Klassisk sannsynlighetsberegning, eksempler, løste øvelser

De Klassisk sannsynlighet Det er et spesielt tilfelle av beregningen av sannsynligheten for en hendelse. Det er definert som kvotienten mellom hendelsene som er gunstige for denne hendelsen og de totale mulige hendelsene, med betingelse av at hver av disse hendelsene alle er like sannsynlige. Klassisk sannsynlighet er også kjent som en priori sannsynlighet eller teoretisk sannsynlighet.

Ønsket om å forutse ting er til enhver tid en del av menneskets natur: Vi spør oss alle om det vil regne dagen etter eller om et visst fotballag vil spille eller ikke i første divisjon neste sesong. Det er arkeologiske bevis på at folk spilte gambling rundt 40.000 år.

Definisjon av begrepet klassisk sannsynlighet

Den første boken om sannsynligheten skyldes imidlertid den nederlandske astronomen Christian Huygens som kalte det Resonnement relatert til terningspillet. Som vi ser, har den klassiske sannsynligheten sin opprinnelse i sjansespillene.

Terningene har en lang historie, det er et kubisk stykke hvis ansikter er nummerert med punkter fra en til seks. Ved å lansere bare en ærlig terning: hva er sannsynligheten for å komme ut, for eksempel, en fem?

Det er veldig enkelt: det er bare ett ansikt mellom 6 merket med fem poeng, derfor er sannsynligheten P:

P = 1/6

[TOC]

Beregning i klassisk sannsynlighet

Denne måten å beregne sannsynligheten for en hendelse er en anvendelse av Laplace-regelen, opprinnelig angitt i 1812 av den franske matematikeren Pierre de Laplace (1749-1827).

Laplace Rule brukes i klassisk sannsynlighet for å beregne sannsynligheten for en hendelse. Kilde: f. Zapata.

Være en hendelse som vi ønsker å vite sannsynligheten for forekomst P (A), da:

P (a) = antall tilfeller gunstig for hendelsen et antall mulige tilfeller

Resultatet av denne operasjonen er alltid et positivt tall mellom 0 og 1. Hvis en hendelse har sannsynlighet for å oppstå, betyr det at den ikke vil skje.

På den annen side, hvis sannsynligheten for forekomst er lik 1, betyr det at det vil skje i noen form, og i alle fall er sannsynligheten for at en hendelse skjer, lagt til sannsynligheten for at den ikke skjer, lik 1 :

Her har vi betegnet sannsynligheten for at hendelse A ikke skjer gjennom en bar på bokstavene.

Kan tjene deg: 10 typer algoritmer og deres egenskaper

I en lovlig terning har det klart at noen av de 6 ansiktene har samme sannsynlighet for å forlate, derfor må sannsynligheten for å få et ansikt med 5 være 1/6.

En viktig detalj er som følger: For å anvende Laplace -regelen, må antall mulige saker være begrenset, det vil si at vi må kunne fortelle dem og få et naturlig tall.

I eksempelet på terningen er det 6 mulige tilfeller og en enkelt gunstig hendelse. Settet med mulige saker kalles prøveområde.

Når du bruker Laplace -regelen, er det praktisk å nøye analysere prøveområdet, inkludert alle mulige hendelser, det vil si at det må være komplett og ryddig, slik at ingen hendelser slipper til å bli redegjort for.

Prøveområdet og hendelsene

Prøveområdet er vanligvis betegnet med bokstaven S eller den greske bokstaven ω (kapital Omega) og var et konsept introdusert av Galileo.

En terningspiller spurte den kloke fordi det er vanskeligere å få en 9 som lanserer tre terninger enn en 10, deretter beregnet Galileo mulige måter å skaffe en 9. Til slutt beregnet han de respektive sannsynlighetene, og fant at i virkeligheten P (9) < P (10).

Prøve plass med få elementer

Hvis prøveområdet består av få elementer, er disse oppført som et sett. Anta for eksempel at du vil finne sannsynligheten for at i en familie med to barn, begge er av samme kjønn.

Vi kan bruke klassisk sannsynlighet riktig å bestemme prøveområdet. Hvis m = kvinne og h = mann, er prøveområdet til barna:

S = (m, m), (h, h), (m, h), (h, m)

Hvert element i prøveområdet er en hendelse, for eksempel betyr hendelsen (m, m) at de to barna i denne familien er kvinner.

Å ha prøveområdet, beregning av den forespurte sannsynligheten er veldig enkel, siden det bare er to gunstige tilfeller mellom 4, slik at begge barna er av samme kjønn: (M, M) og (H, H), derfor:

P (begge barn av samme kjønn) = 2/4 = 0.5

Prøve plass med mange elementer

Når prøveområdet består av mange elementer, er det bedre å gi en generell regel for å finne den. For eksempel, hvis T er et teamets levetid, er prøveområdet:

S = t∕t ≥ 0

At det lyder slik: "Alle verdier av T slik at T er større enn eller lik 0". En hendelse av dette rommet kan være at enheten har en levetid på t = 2 år.

Kan tjene deg: karakter av et polynom: hvordan det bestemmes, eksempler og øvelser

Eksempler på klassisk sannsynlighet

Den klassiske sannsynligheten brukes forutsatt at de to lokalene som er angitt ovenfor er oppfylt, det vil si:

-Alle hendelser er like sannsynlige.

-Prøveområdet er begrenset.

Derfor er det situasjoner der klassisk sannsynlighet ikke kan brukes, for eksempel når du vil forutse om ny behandling vil kurere en viss sykdom, eller sannsynligheten for at en maskin produserer mangelfulle gjenstander.

På den annen side kan det brukes vellykket i følgende tilfeller:

Lansering

Klassisk sannsynlighet oppstår fra folks interesse for pengespill. Kilde: Pixabay.

Som vi har sett, er sannsynligheten for at et visst ansikt kommer ut lik 1/6.

Ta et brev fra et kortstokk

Vi har et 52 -kortdekke av et fransk dekk, bestående av fire pinner: hjerter, kløver, diamanter og picas. Så sannsynligheten for å trekke ut et hjerte, vel vitende om at det er 13 kort fra hver pinne er:

P (hjerte) = 13/52

Lansering

Det er et typisk eksempel på klassisk sannsynlighet, siden når du lanserer en valuta, er det alltid en sannsynlighet som tilsvarer ½ å skaffe ansikt eller stempel.

Pakk ut fargekuler fra en pose 

Inne i en pose kan det være fargede klinkekuler, for eksempel er det røde klinkekuler, en blå klinkekuler og V -grønne klinkekuler. Sannsynligheten for å trekke ut en rød er:

P (r) = r / n

Løste øvelser

- Oppgave 1

Når en ærlig terning er lansert. Beregn følgende sannsynligheter:

a) Tegn et oddetall.

b) La en 2 eller 5 komme ut.

c) nå en verdi mindre enn 4.

d) Få en verdi mindre enn eller lik 4.

e) nå en annen verdi på 3

Løsning på

Prøveområdet er s = 1, 2, 3, 4, 5, 6, de rare verdiene er 1, 3 og 5, derfor av 6 mulige tilfeller er det tre gunstige tilfeller:

P (Odd) = 3/6 = 1/2 = 0.5

Løsning b

Vi ønsker å trekke ut en 2 eller 5, det vil si at noen av disse tilfellene er gunstige, derfor:

P (2 eller 5) = 2/6 = 1/3 = 0.33

Løsning c

I dette tilfellet er det 3 gunstige hendelser: Få 1, 2 eller 3:

P (mindre enn 4) = 3/6 = ½ = 0.5

Løsning d

Her er en ekstra gunstig hendelse, fordi de ber oss om de lavere eller likeverdige verdier som 4, da:

Kan tjene deg: Acutangle Triangle

P (verdi mindre enn eller lik 4) = 4/6 = 2/3 = 0.67

Løsning e

En annen lansering av 3 betyr at noen av de andre verdiene kom ut:

- Oppgave 2

I en boks er det en blå, en grønn ball, en rød, en gul og en svart. Hva er sannsynligheten for at den, når du tar en ball lukket med øynene, er gul?

Løsning

"E" -begivenheten er å ta en ball ut av boksen med lukkede øyne (hvis det er gjort med åpne øyne er sannsynligheten 1) og at dette er gult.

Det er bare en gunstig sak, siden det bare er en gul ball. De mulige tilfellene er 5, siden det er 5 baller i boksen.

Derfor er sannsynligheten for "E" -hendelsen lik P (E) = 1/5.

Som det kan sees, hvis hendelsen skal ta ut en blå, grønn, rød eller svart ball, vil sannsynligheten også være lik 1/5. Derfor er dette et eksempel på klassisk sannsynlighet.

Observasjon

Hvis det hadde vært 2 gule baller i boksen, ville P (E) = 2/6 = 1/3, mens sannsynligheten for å ta ut en blå, grønn, rød eller svart ball ville vært lik 1/6.

Siden ikke alle hendelser har samme sannsynlighet, så dette er ikke et eksempel på klassisk sannsynlighet.

- Øvelse 3

Hva er sannsynligheten for at ved å lansere en terning, er resultatet som er oppnådd lik 5?

Løsning

Én terning har 6 ansikter, hver med et annet tall (1,2,3,4,5,6). Derfor er det 6 mulige tilfeller, og bare en sak er gunstig.

Så sannsynligheten for at når terningene er oppnådd når du lanserer 5 er lik 1/6.

Igjen er sannsynligheten for å oppnå noe annet terningresultat også lik 1/6.

- Oppgave 4

I et klasserom er det 8 gutter og 8 jenter. Hvis læreren tilfeldig velger en elev i stuen sin, hva er sannsynligheten for at den valgte studenten er en jente?

Løsning

"E" -hendelsen er å velge en tilfeldig student. Totalt er det 16 studenter, men som du vil velge en jente, så er det 8 gunstige tilfeller. Derfor p (e) = 8/16 = 1/2.

Også i dette eksemplet er sannsynligheten for å velge barn 8/16 = 1/2.

Det vil si at det er så sannsynlig at den valgte studenten er en jente som en gutt.

Referanser

1. August, a. Sannsynlighet. University of Puerto Rico. Gjenopprettet fra: Dokumenter.UPRB.Edu.
2. Galindo, e. 2011. Statistikk: Metoder og applikasjoner. Redaktører Procriation.
3. Jiménez, r. 2010. Matematikk II. 2. Utgave. Prentice Hall.
4. Triola, m. 2012. Elementær statistikk. 11. Utgave. Addison Wesley.
5. Sangaku Maths. Laplace Rule. Gjenopprettet fra: sangakoo.com.