Multiplikative prinsipptellingsteknikker og eksempler

Hva er det multiplikative prinsippet?

Han Multiplikative prinsipp Det er en teknikk som brukes til å løse telleproblemer for å finne løsningen uten at det er nødvendig å liste opp elementene. Det er også kjent som det grunnleggende prinsippet for kombinatorisk analyse; Det er basert på påfølgende multiplikasjon for å bestemme måten en hendelse kan oppstå.

Dette prinsippet slår fast at hvis en beslutning (D₁) Det kan tas på n måter og en annen beslutning (D₂) Mneras kan tas, det totale antall måter som beslutninger d kan tas₁ og d₂ Det vil være det samme som multipliser av n _* m. I henhold til prinsippet tas hver beslutning etter en annen: antall måter = n_{1 *} N₂.. _* N_x måter.

Eksempler

Eksempel 1

Paula planlegger å gå på kino med vennene sine, og å velge klærne hun vil ha på seg, separate 3 bluser og 2 skjørt. Hvor mange måter kan Paula kle seg ut?

• Løsning

I dette tilfellet må Paula ta to avgjørelser:

d₁ = Velg mellom 3 bluser = n

d₂ = Velg mellom 2 skjørt = m

På den måten har Paula n _* m beslutninger om å ta eller forskjellige måter å kle seg på.

n _* m = 3_* 2 = 6 avgjørelser.

Det multiplikative prinsippet er født fra Tree Diagram Technique, som er et diagram som knytter alle mulige resultater, slik at hver enkelt kan oppstå et begrenset antall ganger.

Eksempel 2

Mario var veldig tørst, så han dro til bakeriet for å kjøpe en juice. Luis serverer ham og forteller ham at han har i to størrelser: stor og liten; og fire smaker: eple, appelsin, sitron og druer. Hvor mange måter kan Mario velge saften?

• Løsning

I diagrammet kan det sees at Mario har 8 forskjellige måter å velge saften på, og at, som i multiplikative prinsipp, oppnås dette resultatet ved multiplikasjon av n_*m. Den eneste forskjellen er at du gjennom dette diagrammet kan vite hva måtene Mario velger saften på.

Kan tjene deg: klassemerke

På den annen side, når antall mulige resultater er veldig stort, er det mer praktisk å bruke det multiplikative prinsippet.

Telleteknikker

Tellerteknikker er metoder som brukes for å gjøre en direkte telling, og dermed vite antall mulige ordninger som elementene i et spesifikt sett kan ha. Disse teknikkene er basert på flere prinsipper:

Tilleggsprinsipp

Dette prinsippet slår fast at hvis to M- og N -hendelser ikke kan skje samtidig, vil antall måter som den første eller andre hendelsen være summen av M + N:

Antall former = m + n ... + x forskjellige former.

Eksempel

Antonio ønsker å ta en tur, men bestemmer ikke hvilken destinasjon; I det sørlige reiselivsbyrået tilbyr de en kampanje for å reise til New York eller Las Vegas, mens Eastern Tourism Agency anbefaler å reise til Frankrike, Italia eller Spania. Hvor mange forskjellige reisealternativer tilbyr Antonio?

Løsning

Med det sørlige reiselivsbyrået har Antonio 2 alternativer (New York eller Las Vegas), mens med Eastern Tourism Agency har det 3 alternativer (Frankrike, Italia eller Spania). Antallet forskjellige alternativer er:

Antall alternativer = m + n = 2 + 3 = 5 alternativer.

Permutasjonsprinsipp

Det handler om spesifikt å bestille alle eller noen av elementene som danner et sett, for å lette tellingen av alle mulige arrangementer som kan gjøres med elementene.

Antall permutasjoner av n forskjellige elementer, tatt på en gang, er representert som:

_nP_n = n!

Eksempel

Fire venner vil ta et bilde og vil vite hvor mange forskjellige måter som kan bestilles.

Løsning

Du vil vite settet med alle mulige måter de 4 personene kan plasseres for å ta fotografiet. Dermed må du:

₄P₄ = 4! = 4_*3_*2_*1 = 24 forskjellige måter.

Hvis antall permutasjoner av N -elementer som er tilgjengelige, blir tatt av deler av et sett som er dannet av R -elementer, er det representert som:

Kan tjene deg: Hva er statistikkområdet? (Med eksempler)

_nP_{R =} n! ÷ (n - r)!

Eksempel

I et klasserom har du 10 stillinger. Hvis 4 elever deltar på klassen, hvor mange forskjellige måter studenter kan innta stillingene?

Løsning

Det totale antall stoler er 10, og disse vil bare bli brukt 4. Den gitte formelen brukes for å bestemme antall permutasjoner:

_nP_r = n! ÷ (n - r)!

₁₀P₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀P₄ = 10! ÷ 6!

₁₀P₄= 10_* 9_*8_*7_*6_*5_*4_*3_*2_*1 ÷ 6_*5_*4_*3_*2_*1 = 5040 måter å okkupere stillingene på.

Det er tilfeller der noen av de tilgjengelige elementene i et sett gjentas (de er like). For å beregne antall arrangementer som tar alle elementene samtidig, brukes følgende formel:

_nP_r = n! ÷ n₁!_* n₂!... n_r!

Eksempel

Hvor mange forskjellige ord på fire bokstaver kan dannes fra ordet "ulv"?

Løsning

I dette tilfellet er det 4 elementer (bokstaver) hvorav to av dem er nøyaktig de samme. Ved å bruke den gitte formelen, er det kjent hvor mange forskjellige ord som er:

_nP_r = n! ÷ n₁!_* n₂!... n_r!

₄P_{2, 1.1} = 4! ÷ 2!_*1!_*1!

₄P_{2, 1, 1} = (4_*3_*2_*1) ÷ (2_*1)_*1_*1

₄P_{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 forskjellige ord.

Kombinasjonsprinsipp

Det handler om å fikse alle eller noen av elementene som danner et sett uten en bestemt ordre. For eksempel, hvis du har en XYZ -ordning, vil dette være identisk med ZXY, YZX, ZYX -arrangementer, blant andre; Dette fordi, til tross for at de ikke er i samme rekkefølge, er elementene i hvert arrangement de samme.

Når noen elementer (r) av settet (n) tas, blir kombinasjonsprinsippet gitt av følgende formel:

_nC_{R =} n! ÷ (n - r)!r!

Eksempel

I en butikk selger de 5 forskjellige typer sjokolade. Hvor mange forskjellige måter kan 4 sjokolader velges?

Kan tjene deg: kongruens: kongruente figurer, kriterier, eksempler, øvelser

Løsning

I dette tilfellet må du velge 4 sjokolader av de 5 typene som selger i butikken. Rekkefølgen de er valgt, spiller ingen rolle, og i tillegg kan en type sjokolade velges mer enn to ganger. Bruke formelen, må du:

_nC_r = n! ÷ (n - r)!r!

₅C₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅C₄ = 5! ÷ (1)!4!

₅C₄ = 5_*4_*3_*2_*1 ÷ 4_*3_*2_*1

₅C₄ = 120 ÷ 24 = 5 forskjellige måter å velge 4 sjokolader.

Når alle elementene (r) av settet (n) tas, blir kombinasjonsprinsippet gitt av følgende formel:

_nC_{n =} n!

Løste øvelser

Oppgave 1

Du har et baseballlag med 14 medlemmer. Hvor mange måter kan det tildeles 5 stillinger for et spill?

• Løsning

Settet består av 14 elementer, og du vil tilordne 5 spesifikke posisjoner; det vil si at ordren betyr noe. Permutasjonsformelen brukes der n elementer som er tilgjengelige er tatt av deler av et sett som er dannet av r.

_nP_{R =} n! ÷ (n - r)!

Hvor n = 14 og r = 5. Den erstattes i formelen:

₁₄P₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄P₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄P₅ = 240 240 måter å tildele 9 spillposisjoner på.

Oppgave 2

Hvis en familie på 9 medlemmer drar på tur og kjøper billettene sine med påfølgende stillinger, hvor mange forskjellige måter kan sitte?

• Løsning

Dette er 9 elementer som vil okkupere 9 seter fortløpende.

P₉ = 9!

P₉ = 9_*8_*7_*6_*5_*4_*3_*2_*1 = 362 880 forskjellige måter å sitte på.

Referanser

1. Hopkins, f. (2009). Ressurser for undervisning Diskret matematikk: Klasseromsprosjekter, historiemoduler og artikler.
2. Johnsonbaugh, r. (2005). Diskret matematikk. Pearson Education,.
3. Lutfiyya, l. TIL. (2012). Endelig og diskret matematikkproblemløser. REFACTIONS- OG UTDANNINGSFORSKLIGHETS Redaktører.
4. Padró, f. C. (2001). Diskret matematikk. Politèc. av Catalonia.
5. Steiner, e. (2005). Matematikk for anvendt vitenskap. REVERTE.