Vanlige faktoriseringseksempler og øvelser

De Vanlig faktorisering av et algebraisk uttrykk består i å bestemme to eller flere faktorer hvis produkt er lik det foreslåtte uttrykket. På denne måten, på jakt etter den vanlige faktoren, begynner faktoriseringsprosessen alltid.

For dette blir det observert hvis det er tilstedeværelse av et felles begrep, som kan være både bokstaver og tall. Når det.

Figur 1. I felles faktorisering søkes litteraler og koeffisienter som er felles for hvert begrep. Kilde: Pixabay/f. Zapata.

Produktet av begge vanlige faktorer, forutsatt at det er forskjellig fra 1, vil være den vanlige faktoren for uttrykket. Når den ble funnet, ved inndeling av hvert begrep mellom nevnte faktor, er den endelige faktoriseringen etablert.

Her er et eksempel på hvordan du gjør det, ved å ta hensyn til denne trinomialen:

4x⁵-12x³+8x²

Man ser at alle begrepene inneholder den bokstavelige "x", hvis minst kraft er x². Når det gjelder de numeriske koeffisientene: 4, -12 og 8 er alle multipler på 4. Derfor er den vanlige faktoren 4x².

Når faktoren er funnet, er hver betegnelse av det opprinnelige uttrykket delt mellom det:

• 4x⁵ / 4x² = x³
• -12x³ / 4x² = -3x
• 8x²/ 4x² = 2

Til slutt blir uttrykket skrevet om som et produkt av den vanlige faktoren og summen av resultatene fra de tidligere operasjonene, slik:

4x⁵-12x³+8x² = 4x² (x³ - 3x +2)

[TOC]

Hvordan faktor når det ikke er noen felles faktor

Hvis den vanlige faktoren ikke er tydelig som i forrige eksempel, er det fortsatt mulig å faktorere, observere uttrykket nøye, for å se om det er mulig å implementere noen av følgende metoder:

Det kan tjene deg: polybal grafikk

Forskjell på to perfekte firkanter

Det er et binomialt uttrykk for form:

til² - b²

Det kan være faktor gjennom anvendelsen av det bemerkelsesverdige produktet:

til² - b² = (a+b) ⋅ (a-b)

Prosedyren er den neste:

-Trekk først kvadratroten til hver av de perfekte rutene.

-Dann deretter produktet mellom summen av disse røttene og dets forskjell, som angitt.

Perfekt firkantet trinomial

Trinomialene i formen:

x² ± 2a⋅x + a²

De fakturerer gjennom det bemerkelsesverdige produktet:

(x+a)² = x² ± 2a⋅x + a²

For å bruke denne faktoriseringen, må det bekreftes at det trinomiale i kraft har to perfekte firkanter, og at det gjenværende begrepet er det doble produktet av kvadratrøttene til disse verdiene.

Trinomial av x -skjemaet² + mx + n

Hvis trinomial til faktor ikke har to perfekte firkanter, blir det prøvd å skrive det som et produkt av to begrep:

x² + mx + n = x² + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b)

Hvor skal det oppfylles når:

N = A⋅B

M = a+b

Faktorisering ved å gruppere vilkår

Noen ganger har ikke uttrykket å være faktor en felles faktor, og tilsvarer heller ikke noen av tilfellene beskrevet ovenfor. Men hvis antall vilkår er jevn, kan denne prosedyren prøves:

-Gruppepar som har en felles faktor.

-Fakting av hvert par etter vanlig faktor, slik at begrepene i parentes er like, det vil si slik at parentesis igjen er en vanlig faktor. Hvis det med den valgte gruppen ikke er det, må du prøve med en annen kombinasjon for å finne den.

-Den etterspurte faktoriseringen er produktet av begrepene i parentesen for de vanlige faktorene til hvert par.

Eksemplene som vil bidra til å avklare sakene som er diskutert.

Eksempler

Faktor følgende algebraiske uttrykk:

a) 6ab² - 18²b³

Dette er et eksempel på en vanlig faktor. Fra bokstavelig del er bokstaver A og B til stede i de to begrepene. For variabelen "A" er den mindre eksponenten 1 og er i termin 6AB², Mens for bokstaven "B" er den mindre eksponenten B².

Kan tjene deg: inverse trigonometriske funksjoner: verdi, derivater, eksempler, øvelser

Deretter, ab² Det er en vanlig faktor i det opprinnelige uttrykket.

Når det gjelder tallene, er det 6 og -18, sistnevnte er et multiplum av 6, siden -18 = -(6 × 3). Derfor er de 6 en numerisk koeffisient for den vanlige faktoren, som multiplisert med den bokstavelige delen er:

6ab²

Nå er hvert originalt begrep delt med denne vanlige faktoren:

• 6ab² ÷ 6ab² = 1
• (-18²b³) ÷ 6ab² = -3ab

Til slutt blir det opprinnelige uttrykket skrevet om som et produkt mellom den vanlige faktoren og den algebraiske summen av begrepene som er funnet i foregående trinn:

6ab² - 18²b³ = 6ab² ⋅ (1-3ab)

b) 16x² - 9

Dette uttrykket er en forskjell fra perfekte firkanter, så ved å trekke ut firkantede røtter til begge vilkårene oppnås henholdsvis:

√ (16x²) = 4x

√9 = 3

Det opprinnelige uttrykket er skrevet som produktet av summen av disse kvadratiske røttene etter dens forskjell:

16x² - 9 = (4x+3) (4x-3)

c) z² + 6z + 8

Det er en trinomial av x -skjemaet² + MX + N, siden 8 ikke er et perfekt firkant av et annet hele tall, så du må finne to tall A og B slik at de samsvarer samtidig:

• til.B = 8
• A + B = 6

Av Tanteo, det vil si testing, antallene som er søkt er 4 og 2, siden:

4 × 2 = 8 og 4 + 2 = 6

Så:

z² + 6z+8 = (z+4) ⋅ (z+2)

Leseren kan sjekke og bruke distribusjonseiendom på høyre side av likhet, at begge uttrykkene er likeverdige.

d) 2x² - 3xy - 4x + 6y

Dette uttrykket er en kandidat for faktorisering ved å gruppere termer, siden det ikke er noen vanlig faktor åpenbar for det blotte øye og også har et par begreper.

Det er gruppert som følger, vel vitende om at rekkefølgen på tilleggene ikke endrer summen:

Kan tjene deg: obtusangle trekant

2x² - 3xy + 4x - 6y = (2x² -3xy) + (4x-6y)

Hver parentes har sin egen felles faktor:

(2x²  - 3xy) + (4x-6y) = x (2x-3y) + 2 (2x-3y)

Den definitive vanlige faktoren ble allerede avslørt: det er parentesen som gjentas i begge termer (2x -3y).

Nå kan det være faktor igjen:

• x (2x-3y) ÷ (2x-3y) = x
• 2 (2x-3y) ÷ (2x-3y) = 2

Derfor:

2x² - 3xy + 4x - 6y = (2x -3y) (x + 2)

Igjen kan leseren bruke distribusjonseiendommen til likestillingsretten, for å bekrefte likestilling.

Løste øvelser

Faktorisere:

a) og² - 10y + 25

b) 4x² + 12xy + 9y²

c) x² + 5x - 14

d) 3⁴ + til³ + 15A + 5

Løsning på

Det er en perfekt firkantet trinomial, den begynner med å finne kvadratroten til de perfekte firkantede begrepene:

√ (og²) = y

√ 25 = 5

Det er bekreftet at senterets periode er det doble produktet av disse to:

10y = 2. 5. og

Og den etterspurte faktoriseringen er:

og² - 10y + 25 = (y-5)²

Løsning b

Uttrykket er også en perfekt firkantet trinomial:

√ (4x²) = 2x

√ (9y²) = 3y

Den sentrale uttrykket er bekreftet:

12xy = 2⋅2x⋅3y

Endelig:

4x² + 12xy + 9y² = (2x+3y)²

Løsning c

Problemet er en trinomial av type x² + Mx + n:

n = a⋅b = -14 = 7 x ( - 2)

m = a + b = 5 = 7 + (- 2) = 5

De passende tallene er 7 og -2:

x² + 5x - 14 = (x +7) (x - 2)

Løsning d

3⁴ + til³ + 15a + 5 = (3a⁴ + til³) + (15a + 5)

Den vanlige faktoren (3⁴ + til³) det³ og den av (15a + 5) er 5, og blir gruppert som følger:

(3⁴ + til³) + (15a + 5) = a³ (3a+1) +5 (3a+1) = (3a+1) (a³ + 5)

Figur 2. Faktoriseringsøvelser for å øve. Kilde: f. Zapata.

Referanser

1. Baldor, a. 2005. Algebra. Kulturell hjemlandsgruppe.
2. Larson, r. 2012. Forkalkning. 8. Utgave. Cengage Learning.
3. Mathworld. Faktorisering. Gjenopprettet fra: Mathworld.Wolfram.com.
4. Mathworld. Polynomisk faktorisering. Gjenopprettet fra: Mathworld.Wolfram.com.
5. Stewart, J. 2007. Preccculment: Matematikk for beregning. 5. plass. Utgave. Cengage Learning.
6. Zill, d. 1984. Algebra og trigonometri. McGraw Hill.