

Dette forklarer hvorfor vi bare kan få tilnærminger til og, Siden hvor stort antall n er plassert, kan du alltid finne en n eldre.

La oss se etter noen tilnærminger på egen hånd:

-Når n = 100 da (1 + 1/100)¹⁰⁰ = 2.70481 som knapt sammenfaller i den første desimalen med den "sanne" verdien av e.

-Hvis du er valgt n = 10.000 du har (1 + 1/10.000)^10.000 = 2.71815 som sammenfaller med den "nøyaktige" verdien av E i de tre første desimalene.

Kan tjene deg: homologe sider

Denne prosessen bør følges for å kunne oppnå den "sanne" verdien av e. Jeg tror ikke vi har tid til å oppnå det, men la oss gjøre et forsøk til:

La oss bruke n = 100.000:

(1 + 1/100.000)^100.000 = 2.7182682372

At det bare har fire desimaler sammenfallende med verdien som anses som nøyaktig.

Det viktige er å forstå at jo større er verdien av n valgt å beregne og_n, Nærmere vil være av den sanne verdien. Men den sanne verdien vil bare bli holdt når n er uendelig.

Figur 4. Det er grafisk vist da den høyere verdien av N er nærmere E, men for å nå den nøyaktige verdien må N være uendelig.

Andre transcendente tall

Bortsett fra disse berømte tallene er det andre transcendente tall, for eksempel:

- 2^√2

Ethvert algebraisk tall, som ikke er 0 eller 1, forhøyet til en irrasjonell eksponent vil være et transcendent tall.

-Champernownes nummer 10: 

C_10 = 0.123456789101112131415161718192021 .. .

-Champernownes nummer på base 2:

C_2 = 0.110111001011011 .. .

-Y eller konstante gamma antall Euler-Mascheroni:

γ ≈ 0.577 215 664 901 532 860 606

Som oppnås ved å gjøre følgende beregning:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ + ... + 1/n - ln (n)

Når n Vær veldig stor. For å ha den nøyaktige verdien av gamma -nummeret ville det være nødvendig å beregne med n uendelig. Noe som ligner på det vi gjorde ovenfor.

Og det er mange flere transcendente tall. Den store matematikeren Georg Cantor, født i Russland og bodde mellom 1845 og 1918, viste at settet med transcendente tall er mye større enn settet med algebraiske tall.

Formler der det transcendente tallet π vises

Omkretsen av omkretsen

P = π d = 2 π r, hvor p er omkretsen, d diameteren og r radius av omkretsen. Det må huskes at:

Kan tjene deg: Hvor mye må du legge til 3/4 for å få 6/7?

-Diameteren på omkretsen er det lengste segmentet som blir sammen med to punkter av den, og som alltid går gjennom sentrum,

-Radius er halvparten av diameteren og er segmentet som går fra sentrum til kanten.

Sirkelområde

A = π r² = ¼ π D²

Overflaten på en sfære

S = 4 π r^2.

Ja. Selv om det ikke virker, er overflaten til en sfære den samme som for fire sirkler av samme radius som sfæren.

Sfærevolum

V = 4/3 π r³

Øvelser

- Oppgave 1

Den "eksotiske" pizzeriaen selger pizzaer med tre diameter: 30 cm liten, median 37 cm og stor 45 cm. Et barn er veldig sulten og innså at to små pizzaer har samme kostnad som en stor. Hva vil være bedre for ham, kjøpe to små pizzaer eller en stor?

Figur 5.- Området til en pizza er proporsjonalt med radiusens kvadrat, og er proporsjonalitetskonstanten. Kilde: Pixabay.

Løsning

Jo større området, jo større mengde pizza, av denne grunn, vil området med en stor pizza bli beregnet og sammenlignet med to små pizzaer:

Stort pizzaområde = ¼ π D² = ¼ ⋅3,1416⋅45² = 1590,44 cm²

Lite pizzaområde = ¼ π D² = ¼ ⋅3,1416⋅30² = 706,86 cm²

Derfor vil to små pizza ha et område av 

2 x 706,86 = 1413,72 cm² .

Det er klart: det vil være mer pizza som kjøper en eneste stor enn to små.

- Oppgave 2

Den "eksotiske" pizzeriaen selger også en radius -halvpizza på 30 cm for den samme rektangulære formen på 30 x 40 cm side. Som ville du valgt?

Figur 6.- Overflaten til en halvspråk er det dobbelte av den sirkulære overflaten av basen. Kilde: f. Zapata.

Løsning

Som det fremgår av forrige seksjon, er overflaten til en sfære fire ganger større enn for en sirkel med samme diameter, så en semi -spear på 30 cm diameter vil ha:

30 cm semi -man -pizza: 1413,72 cm² (to ganger en sirkulær av samme diameter)

Rektangulær pizza: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm² .

Semi -Man -pizza har et større område.

Referanser

1. Fernández J. Antallet e. Opprinnelse og nysgjerrigheter. Gjenopprettet fra: Soyamatematikk.com
2. Kos deg med matematikk. Eulers nummer. Gjenopprettet fra: Nytmatimaticas.com.
3. Figuera, J. 2000. Matematikk 1. Diversifisert. Co-bo-utgaver.
4. GARCIA, m. Tallet E i grunnberegningen. Gjenopprettet fra: Matematikk.Ciens.UCV.gå.
5. Wikipedia. PI -nummer. Gjenopprettet fra: Wikipedia.com
6. Wikipedia. Transcendente tall. Gjenopprettet fra: Wikipedia.com