Trinomial

En trinomial er et polynom med tre begreper. Kilde: f. Zapata.

Hva er en trinomial?

En trinomial er et polynom som består av den indikerte summen av tre forskjellige begreper, det vil si at den er bygget algebraisk tre monomialer i forskjellige grader, enten en eller mer variabel. De er veldig vanlige polynomer i algebra.

Noen eksempler på trinomialer er følgende:

• x² + 5x - 3 (klasse 2)
• x- x² - 6x³  (Trinomial i klasse 3)
• -7xy² + 4x²y - x³ (Trinomial av absolutt grad 3, grad 3 i X og grad 2 i Y)

Den første og andre av disse trinomialene er av en enkelt variabel, i dette tilfellet variabelen "x", mens den tredje trinomialen er to variabler "x" og "y".

Eksempler på trinomials

Det er flere typer trinomials som presenteres i en rekke applikasjoner, blant dem:

Perfekt firkantet trinomial

En perfekt firkantet trinomial oppnås når du utvikler kvadratet med en sum eller kvadratet med en forskjell i termer. Begge utviklingen er kjent som bemerkelsesverdige produkter.

Først av alt har du summen av summen: (a + b)². Når du utvikler dette uttrykket får du:

(A + B)² = (a + b) × (a + b) = a² + A ∙ B + B ∙ A + B²

De to sentrale begrepene er identiske og reduseres til 2A ∙ B, derfor:

(A + B)² = a² + 2A ∙ B + B²

Trinomial a² + 2A ∙ B + B² inneholder to perfekte firkanter: a² og b², Mens det gjenværende uttrykket er lik det doble produktet av de to begrepene i den opprinnelige binomialen.

Torget for en forskjell er en trinomial som ligner på det forrige, bortsett fra et negativt tegn som påvirker det doble produktet av vilkårene for det opprinnelige binomialet:

(A - B)² = (a - b) × (a - b) = a² - A ∙ B - B ∙ A + B²

Igjen reduseres de lignende begrepene til en enkelt begrep, og det oppnås at:

Kan tjene deg: Moivre teorem

(A - B)² = a² - 2A ∙ B + B²

Det er ikke lenger mulig å redusere resultatet.

Disse bemerkelsesverdige, lett minnbare produktene, knytter en perfekt firkantet trinomial med kvadratet til den tilsvarende binomialen, for eksempel:

• (x - 5)² = x² - 10 ∙ x + 25
• (2y + 3)² = 4y² + 12 ∙ y + 9

Det skal bemerkes at ikke alle perfekte firkantede trinomialer er en variabel eller grad 2. Her er eksempler på denne typen trinomialer med to og flere variabler og også med forskjellige grader på 2:

• (x + y)² = x² + 2 ∙ xy + og²
• (2z² + og)² = 4z⁴ + 4 ∙ Z²og + og²
• (5xy³ - z)² = 25x²og⁶ - 10 xy³z + z²

Trinomial av x -skjemaet² + bx + c

I denne trinomialen er bare ett av begrepene perfekt firkant, i dette tilfellet er det x² og den numeriske koeffisienten er 1. Følgende B⋅x -term er lineær og det siste begrepet er det uavhengige begrepet. Eksempler på denne typen trinomialer er:

• x² +  5 ∙ x + 6 (b = 5; c = 6)
• og² - 4 ∙ y + 3 (b = −4; c = 3)
• m² - 12 ∙ M + 11 (B = −12; C = 11)

Trinomial av øksformen² + bx + c

Det ligner de forrige, bortsett fra at koeffisienten til det kvadratiske uttrykket er forskjellig fra 1, som i disse trinomialene:

• 3x² - 5 ∙ x - 2 (a = 3; b = −5; c = −2)
• 6y² +  7 ∙ y + 2 (a = 6; b = 7; c = 2)
• 2m² + 29 ∙ m + 90 (a = 2; b = 29; c = 90)

Trinomial faktorisering

En veldig hyppig algebraisk operasjon er trinomial faktorisering, som består av å skrive dem som et produkt av forskjellige faktorer av 1. Det er spesifikke prosedyrer for hver av trinomialene som er beskrevet.

Perfekt firkantet trinomial faktorisering

De kan tas med på inspeksjon fra bemerkelsesverdige produkter:

(A + B)² = a² + 2A ∙ B + B²

(A - B)² = a² - 2A ∙ B + B²

Trinnene for å faktorere en perfekt firkantet trinomial er:

1.- Kontroller at trinomialen inneholder to perfekte firkanter til² og b², Begge vilkårene må inngås det samme tegnet, vanligvis tegnet +. Hvis begge er forut for tegn - dette kan være faktor uten problemer.

Kan tjene deg: perfekt firkantet trinomial

2.- Bestem verdiene til A og B ved å trekke ut kvadratroten til en² og b².

3.- Bekrefter at den tredje termin er det doble produktet av A og B.

Trinomial faktorisering av x -skjemaet² + bx + c

Dette er det trinomiale med et unikt kvadratisk begrep, for å faktorere det er skrevet som det to binomiale produktet:

x² + Bx + C = (x + r) ∙ (x + s)

Hvor R og S er to tall for å bestemme.

Merk at når den utvikler høyre side, gjennom distribusjonseiendom, oppnås det:

(x + r) ∙ (x + s) = x² + S ∙ x + r ∙ x + r ∙ s = x² + (R + s) ∙ x + r ∙ s

Så slik at dette uttrykket gjenspeiler den opprinnelige trinomialen, må tallene U og V oppfylle følgende forhold:

R ∙ s = c
R + s = b

Noen trinomials av x -skjemaet² + BX + C innrømmer ikke faktorisering ved denne metoden, men de kan være faktor ved hjelp av den generelle formelen eller løsningsmiddelformelen.

Trinomial faktorisering av øksformen² + bx + c

En prosedyre for å faktorere denne typen trinomialer er:

1. Multipliser og del trinomialen med koeffisienten "A"
2. Gjør produktet mellom "A" og den første og tredje termin av trinomialen, og forlater produktet uten å lage den andre termin.
3. Prosedyren beskrevet i forrige seksjon brukes på trinomialen, det vil si at den er skrevet som et produkt av to binomialer, men i dette tilfellet er den første termen av hver binomial ikke "x", men "a ∙ x".
4. To n tall r og s søkes at a ∙ c = r ∙ s og også r + s = b
5. Til slutt er binomialene som er, se øvelsen løst 3 forenklet så langt det er mulig.

Løste øvelser

Oppgave 1

Finn det trinomiale som resulterer når du utvikler følgende bemerkelsesverdige produkt: (4x - 3Y)²

• Løsning

Den bemerkelsesverdige produktformelen for kvadrat for en forskjell brukes, noe som resulterer i:

Det kan tjene deg: Rektangulære koordinater: Eksempler og øvelser løst

(4x - 3y)² = (4x)² - 2 ∙ 4x ∙ 3y + (3y)² = 16x² - 24 ∙ xy + 9y²

Oppgave 2

Faktisk følgende trinomial:

x² +  5x + 6

• Løsning

Dette er en trinomial av X -formen² + BX + C, med B = 5 og C = 6, slik at du kan prøve å faktorere med prosedyren beskrevet ovenfor. For å gjøre dette må du finne to R- og S -tall som multiplisert oppnås 6 og lagt til i 5:

R ∙ s = 6 og r + s = 5.

Tallene som ble søkt er r = 3 og s = 2, siden de oppfyller disse forholdene, derfor:

x² +  5x + 6 = (x + 3) (x + 2)

Det er igjen som trening for leseren å bekrefte at det lett å utvikle høyre side til den opprinnelige trinomial.

Øvelse 3

Faktoriser 3x² - 5x - 2.

• Løsning

Dette er en trinomial av øksformen² + BX + C, med A = 3, B = −5 og C = −2. Prosessen er:

-Multipliser og del med a = 3:

Lag produktet av “A” for første og tredje periode, og la produktet være angitt med den andre perioden:

Nå må du skrive det to binomiale produktet, hvis første periode er 3x og se etter to R- og S -tall slik at:

• Når multiplisert i −6
• Og når det er tilsatt algebraisk, oppnås den −5

Disse tallene er r = −6 og s = 1:

Til slutt er det resulterende binomiale produktet forenklet:

Foreslåtte øvelser

Faktor følgende trinomials: ²

1. X² - 14x + 49
2. P² + 12pq + 36q²
3. 12x² - x - 6
4. Z² + 6Z + 8

Referanser

1. Baldor. 1977. Elementær algebra. Venezuelanske kulturutgaver.
2. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matematikk for beregning. 5. plass. Utgave. Cengage Learning.
4. Zill, d. 1984. Algebra og trigonometri. 1. Utgave. McGraw Hill.
5. Zill, d. 2008. Preccculment med fremskritt av beregning. 4. plass. Utgave. McGraw Hill.