Vektoregenskaper og egenskaper, elementer, typer, eksempler

De vektorer De er matematiske enheter som har en styrke -positiv -, vanligvis ledsaget av en måleenhet, i tillegg til retning og mening. Slike egenskaper er veldig passende for å beskrive fysiske mengder som hastighet, styrke, akselerasjon og mange flere.

Med vektorer er det mulig å utføre operasjoner som sum, subtraksjon og produkter. Divisjonen er ikke definert for vektorer, og når det gjelder produktet, er det tre klasser som vi vil beskrive senere: skalar- eller punktprodukt, vektor eller kryssprodukt og produkt av en skalar for en vektor.

Figur 1. Elementene i en vektor. Kilde: Wikimedia Commons.

For å beskrive en vektor fullstendig, er det nødvendig å indikere alle dens egenskaper. Størrelsen eller modulen er en numerisk verdi ledsaget av en enhet, mens retning og mening er etablert ved hjelp av et koordinatsystem.

La oss se på et eksempel: Anta at et fly flyr fra en by til en annen med en hastighet på 850 km/t i retning. Her har vi en fullstendig spesifisert vektor, fordi størrelsen er tilgjengelig: 850 km/t, mens retning og mening er NE.

Vektorer er vanligvis representert grafisk av orienterte linjesegmenter, hvis lengde er proporsjonal med størrelsen.

For å spesifisere retningen og betydningen, er det nødvendig med en referanselinje som vanligvis er den horisontale aksen, selv om Nord også kan tas som en referanse, er dette tilfellet med flyets hastighet:

Figur 2. En hastighetsvektor. Kilde: f. Zapata.

Figuren viser hastighetsvektoren til planet, som er betegnet som v i dristig, For å skille den fra en skalær mengde, som bare krever en numerisk verdi og en eller annen enhet skal spesifiseres.

[TOC]

Elementer av en vektor

Som vi har sagt, er vektorelementene:

-Størrelse eller modul, noen ganger også kalt absolutt verdi eller vektorstandard.

-Adresse

-Føle

I eksemplet i figur 2, modulen til v Det er 850 km/t. Modulen er betegnet som V uten fet skrift, eller som |v|, Der stolpene representerer den absolutte verdien.

Adressen til v er spesifisert med hensyn til Nord. I dette tilfellet er det 45º nord for øst (45 º NE). Endelig informerer spissen av pilen om retningen til v.

I dette eksemplet har vektor opprinnelse blitt trukket av sammenfall med opprinnelses- eller koordinatsystemet, dette er kjent som Koblet vektor. På den annen side, hvis vektorenes opprinnelse ikke samsvarer med referansesystemet, sies det at det er en gratis vektor.

Det skal bemerkes at for å spesifisere vektoren fullstendig, må disse tre elementene indikeres, ellers vil beskrivelsen av vektoren være ufullstendig.

Rektangulære komponenter i en vektor

Figur 3. Rektangulære komponenter i en vektor i planet. Kilde: Wikimedia Commons. Unther [CC By-SA 3.0 (https: // creativecommons.Org/lisenser/by-SA/3.0)]

I bildet har vi tilbake vår eksempelvektor v, det er i flyet Xy.

Det er lett å legge merke til at V -projeksjoner på X- og Y -koordinataksene bestemmer en høyre trekant. Disse anslagene er v_og og v_x og kalles rektangulære komponenter av v.

En måte å betegne på v Gjennom sine rektangulære komponenter er det slik: v = x, v_og>. Disse firkantede parentesene brukes i stedet for parenteser for å understreke det faktum at det er en vektor og ikke et punkt, siden parenteser i dette tilfellet vil bli brukt.

Kan tjene deg: James Chadwick: Biografi, atommodell, eksperimenter

Hvis vektoren er i det tre -dimensjonale rommet, er det nødvendig med en komponent, slik at:

v = x, v_og, v_z>

Når du kjenner de rektangulære komponentene, beregnes størrelsen på vektoren, tilsvarer å finne hypotenusen til høyre trekant hvis ben er v_x og v_og,. Gjennom Pythagoras -teoremet følger det at:

|v|² = (v_x)² +  (v_og)²

Polar form av en vektor

Når vektorstørrelsen er kjent |v| Og vinkelen θ at denne formen med referanseaksen, vanligvis den horisontale aksen, er vektoren like spesifisert. Det sies da at vektoren er uttrykt i polarform.

Rektangulære komponenter i dette tilfellet beregnes enkelt:

v_x = |v|.cos θ

v_og = |v|.sin θ

I følge det ovennevnte er de rektangulære komponentene i hastighetsvektoren v av flyet ville være:

v_x = 850 . cos 45º km/h = 601.04 km/t

v_og = 850 . Sen 45º km/h = 601.04 km/t

Folkens

Det er forskjellige typer vektorer. Det er veinvektorer, posisjon, forskyvning, kraft, elektrisk felt, bevegelsesmengde og mange flere. Som vi allerede har sagt, i fysikk er det mange vektorstørrelser.

Når det gjelder vektorer som har visse egenskaper, kan vi nevne følgende typer vektorer:

-Null: Dette er vektorer hvis størrelse er 0 og som er betegnet som 0. Husk at den dristige bokstaven symboliserer de tre grunnleggende egenskapene til en vektor, mens den normale bokstaven bare representerer modulen.

For eksempel om et legeme i statisk balanse, må summen av krefter være en nullvektor.

-Gratis og koblet: Gratis vektorer er de hvis opprinnelsespunkter og ankomst er et par punkter i planet eller rommet, i motsetning til koblede vektorer, hvis opprinnelse sammenfaller med referansesystemet som brukes til å beskrive dem.

Paret eller øyeblikket produsert av et par krefter er et godt eksempel på fri vektor, siden dreiemomentet ikke gjelder noe bestemt punkt.

-Utstyr: De er to gratis vektorer som deler identiske egenskaper. Derfor har de samme størrelse, retning og mening.

-Coplanares eller Coplanarios: Vektorer som tilhører samme plan.

-Motsetninger: vektorer med like stor størrelse og retning, men motsatte sanser. Vektoren i motsetning til en vektor v Det er vektoren -v Og summen av begge er nullvektoren: v + (-v) = 0.

-Samtidig: Vektorer hvis handlingslinjer alle passerer gjennom samme punkt.

-Lysbilde: er de vektorene hvis applikasjonspunkt kan gli langs en bestemt linje.

-Colineal: Vektorer som er plassert på samme linje.

-Enheter: De vektorene hvis modul er 1.

Ortogonale enhetsvektorer

Det er en veldig nyttig type vektor i fysikk som kalles ortogonal enhetsvektor. Den ortogonale enhetsvektoren har en modul som tilsvarer 1 og enhetene kan være hvilken som helst, for eksempel de med hastighet, posisjon, styrke eller annen.

Det er et sett med spesielle vektorer som hjelper enkelt å representere andre vektorer og utføre operasjoner med dem: de er de ortogonale enhetsvektorene Yo, J og k, Enheter og vinkelrett på hverandre.

I to dimensjoner er disse vektorene rettet gjennom den positive betydningen av begge aksene x som av aksen og. Og i tre dimensjoner tilsettes en enhetsvektor i retning av aksen z positivt. De er representert som følger:

Kan tjene deg: Hva er strukturen i dokumentarforskning?

Yo =

J =

k =

En vektor kan være representert med enhetsvektorer Yo, J og k følgende:

v = v_x Yo + v_og J + v_z k

For eksempel hastighetsvektoren v Fra de forrige eksemplene kan du skrive som:

v = 601.04 Yo + 601.04 J km/t

Komponenten i k Det er ikke nødvendig, siden denne vektoren er i planet.

Sum av vektorer

Summen av vektorer vises veldig ofte i forskjellige situasjoner, for eksempel når du vil finne den resulterende kraften på et objekt som påvirkes av forskjellige krefter. For å begynne å anta at du har to gratis vektorer eller og v på flyet, som følgende viser venstre:

Figur 4. Grafisk sum av to vektorer. Kilde: Wikimedia Commons. Lluc Cabanach [CC BY-SA 3.0 (https: // creativecommons.Org/lisenser/by-SA/3.0)].

Han flytter umiddelbart til vektoren v, uten å endre størrelsen, retningen eller betydningen, slik at den stammer sammen med slutten av eller.

Sumvektoren kalles W og er trukket fra og slutter v, I henhold til høyre figur. Det er viktig å merke seg at størrelsen på vektoren W Det er ikke nødvendigvis summen av størrelsen på v og eller.

Hvis det gjenspeiles nøye i denne forbindelse, er den eneste anledningen når størrelsen på den resulterende vektoren er summen av størrelsen på tilleggene, er det når begge rusavhengige er i samme retning og har samme betydning.

Og hva som skjer hvis vektorene ikke er gratis? Det er også veldig enkelt å legge dem til. Måten å gjøre er å legge til komponentkomponent, eller analytisk metode.

La oss som et eksempel vurdere vektorene i følgende figur, det første er å uttrykke dem fra en av de kartesiske formene som tidligere er forklart:

Figur 5. Sum av to koblede vektorer. Kilde: Wikimedia Commons.

v =

eller =

For å få komponenten i x av vektoren legger til W, De respektive komponentene blir lagt til i x av v og eller: W_x = 5+2 = 7. Og å få W_og En analog prosedyre følges: w_og = 1+3. Derfor:

eller =

Egenskapene til summen av vektorer

-Summen av to eller flere vektorer resulterer i en annen vektor.

-Det er kommutativt, rekkefølgen på tilleggene endrer ikke summen, slik at:

eller + v = v + eller

-Det nøytrale elementet i summen av vektorer er nullvektoren: v + 0 = v

-Subtraksjonen av to vektorer er definert som summen av det motsatte: v - u = v + (-eller)

Eksempler på vektorer

Som vi har sagt, er det mange vektormengder i fysikk. Blant de mest kjente er:

-Posisjon

-Forskyvning

-Gjennomsnittshastighet og øyeblikkelig hastighet

-Akselerasjon

-Makt

-Mengde bevegelse

-Dreiemoment eller kraftmoment

-Impuls

-elektrisk felt

-Magnetfelt

-Magnetisk øyeblikk

På den annen side er de ikke vektorer, men klatrer:

-Tid

-Masse

-Temperatur

-Volum

-Tetthet

-Mekanisk arbeid

-Energi

-Varme

-Makt

-Spenning

-Elektrisk strøm

Andre operasjoner mellom vektorer

I tillegg til summen og subtraksjon av vektorer, er det tre andre operasjoner mellom veldig viktige vektorer, fordi de gir opphav til nye veldig viktige fysiske størrelser:

-Produkt av en skalar for en vektor.

-Scalar -produktet eller punktproduktet mellom vektorer

-Og kors- eller vektorproduktet mellom to vektorer.

Produkt av en skalar for en vektor

Tenk på Newtons andre lov, som sier at styrken F og akselerasjon til De er proporsjonale. Proporsjonalitetskonstanten er massen m av objektet, derfor:

F = m.til

Deigen er en skalar; For sin del er styrke og akselerasjon vektorer. Ettersom kraften oppnås ved å multiplisere massen med akselerasjonen, er det resultatet av produktet av en skalar med en vektor.

Kan tjene deg: eksempler på teoretisk rammeverk

Denne typen produkt resulterer alltid i en vektor. Her et annet eksempel: bevegelsesmengden. Være P Vektorens bevegelsesmengde, v Hastighetsvektoren og som alltid, m er massen:

P = m.v

Scalar Product eller Point Product mellom vektorer

Vi har plassert mekanisk arbeid i listen over størrelser som ikke er vektorer. Imidlertid er arbeid i fysikk resultatet av en operasjon mellom vektorer som kalles et skalarprodukt, internt produkt eller punktprodukt.

Være vektorene v og eller, Punktet eller klatreproduktet er definert mellom dem:

v∙eller = |v| ∙ |eller |.cos θ

Å være θ vinkelen mellom dem. Fra ligningen vist blir den umiddelbart trukket ut at resultatet av punktproduktet er en skalar, og også at hvis begge vektorene er vinkelrett, er deres skalarprodukt 0.

Tilbake til mekanisk arbeid W, Dette er skalarproduktet mellom styrkevektoren F og vektorforskyvningen ℓ.

W = F∙ℓ                  

Når vektorer er tilgjengelige med tanke på komponentene deres, er punktproduktet også veldig enkelt å beregne. Ja v = x, v_og, v_z > og eller = x, eller_og, eller_z >, Punktproduktet mellom de to er:

v∙eller = v_x eller_x + v_og eller_og + v_z eller_z

Punktproduktet mellom vektorer er derfor kommutativt:

v∙eller = eller∙v

Kryssprodukt eller vektorprodukt mellom vektorer

Ja v og u er våre to eksempelvektorer, vektorproduktet er definert som:

v x eller = W

Det følger umiddelbart at kryssproduktet resulterer i en vektor, hvis modul er definert som:

|v x u | = | V | . | u |. sin θ

Hvor θ Det er vinkelen mellom vektorene.

Kryssproduktet er ikke kommutativt, derfor v x u ≠ u x v. Faktisk v x U = - (u x V).

Hvis de to eksempelvektorene uttrykkes i form av enhetsvektorene, blir beregningen av vektorproduktet forenklet:

v = v_x Yo + v_og J + v_z k

eller = u_x Yo + eller_og J + eller_z k

Kryssprodukter mellom enhetsvektorer

Kryssproduktet mellom identiske enhetsvektorer er null, siden vinkelen mellom dem er 0º. Men blant forskjellige enhetsvektorer er vinkelen mellom dem 90º og sin 90º = 1.

Følgende ordning hjelper til med å finne disse produktene. I retning av pilen gir det positiv mening og i motsatt retning:

Yo x J = K, J x k = Yo; k x Yo = J; J x i = -k; k x J = -Yo; Yo x k = -J

Bruke distribusjonseiendom, som forblir gyldig for produkter blant vektorer pluss egenskapene til enhetsvektorer, har du:

v x eller = (v_x Yo + v_og J + v_z k) X (u_x Yo + eller_og J + eller_z k) =  

= (v_ogeller_z - v_zeller_og )Yo + (v_zeller_x - v_xeller_z )J + (v_xeller_og - v_ogeller_x )k

Løste øvelser

- Oppgave 1

Gitt vektorene:

v = -5 Yo + 4J + 1 k

eller = 2 Yo -3 J + 7k

Hva som skal være vektoren W slik at summen v + eller + W Resultater 6 Yo +8 J -10k?

Løsning

-5 Yo + 4J + 1 k

2 Yo -3 J + 7k

 W_x Yo + W_og J + W_z k  +

--

6Yo + 8 J -10 k

Derfor må det oppfylles at:

-5 +2 + w_x = 6 → w_x = 9

4-3 + w_og = 8 → w_og = 7

1 + 7 + w_z = -10 → w_z = -18

Svaret er: W = 9 Yo +7 J - 18k

- Oppgave 2

Hva er vinkelen mellom vektorene v og eller av øvelse 1?

Løsning

Vi vil bruke skalarproduktet. Vi har:

cos θ = v∙eller / |v| ∙ |eller|

v∙eller= -10 -12+7 = -15

|v| = √ (-5)² +4² +1²= √42 = 6.48

|eller| = √2² +(-3)² +7²= √62 = 7.87

Erstatte disse verdiene:

cos θ = -15 / 6.48 x 7.87 = -0.2941 → θ = 107.1

Referanser

1. Figueroa, d. (2005). Serier: Fysikk for vitenskap og ingeniørfag. Volum 1. Kinematikk. Redigert av Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, d.  2006. Fysikk: Prinsipper med applikasjoner. 6. Ed Prentice Hall.
3. Rex, a. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson.
4. Sears, Zemansky. 2016. Universitetsfysikk med moderne fysikk. 14. Ed. Volum 1.
5. Serway, r., Jewett, J. 2008. Fysikk for vitenskap og ingeniørfag. Volum 1. 7. Ed. Cengage Learning.