Ensartet distribusjon fortsetter egenskaper, eksempler, applikasjoner

En tilfeldig variabel har en Kontinuerlig ensartet distribusjon Hvis sannsynligheten for å ta en verdi, innen et begrenset intervall [a, b], er den samme for ethvert underintervall av lik lengde.

Denne fordelingen er analog med den diskrete ensartede fordelingen, som tildelt hvert resultat av det tilfeldige eksperimentet den samme sannsynligheten, men i dette tilfellet er variabelen som skal vurderes kontinuerlig. For eksempel følger eksperimentet som består av å velge et tilfeldig reelt tall, mellom verdier A og B, den ensartede distribusjonen. Her har du grafen din:

Figur 1. Graf over tetthetsfunksjonen til den kontinuerlige normaliserte enhetlige fordelingen

I matematisk notasjon har den kontinuerlige ensartede fordelingen en tetthetsfunksjon definert som en funksjon for stykker eller av seksjoner, som kan skrives som:

Grafen til denne funksjonen, kjent som Kurve- eller tetthetsfunksjon, Det er et rektangel, så den kontinuerlige ensartede fordelingen er også kjent som Rektangulær distribusjon Og det er den enkleste av kontinuerlige distribusjoner.

Området under grafen for en sannsynlighetsfordeling er lik 1 og tar alltid positive verdier. Den enhetlige distribusjonen oppfyller disse kriteriene. Det er ikke nødvendig å integrere direkte for å bekrefte at området er 1, siden området til det skyggelagte rektangelet i figur 1 kan beregnes ved å bruke formelen:

Område = base x høyde = (b - a) x [1/(b - a)] = 1

Å kjenne området under tetthetskurven er veldig viktig, fordi det er et forhold mellom området og sannsynligheten for forekomst av en hendelse, som for denne distribusjonen bestemmes i følgende avsnitt.

Kontinuerlige ensartede distribusjonsegenskaper

Den kontinuerlige ensartede fordelingen er preget av dens:

Tetthetsfunksjon

La x være den kontinuerlige tilfeldige variabelen, som tilhører intervallet [a, b], da:

Det kan tjene deg: lineære transformasjoner: egenskaper, hva er bruk, typer, eksempler

Distribusjonsfunksjon

Ved hjelp av distribusjonsfunksjonen beregnes sannsynligheten for at den tilfeldige variabelen x en x -verdi fra de mulige verdiene for intervallet [a, b]. For en kontinuerlig distribusjon beregnes det generelt på denne måten:

Når det gjelder den kontinuerlige ensartede fordelingen, er sannsynligheten F (x) tilsvarer rektangelområdet hvis base er (X-A) og høyden er (B-A):

Matematisk, hvis f (x) = pr (x = x), er følgende funksjon etablert av deler, i henhold til forrige resultat:

På denne måten er det som har blitt sagt før: sannsynligheten bare avhenger av verdien av (X-A) og ikke av dens beliggenhet i intervallet [A, B]. Grafen for distribusjonsfunksjonen er:

Figur 2. Graf over distribusjonsfunksjonen f (x). Kilde: Wikimedia Commons.

Forventet verdi, varians og standardavvik

Etter å ha gjort mange eksperimenter med den kontinuerlige tilfeldige variabelen, kalles gjennomsnittsverdien forventet verdi, Det er betegnet som e (x) og beregnes med følgende integral:

Når det gjelder variansen, er det definert av:

V (x) = e (x²) - Eks)²

Derfor:

Endelig er standardavviket:

D (x) = √ V (x)

Median, mote, symmetri og curtose 

Det kan lett bekreftes at medianen, som er den sentrale verdien av den ensartede fordelingen, er lik gjennomsnittet, og siden det ikke er noen verdi som gjentas mer enn andre, siden alle er like sannsynlige i intervallet [a, b ], mote eksisterer ikke.

Når det gjelder symmetri, er den ensartede fordelingen symmetrisk og curtosen, som er i hvilken grad verdiene rundt sentrum er konsentrert er -6/5.

Kan tjene deg: Hva er de 7 elementene i omkretsen?

Eksempler

Ulike situasjoner kan modelleres gjennom kontinuerlig distribusjon, og dermed forutsi deres oppførsel. Her er noen eksempler:

Eksempel 1

Et selskap som leverer elektrisk tjeneste gir jevnt distribuerte spenningsnivåer, mellom 123.0 V og 125.0 v. Dette betyr at det i det innenlandske skuddet er mulig å oppnå hvilken som helst spenningsverdi som tilhører det intervallet.

Deretter, som vist ovenfor, er grafen over tetthetsfunksjonen det røde rektangelet:

Figur 3. Tetthetsfunksjon for spenningen levert av et elektrisitetsselskap. Kilde: f. Zapata.

Å beregne sannsynligheten for å ha en spenning i det gitte intervallet er for eksempel veldig enkelt, hva er sannsynligheten for at selskapet vil sende en spenning mindre enn 123.5 v?

Denne sannsynligheten tilsvarer området med det skyggelagte rektangelet i blått:

P (x<123.5) = (123.5 −123.0)x 0.5 = 0.25

Og hva er sannsynligheten for at spenningen som leveres er større enn 124.0 v?

Ettersom det totale arealet er lik 1, er sannsynligheten som ble søkt:

P (x> 124.0 v) = 1 - (1 × 0.5) = 0.5

Er fornuftig, siden 124.0 er nettopp verdien i midten av intervallet.

Eksempel 2

En viss tilfeldig variabel x har en jevn fordeling i intervallet [0.100]. Fastslå:

a) Sannsynligheten for at verdien av x er mindre enn 22.

b) Sannsynligheten for at x tar verdier mellom 20 og 35.

c) Forventet verdi, variansen og standardavviket for denne distribusjonen.

Svar til

Det bestemmes på samme måte som det forrige eksemplet, men først må vi bestemme høyden på rektangelet, og husker at det totale arealet må være lik 1:

Område = 100 × høyde = 1

Derfor har rektangelet en høyde lik 1/100 = 0.01

Kan tjene deg: Decagon: vanlige, uregelmessige, egenskaper, eksempler

P (x<22) = 22×0.01 = 0.22

Svar b

Den forespurte sannsynligheten tilsvarer rektangelområdet hvis bredde er (35 - 20) og hvis høyde er 0.01:

P (22

Hvis du foretrekker å gå direkte til distribusjonsfunksjonen ovenfor, må du bare erstatte verdiene i:

P (20≤x≤35) = F (35) -F (20)

Med f (x) gitt av:

F (x) = (x-a) / (b-a)

Verdiene som skal introduseres er:

A = 0

B = 100

F (35) = (35-0) / (100-0) = 0.35

F (20) = (20-0) / (100-0) = 0.tjue

P (20≤x≤35) = 0.35-0.20 = 0.femten

Svar c

Den forventede verdien er:

E (x) = (a+b)/2 = (100+0)/2 = 50

Variansen er:

V (x) = (b-a)²/12 = (100-0)²/12 = 833.33

Og standardavviket er:

D (x) = √833.33 = 28.87

applikasjoner

Denne distribusjonen er nyttig når statistiske simuleringsprosesser blir utført eller når du jobber ved hendelser hvis frekvens av utseende er regelmessig.

Tilfeldige tall

Noen programmeringsspråk genererer tilfeldige tall mellom 0 og 1, og som det fremgår av de tidligere eksemplene, er fordelingen av sannsynligheter som følges ensartet. I dette tilfellet er intervallet å vurdere [0.1].

Vilkårlig distribusjon av distribusjon

Hvis du har et eksperiment der hendelsene har regelmessighet, som forklart ovenfor, kan du i prinsippet tildele hver samme sannsynlighet for forekomst. I dette tilfellet gir den sannsynlige modellen for ensartet distribusjon informasjon for analysen.

Feil avrunding

Den enhetlige fordelingen brukes også i avrundingen av forskjellene mellom de observerte verdiene og de virkelige verdiene til en variabel, forutsatt en jevn fordeling av feilen i et gitt intervall, i henhold til avrundingen, vanligvis på -0,5 til +0,5.

Referanser

1. Berenson, m. 1985. Statistikk for administrasjon og økonomi. Inter -American s.TIL.
2. Canavos, g. 1988. Sannsynlighet og statistikk: applikasjoner og metoder. McGraw Hill.
3. Devore, J. 2012. Sannsynlighet og statistikk for ingeniørfag og vitenskap. 8. Utgave. Cengage.
4. Levin, r. 1988. Statistikk for administratorer. 2. Utgave. Prentice Hall.
5. Triola, m. 2010. Elementær statistikk. 11. Utgave. Addison Wesley.
6. Walpole, r. 2007. Sannsynlighet og statistikk for ingeniørfag og vitenskap. Pearson.