Avledningsregler (med eksempler)

Hva er avledningsreglene?

De Derrying regler De er settet med indikasjoner å følge for å finne det vanlige derivatet av en ekte variabel funksjon f (x).

Det ordinære derivatet av funksjonen f (x), betegnet som f '(x), tolkes som den øyeblikkelige valutakursen for nevnte funksjon med hensyn til variabel x. Grafisk er derivatet skråningen til tangentlinjen til kurven til F (x), beregnet på et gitt punkt hvis koordinat er x_enten, Som representert i figuren nedenfor.

Derivatet som skråningen på linjen Tangens til F (x) på et gitt punkt. Kilde: Wikimedia Anemos/Modified av F. Zapata.

Nå, analytisk, beregnes derivatet gjennom følgende grense:

Så hver gang derivatet av en viss funksjon er nødvendig, bør grensen evalueres som angitt. Imidlertid er det deration -regler, som lett blir husket med litt praksis og lagrer arbeidet med å beregne grensen, som i noen tilfeller er tungvint.

Hva er avledningsreglene?

Avledningsreglene vist nedenfor oppnås enkelt gjennom den formelle derivatedefinisjonen.

1. Umiddelbare derivater

Avledet fra en konstant

Derivatet av en konstant k er 0:

f (x) = k ⇒ f '(x) = 0

• Eksempel

f (x) = 5, deretter f '(5) = 0

Avledet fra x

Derivatet av f (x) = x er alltid 1, det vil si at:

f (x) = x, deretter f '(x) = 1

2. Lineær funksjon avledet

Den lineære funksjonen har formen:

f (x) = øks

Hvor a er et reelt tall.

Dets derivat er:

f '(x) = a

• Eksempel

La f (x) = 3x, da:

f '(x) = 3

3. Avledet fra en sum

Hvis f (x) er summen eller subtraksjon av to funksjoner u og v, begge differensieres:

f (x) = u ± v

Så:

f '(x) = u' (x) ± v '(x)

Avledet fra den relaterte funksjonen

Den relaterte funksjonen er summen av to vilkår:

Kan tjene deg: kombinert operasjoner

f (x) = øks + b

Hvor A og B er reelle tall. Bruke summen av summen:

f '(x) = (øks)' + (b) '

Men:

(øks) '= A (regel 2)

(b) '= 0 (regel 1)

Derfor:

f '(x) = a

• Eksempel

Derivatet av f (x) = −8x + 6 er:

f '(x) = (−8x)' + (6) '= −8

4. Avledet fra en makt

Sak 1

La f (x) være en potensiell funksjon av formen f (x) = xⁿ, så:

f (x) = xⁿ ⇒ f '(x) = n ∙ x^{N - 1}

• Eksempel

Når den er avledet:

f (x) = x³

Resultat:

f '(x) = 3⋅x³⁻¹ = 3x²

Sak 2

Hvis funksjonen har formen f (x) = øksⁿ, Der A er et reelt tall, kommer det ut av derivatet:

f '(x) = a ∙ nx^{N - 1}

• Eksempel

Stam:

f (x) = 4x⁵

Er oppnådd:

f '(x) = 4 ∙ 5 x⁵⁻¹ = 20x⁴

Sak 3

Hvis eksponenten er brøk, fortsetter den på samme måte som den ble forklart i tilfeller 1 og 2. Dette skjer når variabel x blir funnet som et argument for en rot.

• Eksempel

Være funksjonen:

f (x) = 3x^3/2

Derivatet er:

 Hvis du vil skrive i form av rot:

5. Produktet avledet

Produktregelen gjelder produktformet funksjoner mellom to U- og V -funksjoner, begge differensierbare:

f (x) = u ∙ V

f '(x) = u' ∙ v + u ∙ v '

Det vil si at derivatet av produktet av to funksjoner er derivatet av det første, av det andre uten å utlede, pluss den første uten å utlede, multiplisert med derivatet av det andre.

• Eksempel

Finn, etter produktregelen og reglene beskrevet ovenfor, derivatet av:

G (x) = (2x+3) (4x²−1)

Den første tingen er å bestemme hvem u og v er, og husker at rekkefølgen på faktorene ikke endrer produktet, de kan velges på denne måten:

• U = 2x+3
• V = 4x²−1

Deretter blir produktregelen hevet og de indikerte derivater blir løst, i henhold til reglene beskrevet ovenfor:

G '(x) = (2x+3)' (4x²−1) + (2x + 3) (4x²−1) '

Kan tjene deg: Lineær programmering: Hva er det for, modeller, begrensninger, applikasjoner

Du må:

• (2x+3) '= 2
• (4x²−1) '= 8x

Erstatte:

G '(x) = 2x (4x²−1)+(2x+3) 8x

Derivatet er allerede klart, men uttrykket kan fortsatt være faktor:

G '(x) = 2x [4x²−1+8 (2x+3)] =

= 2x [4x²−1+16x+24] =

= 2x (4x²+16x+23)

Dette resultatet kan også oppnås ved tidligere å bruke distribusjonseiendom på produktet (2x+3) (4x²−1) og deretter bruke reglene fra 1 til 4. Det er igjen som trening for leseren.

6. Avledet fra kvotienten

Være en funksjon av form:

Med tilstand v ≠ 0, og at både, u og v, er differensierbare. I dette tilfellet beregnes dets derivat gjennom:

• Eksempel

Finn derivatet av:

For dette eksemplet må du:

• U = x+1
• v = x²

Forholdet mellom kvotientregelen fører til:

Som det er nødvendig å erstatte følgende:

• (x+1) '= 1
• (x²) '= 2x
• (x²)² = x⁴

Og når du bytter ut er det:

Ved å bruke distribusjonseiendommer i telleren og redusere vilkårene, er uttrykket for F '(x):

Øvelsen kunne ha blitt løst på en annen måte, omskriving F (x) som:

f (x) = (x+1) ∙ x⁻²

Og deretter bruke produktregelen og noen algebra. Det blir igjen som trening for leseren å bekrefte at det oppnås identisk resultat.

7. kjedestyret

Gjelder sammensatte funksjoner, form:

f = f (u)

Hvor u = g (x)

Derivatet utføres som følger:

f '(x) = f' (u) ∙ u '= f' [g (x)] ∙ g '(x)

A g '(x) er kjent som Intern derivat. Å bruke kjedestyret er enklere enn det virker ved første øyekast, se dette eksemplet:

• Eksempel

Bruk kjedestyret, finn derivatet av:

f (x) = (2x²-1)⁷

u = g (x) = 2x²-1

Derfor f (u) = u⁷ Og dets derivat, i henhold til regel 4 er:

f '(u) = 7u⁶ = 7 (2x²-1)⁶

Dette resultatet lagres og det interne derivatet G '(x) beregnes:

G '(x) = u' = (2x²-1) '= (2x²)'-(1)'

Her er det nødvendig å anvende reglene suksessivt: 3 (for sum/subtraksjon av funksjoner), 4 (for krefter) og 1 (for derivat av en konstant).

Det kan tjene deg: køteori: historie, modell, hva er det for og eksempler for

Er oppnådd:

G '(x) = (2x²) '-(1)' = 4x

Det siste trinnet er å multiplisere resultatene:

f '(x) = 7 (2x²-1)⁶∙ 4x

Og til slutt omorganisere faktorene:

f '(x) = 28x ∙ (2x²-1)⁶

8. Avledet fra trigonometriske funksjoner

Derivater av trigonometriske funksjoner er:

• Eksempel

Stam:

H (x) = sin (4x)

Gjør u = 4x og anvendelse av kjedestyret oppnås:

H '(x) = 4cos (4x)

9. Avledet fra inverse trigonometriske funksjoner

De vises i følgende tabell:

• Eksempel

Stam:

g (x) = arct tg (-2x)

Husk alltid kjedestyret, u = -2x er ferdig og derivatet er:

10. Avledet fra eksponentielle og logaritmiske funksjoner

Eksponentiell funksjon

Hvis basen er nummer E:

f (x) = e^x ⇒ f '(x) = e^x

Når basen er et nummer A:

f (x) = a^x ⇒ f '(x) = (ln a) ∙ a^x

Logaritmisk funksjon

Når en neperisk logaritmefunksjon er avledet:

f (x) = ln x

I tilfelle av en logaritme på en annen base:

f (x) = log_til x

• Eksempel

Stam:

H (x) = x ∙ lnx

elleve. Implisitt derivat

De brukes når klaring av y (x) ikke er øyeblikkelig, derfor er det ikke noe eksplisitt uttrykk for f (x), som i de tidligere tilfeller. Likevel er det mulig å finne derivatet med prosedyren som er illustrert i følgende eksempel:

• Eksempel

Implisitt avleder følgende uttrykk for å finne og ':

4x³+11xy²−2y³ = 0

Som du kan se, er det ikke lett å finne og avhengig av x direkte, så for å finne det forespurte derivatet, blir reglene beskrevet anvendt, og henviser på begge sider av likhet:

(4x³) '+ [11 (x)'+ 11x (og²) '] - (2y³) '= 0 (sumregel og produktregel)

Målet er å rydde og ', som er det derivat som er søkt, som kjedestyret brukes til:

12x² + [11 + 11x ∙ 2yy '] - 6y²og '= 12x² + 11 + 22xy ∙ og ' - 6y² ∙ og '= 0

og '∙ (22xy - 6y²) + 12x² + 11 = 0