Tilfeldige valg med eller uten erstatning

De Tilfeldig utvalg Den består av å velge, tilfeldig, et element eller prøve, basert på et sett med data eller objekter. Med erstatning betyr det å returnere elementet til det originale settet, og uten erstatning betyr det at det ikke kommer tilbake.

I det første tilfellet, når det valgte elementet går tilbake til opprinnelsessettet, er det ikke endret, noe som lar muligheten for at det nevnte elementet er valgt mer enn en gang. På denne måten kan uendelige ekstraksjoner utføres på samme befolkning, selv om den består av N -elementer, å være begrenset.

Men hvis utvalget blir gjort uten erstatning, endres det originale settet med elementer hver gang noe element blir trukket ut fra det for å danne prøven. Og elementene som er trukket ut har ingen muligheter for å bli valgt igjen.

Når befolkningen synker, er antallet ekstraksjoner som kan gjøres på det begrenset.

Hvis populasjonsstørrelsen N er liten, er det en betydelig forskjell mellom å velge tilfeldige elementer med eller uten erstatning. På den annen side, når N er veldig stor, er forskjellen mye lavere, som det vil bli sett senere.

Utvalg med erstatning

Sannsynligheten for at en viss X -hendelse inntreffer er forholdet mellom antall gunstige tilfeller og de totale tilfellene:

P (x) = gunstige/totale tilfeller.

Hvis befolkningen består av n forskjellige elementer: x₁, x₂, x₃... sannsynligheten for å velge element x₁ er P (x₁) = 1/n.

Ettersom det er erstatning, forblir populasjonsstørrelse n, da, sannsynligheten for å velge neste element x₂ er P (x₂) = 1/n.

Og på samme måte har hvert av de gjenværende elementene samme sannsynlighet for å bli valgt:

Kan tjene deg: karakter av et polynom: hvordan det bestemmes, eksempler og øvelser

P (x_n) = 1/n

Derfor, å være de uavhengige hendelsene med hverandre, er den felles sannsynligheten for forekomst et produkt av sannsynlighetene for hver av dem:

P (x₁, x₂, x₃... x_n) = (1/n) × (1/n) ×… × (1/n)

Utvalg uten erstatning

Når du velger et bestemt element uten erstatning av en populasjon av størrelse N, er sannsynligheten for at et slikt element er valgt:

P (x₁) = 1/n

Når dette er gjort, gjenstår N - 1 elementer i befolkningen, derfor er sannsynligheten for å velge den neste:

P (x₂) = 1/(n - 1)

Valgt dette elementet, består nå av N - 2 elementer, i dette tilfellet er sannsynligheten for å velge følgende:

P (x₃) = 1/(n - 2)

Og så videre. Sannsynligheten for det eneste elementet er:

P (x_n) = 1/[n− (n-1)]

Endelig felles sannsynligheten for å velge elementer x₁, x₂, x₃... Som en del av prøven er det produktet av hver av sannsynlighetene:

P (x₁, x₂, x₃...) = 1/n × 1/(n-1) × 1/(n-2) ×… × 1/[n− (n-1)] = 1/[n × (n-1) × (n −2) ×… × [n− (n-1)]

Eksempler

I statistikk er handlingen med å velge prøven et eksperiment, settet med mulige resultater er prøveområdet og resultatene av eksperimentet utgjør en hendelse.

Eksempel 1

En boks med klinkekuler i forskjellige farger er tilgjengelig: 12 rød, 7 blå og 5 grønt. Eksperimentet består i å trekke ut en enkelt tilfeldig marmor.

Som totalt er det 24 marmor i boksen, hvorav 12 er røde, er sannsynligheten for å ta ut en rød marmor, betegnet P (r):

P (r) = 12/24 = 1/2 = 0.5

Etter dette vil du vite sannsynligheten for å trekke ut en grønn marmor, det vil si P (V).

Kan tjene deg: Summen av rutene på to påfølgende tall

Denne sannsynligheten avhenger av om den røde marmoren som ble trukket ut i utgangspunktet tilbake til boksen eller ikke. Hvis den røde marmoren settes igjen i boksen med de andre, er utvalget med erstatning eller erstatning, og ellers er det et utvalg uten erstatning.

I et utvalg med erstatning endres ikke prøveområdet, det er fremdeles 24 marmor i boksen og sannsynligheten for å trekke ut en grønn marmor er:

P (v) = 5/24 = 0.tjueen

Og hvis den innledende røde marmoren ikke blir returnert til boksen, i dette er det 23 kuler, og sannsynligheten for å trekke ut en grønn bør være noe større:

P (v) = 5/23 = 0.22

Eksempel 2

I et annet eksperiment med marmorboksen vil du beregne sannsynligheten for at når to klinkekuler blir trukket ut, er den første rød og den neste er blå. Du kan fortsette på to måter:

a) med erstatning

Begge hendelsene er uavhengige, det vil si at fargen på marmoren som er trukket først, påvirker ikke sannsynligheten for å få en annen marmor av en viss farge.

P (ra) = (12/24) × (7/24) = 84/576 = 0.146

b) Ingen erstatning

Når du forlater den første marmoren ute, er sannsynligheten for å trekke ut en blå andre gang å trekke ut en blå andre gang litt større:

P (ra) = (12/24) × (7/23) = 84/552 = 0.152

Eksempel 3

En by har 30.000 innbyggere, hvorav 15.423 er kvinner. Du vil beregne sannsynligheten for at begge er kvinner ved å velge to innbyggere.

a) med erstatning

La P (m) være sannsynligheten for at den valgte innbyggeren er en kvinne, da:

P (m) = 15.423/30.000 = 0.51410

Kan tjene deg: Hvorfor er algebra viktig i visse hverdagslivssituasjoner?

Så sannsynligheten for at den andre valgte personen også er en kvinne er:

P (mm) = p (m) × p (m) = 0.5140² = 0.2643

b) Ingen erstatning

Hvis den første personen som er valgt ikke er "returnert", er sannsynligheten for å velge en kvinne i det andre forsøket:

P (m) = 15.422/29.999 = 0.51408

Det er ingen signifikant forskjell med forrige sak. Og produkt 0.51410 × 0.51408 er nesten lik 0.2643, kan leseren sjekke det med kalkulatoren.

Trening løst

En boks har 5 grønne troende, 2 blå troende og 3 røde troende, alle nye og identiske. Bestem sannsynligheten for at ingen av dem er røde ved å trekke ut to troende fra boksen:

a) med erstatning. Er disse hendelsene uavhengige?

b) uten erstatning, noe som indikerer om hendelsene er uavhengige eller ikke.

Løsning på

Det er 10 tro totalt, hvorav 3 er røde og 7 ikke er. Sannsynligheten P (r^*) At den første tror ikke er rød er:

P₁(R^*) = 7/10 = 0.7

Troen blir returnert til boksen og den andre ekstraksjonen blir gjort, med samme resultat:

P₂(R^*) = 7/10 = 0.7

Hendelsene er derfor uavhengige, sannsynligheten for at i dette eksperimentet er ingen tro rødt:

P₁(R^*) × s₂(R^*) = 0.7 × 0.7 = 0.49

Løsning b

Sannsynligheten for å oppnå en tro som ikke er rød i første forsøk er den samme som i avsnitt A). Men i den andre ekstraksjonen er det allerede 9 troende i boksen, derfor:

P₂(R^*) = 6/9 = 0.666 ..

Og i dette tilfellet er sannsynligheten for å trekke ut en tro som ikke er rød:

P₁(R^*) × s₂(R^*) = 0.7 × 0.666… = 7/15 = 0.47

Hendelsene er ikke uavhengige.