I påvente av en linjeformel og ligninger, representasjon, eksempler

De i påvente av linjen Det er tangenten i vinkelen θ at denne linjen dannes med den horisontale aksen, som med konvensjon måles i motsatt retning av klokkehendene. Hellingen på en hvilken som helst linje er alltid konstant, og det er derfor det er en av de mest essensielle egenskapene.

For å beregne det, må du vite to punkter på linjen, hvis koordinater er (x x₁,og₁) og (x₂,og₂). Mellom begge punktene trekkes det et segment som hører til linjen og deretter trekkes segmentene som representerer avstanden mellom x₁ og x₂, og mellom og₁ og og₂, Som i det nedre figuren.

Figur 1. Hellingen på en linje er vinkelen til tangenten θ. Kilde: Wikimedia Commons.

De tre segmentene utgjør en riktig trekant hvis ben er: Δx = x₂ - x₁  og Δy = og₂ - og₁. De samsvarer med henholdsvis en horisontal forskyvning og en annen vertikal.

Nå er en kvotient definert, kalt tangent av vinkelen θ og forkortet Tg θ, som er nettopp skråningen m av linjen:

m = tg θ = Δy / Δx

Legg merke til at for en linje forblir denne vinkelen konstant, uavhengig av punktene som er tatt for å beregne tangenten. I alle fall gir denne verdien oss et mål på hvor skrå den er linjen.

Gjennom koordinatene til de valgte punktene gjenstår hellingformelen:

M = (y - y₁ ) / (X₂ - x₁)

[TOC]

Grafisk representasjon

Nedenfor har vi flere situasjoner der begrepet skråning er relevant. Verdien kan enkelt beregnes ved å måle den respektive vertikale og horisontale forskyvningen, og deretter gjøre kvotienten som er angitt i begynnelsen.

Dette gir oss en ide om skråningen eller nedgangen i en eller annen struktur, for eksempel en rampe, et tak eller en vei:

Kan tjene deg: tilfeldig prøvetaking: metodikk, fordeler, ulemper, eksempler Figur 2. Fra venstre mot høyre skråning av en rampe, et tak og skråningen på en vei, uttrykte sistnevnte i prosent. Kilde: Stewart, J. Precáculculo og Wikimedia commons (høyre bilde).

Hellingen på rampen vist i figur 2 til venstre er M = 1/12, taket er M = 1/3 og veien er uttrykt i prosent. En 10 % prosentandel betyr at de for hver 100 meter som avanserer horisontalt, tjener 10 meter høyt:

Figur 3. Et kjøretøy stiger gjennom en skråning hvis skråning er 10%. Kilde: f. Zapata.

I dette tilfellet er skråningen 10/100 = 0.1, som uttrykt som en prosentandel tilsvarer 10%.

Typer skråning

Hellingen på en linje kan være positiv, negativ eller null. For eksempel har linjen vist i figur 1 en positiv skråning. Vi setter pris på det umiddelbart fordi vi ser at linjen er "løftet" hvis vi ser den fra venstre mot høyre.

Hvis linjen synker ned fra venstre mot høyre, er skråningen negativ. Og når en linje er horisontal, er skråningen null.

Til slutt, for vertikale linjer, er ikke skråningen definert.

Den grafiske representasjonen av hver type finnes nedenfor:

Figur 4. Linjene i henhold til skråningen din. Kilde: f. Zapata.

Hvordan beregnes skråningen en linje?

Å beregne skråningen er veldig enkel, du må bare finne vertikal forskyvning og horisontal forskyvning, og deretter gjøre kvotienten mellom de to.

Når du har tegningen av linjen i det kartesiske planet, velger disse forskyvningene to punkter på linjen P₁ Og s₂, bestemme koordinatene og anvende definisjonen gitt i begynnelsen:

Kan tjene deg: Det som representerer lengden på sekskantforskyvning

M = (y - y₁ ) / (X₂ - x₁ )

Siden verdien av skråningen er uavhengig av valget av P₁ Og s₂ , Vi skal velge et punkt P av koordinater (x, y) som tilhører linjen, hvis koordinater ikke er kjent, og et annet punkt p₁ hvis koordinater er: (x₁,og₁).

Skråningen er:

M = (y - y₁) / (x - x₁)

Vi kan fjerne og:

og - og₁ = m (x - x₁)

Anta nå at punktet P₁ Det er skjæringspunktet mellom linjen med den vertikale aksen, av koordinater (0, b). Erstatte dette i forrige ligning:

og - b = m (x - 0) → y = mx + b

Dette uttrykket er kjent som ligningen på linjen i formen Venter - kryss, Siden linjen er utvetydig bestemt når skråningen og krysset med den vertikale aksen er kjent er kjent.

Å kjenne bare skråningen er ikke nok til å karakterisere en linje på flyet, siden uendelig rett kan ha samme skråning, noe som betyr at de er parallelle, men går gjennom andre punkter.

Løste øvelser

- Oppgave 1

Finn skråningen på linjen vist i følgende figur:

Figur 5. Gjennom grafen til en linje er det valgt to punkter for å beregne skråningen. Kilde: f. Zapata.

Løsning

P₁ Og s₂ De er to enkle å lese poeng som vil tjene til beregningen, bemerker også at de er de respektive kryssene med koordinataksene.

Koordinatene for hvert punkt er:

P₁ (4.0) og P₂ (0.4)

Ved å erstatte skråningsligningen:

m = (4 - 0) / (0 - 4) = 4 / ( - 4) = -1

Hellingen er negativ, som var forventet etter å ha observert grafikken.

Kan tjene deg: komplekse tall: egenskaper, eksempler, operasjoner

- Oppgave 2

Finn ligningen på linjen som passerer gjennom punktet (1, -6) og er parallell med linjen y = 2x - 3.

Løsning

Hellingen på den etterspurte linjen må være den samme som Y = 2x - 3, ettersom de er parallelle. For denne linjen er skråningen M = 2, derfor har den vi leter etter formen:

og - og₁ = 2 (x - x₁)

Nå erstatter vi punktet som linjen vår passerer: x₁ = 1 og₁ = -6.

og - (-6) = 2 (x - 1)

Derfor y = 2x - 2 - 6 → y = 2x - 8

Eksempler

To mengder kan relateres på en slik måte at grafen din er en rett linje. I så fall sies det at mengdene har lineær avhengighet og skråningen på linjen kan tolkes som årsaken til endringen av den ene variabelen til den andre.

Eksempel 1

Anta at et basseng er fylt med vann til en vurdere konstant i tid. Naturligvis, jo mer tid går, jo mer vann er det lagret. Vel, hastigheten som bassenget er fylt, er nettopp skråningen på linjen som relaterer volumet til tid:

Figur 6. Skråningen som en grunn til endring. Kilde: Stewart, J./Pxfuel.

I dette eksemplet er bassenget fylt med en hastighet på 6/3 gallon per minutt eller 2 liter/minutt.

Eksempel 2

Når en mobil beveger seg i en rett linje med konstant hastighet, er skråningen på posisjonsgrafen avhengig av tid er ingen ringere enn nevnte hastighet. Grafen viser en mobil med positiv hastighet, noe som betyr at den beveger seg bort fra opprinnelsen.

Figur 7. Hellingen på Versus Time Graph er hastigheten på mobilen i en ensartet rettlinjet bevegelse. Kilde: Wikimedia Commons/Pixabay.

Referanser

1. Alvarez, J. Skråningen til en vei. Gjenopprettet fra: Geogebra.er.
2. Carena, m. 2019. Preuniversity Mathematics Manual. National University of the Coast.
3. Hoffman, J. Valg av matematikkproblemer. Volum 4.
4. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matematikk for beregning. 5. plass. Utgave. Cengage Learning.
6. Zill, d. 1984. Algebra og trigonometri. McGraw Hill.