Hyperbolsk paraboloiddefinisjon, egenskaper og eksempler

EN Hyperbolsk paraboloid Det er en overflate hvis generelle ligning i kartesiske koordinater (x, y, z) oppfyller følgende ligning:

(til)² - (og/b)² - Z = 0.

Den "paraboloid" kirkesamfunnet kommer fra det faktum at variabel z avhenger av rutene til x- og y -variablene. Mens adjektivet "hyperbolsk" skyldes at ligningen til en hyperbola har en faste verdier av z. Formen på denne overflaten ligner på en hestestol.

Figur 1. Hyperbolsk paraboloid z = x² - og². Kilde: f. Zapata gjennom Wolfram Mathematica.

[TOC]

Beskrivelse av den hyperbolske paraboloid

For å forstå arten av den hyperbolske paraboloiden, vil følgende analyse bli gjort:

1.- Det spesielle tilfellet vil bli tatt A = 1, B = 1, det vil si at den kartesiske ligningen til paraboloidet forblir som z = x² - og².

2.- De regnes som parallelle fly til ZX -planet, det vil si y = ctt.

3.- Med y = ctt er det z = x² - C, som representerer lignelser med grenene opp og toppunkt under XY -planet.

Figur 2. Familie av kurver z = x² - C. Kilde: f. Zapata gjennom Geogebra.

4.- Med x = ctt er z = c - y², som representerer lignelser med grenene nede og toppunkt over XY -planet.

Figur 3. Familie av kurver z = c - og². Kilde: f. Zapata gjennom Geogebra.

5.- Med z = ctt er c = x² - og², som representerer hyperbolas i fly parallelt med XY -planet. Når C = 0 er det to linjer (A +45º og -45º med hensyn til X -aksen) som blir oppfanget ved opprinnelsen på XY -planet.

Figur 4. Familie av kurver x² - og² = C. Kilde: f. Zapata gjennom Geogebra ..

Egenskaper til hyperbolsk paraboloid

1.- Fire forskjellige punkter i det tre -dimensjonale rommet definerer ett og bare en hyperbolsk paraboloid.

Det kan tjene deg: Begrens egenskaper (med eksempler)

2.- Hyperbolsk paraboloid er en dobbelt regulert overflate. Dette betyr at til tross for å være en buet overflate, passerer for hvert punkt i en hyperbolsk paraboloid to forskjellige linjer helt til den hyperbolske paraboloid. Den andre overflaten som ikke er et plan og er dobbelt regulert, er Revolution Hyperboloid.

Det er nettopp den andre egenskapen til den hyperbolske paraboloiden som har tillatt bred bruk av den i arkitektur siden overflaten kan genereres fra bjelker eller rette strenger.

Den andre egenskapen til den hyperbolske paraboloiden tillater en alternativ definisjon av den: Det er overflaten som kan genereres av en rett mobil linje parallelt med et fast plan og kutter to faste linjer som fungerer som en guide. Følgende figur tydeliggjør denne alternative definisjonen av hyperbolsk paraboloid:

Figur 5. Hyperbolsk paraboloid er en dobbelt regulert overflate. Kilde: f. Zapata.

Løste eksempler

- Eksempel 1

Demonstrere at ligningen: Z = xy, tilsvarer en hyperbolsk paraboloid.

Løsning

En transformasjon vil bli brukt i x- og y -variablene som tilsvarer en rotasjon av de kartesiske aksene med hensyn til z på +45 -aksen. De gamle X- og Y -koordinatene blir forvandlet til den nye X 'E og' i henhold til følgende forhold:

x = x ' - y'

y = x ' + og'

Mens z -koordinaten forblir den samme, er det z = z '.

Ved å erstatte i ligning z = x og vi har:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

Når du bruker det bemerkelsesverdige produktet av forskjellen med summen som er lik forskjellen på firkanter, er det:

Z '= x'² - og'²

som tydelig tilsvarer definisjonen opprinnelig gitt av hyperbolsk paraboloid.

Avskjæringen av planene parallelt med XY -aksen med den hyperbolske paraboloid z = x og bestem likesidelige hyperboler som har asymptoter planene x = 0 e y = 0.

Kan tjene deg: Miletus slikt teorem

- Eksempel 2

Bestem parametrene til og b av den hyperbolske paraboloiden som passerer gjennom punktene A (0, 0, 0); B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) og D (2, -1, 32/9).

Løsning

I henhold til dens egenskaper bestemmer fire punkter i det tre -dimensjonale rommet en enkelt hyperbolsk paraboloid. Den generelle ligningen er:

Z = (x/a)² - (og/b)²

Vi erstatter de gitte verdiene:

For punkt a du har 0 = (0/a)² - (0/b)², ligning som er tilfredsstilt uansett verdiene til parametrene a og b.

Erstatningspunkt B oppnås:

5/9 = 1/a² - 1 f²

Mens for punkt C gjenstår det:

32/9 = 4/a² - 1 f²

Til slutt, for punkt D er det oppnådd:

32/9 = 4/a² - 1 f²

Som er identisk med den forrige ligningen. Kort sagt, bør ligningssystemet løses:

5/9 = 1/a² - 1 f²

32/9 = 4/a² - 1 f²

Trekk fra den andre ligningen av den første oppnås:

27/9 = 3/a² Noe som innebærer det² = 1.

Tilsvarende trekkes den andre ligningen av firedoblingen av den første, og oppnår:

(32-20)/9 = 4/a² - 4/a² -1 f² + 4/b²

Som er forenklet som:

12/9 = 3/b² ⇒ b² = 9/4.

Kort sagt, den hyperbolske paraboloiden som passerer gjennom punkt A, B, C og D gitt har en kartesisk ligning gitt av:

Z = x² - (4/9) og²

- Eksempel 3

I henhold til egenskapene til den hyperbolske paraboloiden, passerer to linjer som er fullstendig inne i det for hvert punkt for hvert punkt. For tilfellet z = x^2 - y^2 Finn ligningen for de to linjene som passerer gjennom punktet P (0, 1, -1) som tydelig tilhører den hyperbolske paraboloid, slik at alle punktene i disse linjene også tilhører også samme.

Løsning

Ved å bruke det bemerkelsesverdige produktet av forskjellen i firkanter, kan ligningen av den hyperbolske paraboloid skrives som følger:

Kan tjene deg: firkantet: elementer, egenskaper, klassifisering, eksempler

(x + y) (x - y) = c z (1/c)

Der C er en ikke -nullkonstant.

Ligningen x + y = c z, og ligning x - y = 1/c tilsvarer to plan med normale vektorer n= y m=. Vektorproduktet m x n = Retningen på linjeskrysset mellom de to flyene gir oss. Deretter har en av linjene som passerer gjennom punkt P og tilhører den hyperbolske paraboloid en parametrisk ligning:

= + t

For å bestemme C erstatter vi punkt P i ligning x + y = c z, og oppnår:

C = -1

Tilsvarende, men med tanke på ligningene (x - y = k z) og (x + y = 1/k) har du den parametriske ligningen på linjen:

= + s med k = 1.

Kort sagt, de to linjene:

= + t y = + s

De er fullstendig inneholdt i den hyperbolske paraboloid z = x² - og² Går gjennom punktet (0, 1, -1).

Som en sjekk antar t = 1 hva som gir oss poenget (1,2, -3) på første linje. Du må sjekke om det også er på paraboloid z = x² - og²:

-3 = 1² - 2² = 1 - 4 = -3

Som bekrefter at den faktisk tilhører overflaten til den hyperbolske paraboloid.

Den hyperbolske paraboloid i arkitektur

Figur 6. Oceanographic of Valencia (Spania).Kilde: Wikimedia Commons.

Den hyperbolske paraboloiden har blitt brukt i arkitektur av de store avantgardearkitektene, blant dem navnene på den spanske arkitekten Antoni Gaudí (1852-1926) og veldig spesielt spanske også den spanske Félix Candela (1910-1997) er veldig spesielt spesielt spesielt.

Nedenfor er noen verk basert på den hyperbolske paraboloid:

-Chapel of the City of Cuernavaca (Mexico) Work av arkitekten Félix Candela.

-The Oceanographic of Valencia (Spania), også av Félix Candela.

Referanser

1. Encyclopedia of Mathematics. Styrt overflate. Gjenopprettet fra: EncyclopediaofMath.org
2. Llera Rubén. Hyperbolsk paraboloid. Gjenopprettet fra: Rubenllera.WordPress.com
3. Weisstein, Eric w. “Hyperbolsk paraboloid.”Fra Mathworld-A Wolfram Web Resource. Gjenopprettet fra: Mathworld.Wolfram.com
4. Wikipedia. Paraboloid. Hentet fra: i.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Paraboloid. Gjenopprettet fra: er.Wikipedia.com
6. Wikipedia. Styrt overflate. Hentet fra: i.Wikipedia.com