De Faktoriell notasjon Det brukes til å beregne produktet fra det første n Naturlige tall, det vil si positive heltall, fra 1 til verdien av n. Det er betegnet med et tegn på beundring og kalles n Factorial:

n! = 1⋅2⋅3 .. . (N-1) ⋅n

Å beregne faktorialen til et tall er enkelt, for eksempel er produktet av de seks første naturlige tallene uttrykt av:

6! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6 = 720

Figur 1. Faktoriell notasjon kan skrives kompakt med produktsymbolet fra k = 1 til n. Kilde: f. Zapata.

Faktorer vises på spørsmål som Newtons binomial- og kombinatoriske teori som ofte brukes i beregningen av sannsynligheter. I disse vises ofte samtaler Kombinatoriske tall som kan uttrykkes som fabrikk.

Notasjonen n! Det er opprettelsen av den franske legen og matematisk. Uavhengig ble fabrikkene også oppdaget av en annen fransk matematiker: Louis Arbogast (1759-1803), Kramp samtid.

Som med summeringene, er det en måte å uttrykke produktet av de første N -naturlige tallene på en sammendrag måte:

 Symbolet som ligner på en stor bokstav "Pi" som vises i uttrykket, kalles "å produsere" eller "multiplikatorisk".

Factorial Notation Egenskaper

La M og N to positive heltall, det er oppfylt at:

1. Ved bekvemmelighet ble det enige om å definere 0! Som lik 1, det vil si: 0! = 1.
2. Verdien av 1! = 1
3. Ja! = b!, Det betyr at a = b, forutsatt at a⋅b ≠ 0. Unntaket er verdier 0 og 1, siden 1! = 1 = 0!, Som nevnt, men det er klart at 1 ≠ 0.
4. Ja m < n, entonces m! < n! og derfor m! Den er inneholdt i n!:
   n! = 1⋅2⋅ 3⋅ 4… (m -1) ⋅m… n
5. For n større enn eller lik 2 du må:
   n! = N⋅ (n-1)!
   Siden i henhold til definisjonen:
   n! = [1⋅2⋅3⋅ 4⋅5 .. . (N-1)] ⋅n
   Uttrykket i firkantede parenteser er nettopp (N-1)!
6. N⋅n! = (n+1)! - n!
   Å heve driften av høyre side av likhet:
   (N+1)! - n! =) . n] =
   = [1⋅2⋅3⋅ 4 ⋅ 5 .. . N] ⋅ [(n+1) - 1] = [1 ⋅2⋅3 4 ⋅5 .. . n] ⋅ n = n! ⋅ n

Kan tjene deg: konvergensradio: Definisjon, eksempler og øvelser løst

Medfaktorielle, semi-data eller kvasi-facutorials av et tall

Semi -virkemaktige av et naturlig tall avhenger av om det er jevnt eller rart. I notasjonen brukes dobbelttegnet på beundring eller dobbelt factorial og definert av følgende regel:

-Hvis n er jevn:

n!! = 2⋅4⋅6⋅8… n

-Hvis n er merkelig:

n!! = 1⋅3⋅5⋅7… n

Formler for semifaktorialer

Følgende formler hjelper til med å beregne semifaktorialer lettere, spesielt når det gjelder stort antall.

Følgende observeres for tilfelle at N er jevn:

n!! = (2⋅1) ⋅ (2⋅2) ⋅ (2⋅3) ⋅ (2⋅4)… 2⋅ (n/2) = (2⋅ 2⋅2⋅2.…) ⋅ [1⋅2⋅3⋅4… (n/2)] =

= 2^(N/2) . (N/2)!

Og hvis n er merkelig, da:

n!! = 1⋅3⋅5⋅7… n

Multiplisere og dele samtidig med [2 . 4 . 6… (n - 1)], uttrykket gjenstår:

n!! = [1mero

Men mengden mellom tastene er:

1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7 .. . (N -1) ⋅n

Og dette er n!, Som sett ovenfor, da, når du erstatter:

n!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)]

Det som er på torget skrives om slik:

[2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)] = 2^[(N-1)/2] ⋅ [(n-1)/2)]!

Derfor:

n!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)] = n! ÷ 2^[(N-1)/2] ⋅ [(n-1)/2)]!

Eksempler

Ovennevnte egenskaper brukes for å forenkle uttrykk som inneholder fabrikk, med hensyn til at generelt er følgende uttrykk ikke likeverdige:

1. (M ± n)! ≠ m! ± n!
2. (m x n)! ≠ m! x n!
3. (m ÷ n)! ≠ m! ÷ n!
4. (mⁿ)! ≠ (m!)ⁿ
5. (m!)! ≠ m!!

Eksempel 1

Når du beregner disse faktorene direkte:

til 5!

Det kan tjene deg: Frekvens sannsynlighet: Konsept, hvordan det beregnes og eksempler

b) 8!

c) 4!!

d) 11!!

e) 14!!

f) (2n+1)!!

Verdier oppnås:

til 5! = 5 . 4. 3. 2. 1 = 120

b) 8! = 8 . 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 40320

c) 4!! = 2⋅4 = 8

d) 11!! = 11⋅ 9 ⋅7⋅5⋅ 3⋅1 = 10395

e) 14!! = 14⋅12⋅10⋅8⋅6⋅4⋅2 = 645120

f) (2n+1)!! = 1⋅3⋅5⋅7… (2n-3) ⋅ (2n-1) ⋅ (2n+1)

Resultatene fra A) opp til E) kan også bekreftes med en kalkulator. Vitenskapelige kalkulatorer har en funksjon som direkte beregner verdien av x!.

Som det kan sees, er resultatene av fabrikkene, bortsett fra med lite antall, verdier som vokser veldig raskt.

Eksempel 2

Følgende brøkuttrykk kan forenkles når du bruker egenskapene:

Løste øvelser

Trening løst 1

Sjekk, ved hjelp av formelen til medfabrikk, disse resultatene som tidligere er oppnådd:

a) 11!! = 10395

b) 14!! = 645120

Løsning på

Siden 11 er merkelig, erstattes verdiene nøye i riktig formel:

n!! = n! ÷ 2^[(N-1)/2] . [(N-1)/2)]!

Og så blir resultatet forenklet av egenskapene til factorialene:

elleve!! = 11! ÷ 2^[(11-1)/2] . [(11-1)/2)]! = 11! ÷ 2^[(10)/2] . [(10)/2)]! = 11! ÷ 2⁵ . 5! = (11 . 10. 9. 8. 7. 6. 5!) ÷ [(32). 5!] = (11⋅10⋅9 ⋅ 8⋅7⋅6) ÷ 32 = 10395

Som forventet ble det samme resultatet oppnådd som ved å beregne 11!! Direkte er det imidlertid fordelaktig å bruke formelen.

Løsning b

Ved å bruke semifabrikkformelen for n tjære, og erstatte verdier, oppnås følgende:

14!!= 2^(14/2) ⋅ (14/2)! = 2⁷ ⋅ 7! = 128 × 5040 = 645120

Trening løst 2

Skriv følgende operasjoner som faktoriske kvotienter:

A) 7⋅6⋅5⋅4⋅3

B) N⋅ (N-1) ⋅ (N-2) ⋅ (N-3)

c) (n-1) ⋅ (n-2) .. .(N-9)

Løsning på

7⋅6⋅5⋅4⋅3 = 7! / 2!

Løsning b

N⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3) = n! / (N - 4)!

Løsning c

(N-1) ⋅ (n-2) .. .(N-9) = (n-1)! / (N-10)!

Trening løst 3

Det er 4 firkanter med farger: blå, oransje, fiolett og grønt, og dere vil finne hverandre etter det andre på et bord. Hvor mange måter kan rutene plasseres?

Kan tjene deg: Konstant funksjon: Kjennetegn, eksempler, øvelser Figur 2. Hvor mange kombinasjoner kan gjøres ved å justere fire firkanter med farger?. Resultatet kan uttrykkes som en fabrikknummerkilde: f. Zapata.

Løsning

Det er flere måter å avhende rutene på, for eksempel å fikse fargen først. Her er noen alternativer:

-Blå, oransje, fiolett og grønn

-Blå, grønn, oransje og fiolett

-Blå, fiolett, grønt og oransje

Og så videre. Leseren kan bekrefte at det er 6 kombinasjoner av firkanter som begynner med blått.

Merk at når du setter en farge som det første alternativet, kan du fikse de 3 andre fargene. Når det andre er fikset, er det 2 å velge, og når denne fargen er valgt, gjenstår bare 1 farge.

Dette kan uttrykkes med produkt: 4⋅3⋅2⋅1, som er faktorialet til 4!:

4! = 4⋅3⋅2⋅1 = 24

Det er konkludert med at det totalt er 24 mulige kombinasjoner.

I denne måten å organisere det kalles det permutasjon, der rekkefølgen elementene er plassert i.

Trening løst 4

Løs følgende ligninger:

a) (x² + x)! = 720

Løsning på

I begynnelsen ble det sett at 6! = 720, derfor:

(x² + x)! = 6!

Deretter må mengden mellom parenteser være 6:

x² + x = 6

Dette er en andre grads ligning i x:

x² + x - 6 = 0

Denne ligningen kan løses ved bruk av den generelle formelen eller ved trinomial faktorisering.

Ved å bruke denne siste metoden blir trinomialen faktorisert som følger:

x² + x - 6 = (x+3) ⋅ (x -2) = 0

Ligningsløsningene er x₁ = -3 og x₂ = 2

Løsning b

Både telleren og nevneren er faktor, med tanke på å forenkle det mest at uttrykket kan være. For å begynne, i nevneren kan du være faktor (x+7)!

Med dette er det mulig å avbryte begrepet (x+7)!, blir:

Som (x+9)! = (x+9) ⋅ (x+8)! Denominatoren kan avlyses og gjenstår:

(x+8)! = 14!

Eiendom 3 er en enkel ligning:

x+8 = 14

x = 6

Referanser

1. Hoffman, J.G. Valg av matematikkproblemer. Ed. Spphinx.
2. Lipschutz, s. 2007. Diskret matematikk. Schaum -serien. 3. Utgave. McGraw Hill.
3. Matematikk er morsomt. Faktorisk funksjon. Gjenopprettet fra: Mathisfun.com.
4. Smartick. Factorial hva bruker vi dem til?. Gjenopprettet fra: Smartick.er.
5. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matematikk for beregning. 5. plass. Utgave. Cengage Learning.