Kvadratiske suksesser eksempler, regel og øvelser løst

De Kvadratiske suksesser, I matematiske termer består de av sekvenser av tall som følger en viss aritmetisk regel. Det er interessant å vite denne regelen å bestemme noen av vilkårene i en rekke.

En måte å oppnå dette på er å bestemme forskjellen mellom to påfølgende vilkår og se om verdien som er oppnådd alltid gjentas. Når det, sies det at det er en Regelmessig suksess.

Numeriske suksesser er en måte å organisere tallsekvenser. Kilde: Pixabay.com

Men hvis det ikke gjentas, kan du prøve å undersøke forskjell mellom forskjeller Og se om denne verdien er konstant. I så fall er det en Kvadratisk suksess. 

[TOC]

Eksempler på regelmessige suksesser og kvadratiske suksesser

Følgende eksempler er med på å avklare hva som er forklart så langt:

Eksempel på regelmessig suksess

Være suksessen s = 4, 7, 10, 13, 16, ...

Denne rekkefølgen, betegnet av S, er et uendelig numerisk sett, i dette tilfellet av hele tall.

Det kan sees at det er en vanlig rekkefølge, fordi hvert begrep oppnås ved å legge 3 til forrige begrep eller element:

4

4 +3 = 7

7+3 = 10

10+3 = 13

1. 3+3 = 16

Med andre ord: Denne suksessen er regelmessig fordi forskjellen mellom følgende begrep og den forrige gir en fast verdi. I eksemplet gitt denne verdien er 3.

De vanlige suksessene oppnådd ved å legge til et fast beløp til forrige periode, kalles også aritmetiske fremganger. Og til forskjellen - konstant - blant påfølgende vilkår kalles det grunnen til Og det er betegnet som r.

Eksempel på ikke -regulær og kvadratisk suksess

Se nå følgende suksess:

S = 2, 6, 12, 20, 30, .. .

Når de påfølgende forskjellene beregnes, oppnås følgende verdier:

Kan tjene deg: tilfeldige valg med eller uten erstatning

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Forskjellene deres er ikke konstante, så det kan sies at det er en ikke -regulær suksess.

Imidlertid, hvis vi vurderer settet med forskjeller, er det en annen suksess, som vil bli betegnet som s_DIF:

S_DIF = 4, 6, 8, 10, .. .

Denne nye suksessen er en Regelmessig suksess, Siden hvert begrep oppnås ved å legge til den faste verdien r = 2 til forrige. Det er grunnen til at vi kan bekrefte at det er Kvadratisk suksess.

Generell regel for å bygge en kvadratisk suksess

Det er en generell formel for å bygge en kvadratisk suksess:

T_n = A ∙ n² + B ∙ N +C

I denne formelen, t_n Det er sugets begrep. A, b og c er faste verdier, mens n varierer en etter en, det vil si 1, 2, 3, 4, ..

I rekkefølge etter forrige eksempel a = 1, b = 1 og c = 0. Derfra følger det at formelen som genererer alle vilkårene er: t_n = n² + n

Det er å si:

T₁ = 1² + 1 = 2

T₂ = 2² + 2 = 6

T₃ = 3² + 3 = 12

T₅ = 5² + 5 = 30

T_n = n² + n

Forskjell mellom to påfølgende vilkår for en kvadratisk suksess

T_N+1 - T_n = [A ∙ (n+1)² + B ∙ (n + 1) + c] - [a ∙ n² + B ∙ N +C]

Utvikling av uttrykket gjennom bemerkelsesverdig produkt gjenstår:

T_N+1 - T_n = A ∙ n² + A ∙ 2 ∙ N + A + B ∙ N + B + C - A ∙ N² - B ∙ N - C

Ved å forenkle det får du:

T_N+1 - T_n = 2 ∙ a ∙ n + a + b

Dette er formelen som gir rekkefølgen av forskjellene s_DIF som kan skrives slik:

DIF_n = A ∙ (2n+1)+b

Hvor det er klart følgende begrep er 2 ∙ Noen ganger er det forrige. Det vil si grunnen til rekkefølgen av forskjellene s_DIF Es: r = 2 ∙ a.

Løst øvelser med kvadratiske suksesser

Oppgave 1

Være suksessen s = 1, 3, 7, 13, 21,…. Bestem ja:

i) det er vanlig eller ikke

ii) er kvadratisk eller ikke

iii) var kvadratisk, rekkefølgen av forskjeller og deres grunn

Det kan tjene deg: Begrens egenskaper (med eksempler)

Svar

i) La oss beregne forskjellen følgende begrep og den forrige:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Vi kan bekrefte at suksess ikke er regelmessig, fordi forskjellen mellom påfølgende vilkår ikke er konstant.

ii) Suksessen av forskjellene er regelmessig, fordi forskjellen mellom vilkårene er den konstante verdien 2. Derfor er den opprinnelige suksessen S kvadratisk.

iii) Vi har allerede bestemt at S er kvadratisk, rekkefølgen av forskjellene er:

S_DIF = 2, 4, 6, 8,… og årsaken er r = 2.

Oppgave 2

Være suksessen s = 1, 3, 7, 13, 21,… av forrige eksempel, hvor det ble bekreftet at det er kvadratisk. Fastslå:

i) formelen som bestemmer det generelle begrepet t_{n .}

ii) Kontroller tredje og femte periode.

iii) Verdien av tiende termin.

Svar

i) den generelle formelen til t_n er en ∙ n² + B ∙ N +C. Da er det kjent verdiene til a, b og c.

Rekkefølgen av forskjeller er riktig 2. I tillegg til en hvilken.

R = 2 ∙ a = 2 som fører til at vi konkluderer med at a = 1.

Den første perioden for rekkefølgen av forskjeller s_DIF Det er 2 og må overholde ∙ (2n+1)+B, med n = 1 og a = 1, det vil si:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1+1)+B

Rydding b oppnås: b = -1

Deretter den første termen av S (n = 1) Vale 1, det vil si: 1 = A ∙ 1² + B ∙ 1 + C. Som vi allerede vet at a = 1 og b = -1, erstatter oss, er vi igjen:

1 = 1 ∙ 1² + (-1) ∙ 1 +c

Clearing C oppnås sin verdi: C = 1.

Oppsummert:

A = 1, b = -1 og c = 1

Da er begrepet bare_n = n² - N + 1

ii) Tredje termin t₃ = 3² - 3 + 1 = 7 og er bekreftet. Den femte t₅ = 5² - 5 + 1 = 21 som også er bekreftet.

iii) Den tiende termin vil være t₁₀ = 10² - 10 + 1 = 91.

Øvelse 3

Sekvens av områder for trening 3. Kilde: Selvlaget.

Figuren viser en sekvens på fem figurer. Retikulatet representerer lengdenheten.

Kan tjene deg: Forskjell mellom en felles brøkdel og et desimaltall

i) Bestem arven etter figurområdet.

i) Vis at det er en kvadratisk suksess.

iii) Finn området i figur nr. 10 (ikke vist).

Svar

i) Suksessen som tilsvarer området for figurens sekvens er:

S = 0, 2, 6, 12, 20,…

ii) Suksessen som tilsvarer de påfølgende forskjellene i vilkårene til S er:

S_DIF = 2, 4, 6, 8,…

Ettersom forskjellene mellom påfølgende vilkår ikke er konstant, så er ikke en vanlig rekkefølge. Den må vite om det er kvadratisk, som vi igjen gjør sekvensen av forskjellene, og oppnår:

2, 2, 2, .. .

Siden alle vilkårene i sekvensen gjentas, bekreftes det at S er en kvadratisk suksess.

iii) suksess s_DIF er regelmessig og grunnen til at r er 2. Ved å bruke den tidligere demonstrerte ligningen R = 2 ∙ A, gjenstår:

2 = 2 ∙ A, noe som innebærer at a = 1.

Den andre perioden for rekkefølgen av forskjeller s_DIF Det er 4 og n-eme av S_DIF er

A ∙ (2n+1)+B.

Den andre termin har n = 2. Det ble også bestemt at A = 1, så ved å bruke den forrige ligningen og erstatte den er:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2+1)+B

Rydding b oppnås: b = -1.

Det er kjent at den andre termen av S er verdt 2, og at formelen for det generelle begrepet må oppfylle med n = 2:

T_n = A ∙ n² + B ∙ N +C; n = 2; A = 1; B = -1; T₂ = 2

Det er å si

2 = 1 ∙ 2² - 1 ∙ 2 + C

Det konkluderes med at C = 0, det vil si at formelen som gir den generelle begrepet etterfølgelsen er:

T_n = 1 ∙ n² - 1 ∙ n +0 = n² - n

Nå er den femte termin bekreftet:

T₅ = 5² - 5 = 20

iii) Figur nr. 10, som ikke er trukket her, vil ha området som tilsvarer den tiende termin av S -suksessen:

T₁₀ = 10² - 10 = 90

Referanser

1. https: // www.Geogebra.org