Resulterende vektorberegning, eksempler, øvelser

Han resulterende vektor Det er den som er oppnådd ved en operasjon med vektorer hvis resultat også er en vektor. Normalt er denne operasjonen summen av to eller flere vektorer, der en vektor oppnås hvis virkning er ekvivalent.

På denne måten oppnås vektorer som hastighet, akselerasjon eller kraft resulterende resulterende. For eksempel når flere krefter virker på et legeme F₁, F₂, F₃,.. . Vektorsummen til alle disse kreftene tilsvarer nettokraften (den resulterende), som matematisk uttrykker seg:

F₁ + F₂ + F₃ +... = F_R  enten F_N

Figur 1. Snøvekten er fordelt over taket, og virkningen kan erstattes av en enkelt resulterende kraft påført på riktig sted. Kilde: Pixabay.

Den resulterende vektoren, enten det er krefter eller annen vektorstørrelse, bruker reglene for summen av vektorer. Ettersom vektorer har retning og sans i tillegg til numerisk verdi, er det ikke nok å legge til modulene for å ha den resulterende vektoren.

Dette gjelder bare i tilfelle de involverte vektorene er i samme retning (se eksempler). Ellers er det nødvendig å bruke vektorsummetoder, som, avhengig av tilfelle, kan være geometrisk eller analytisk.

[TOC]

Eksempler

Geometriske metoder for å finne den resulterende vektoren er polygonmetoden og parallellogrammetoden.

Når det gjelder analysemetodene er komponentmetoden, der vektoren som følge av et hvilket som helst vektorsystem kan bli funnet, så lenge vi har dens kartesiske komponenter.

Geometriske metoder for å legge til to vektorer

Anta at vektorene eller og v (Vi betegner dem med fet skrift for å skille dem fra skalaren). I figur 2) har vi dem plassert på flyet. I figur 2 b) har den flyttet til vektor V på en slik måte at opprinnelsen sammenfaller med slutten av eller. Den resulterende vektoren går fra opprinnelsen til den første (eller) til spissen av det siste (v):

Det kan tjene deg: Komprimerbarhet: Faststoffer, væsker, gasser, eksempler Figur 2. Den resulterende vektoren fra den grafiske summen av vektorer. Kilde: Selvlaget.

Figuren som resulterer i dette tilfellet er en trekant (en trekant er en 3 -sidig polygon). Hvis vi har to vektorer i samme retning, er prosedyren den samme: plasser en av vektorene etter den andre og tegne den ene som går fra opprinnelsen eller halen til den første til spissen eller enden av den siste.

Merk at rekkefølgen denne prosedyren er gjort, spiller ingen rolle, siden summen av vektorer er kommutativ.

Legg også merke til at i dette tilfellet modul (Lengden eller størrelsen) på den resulterende vektoren er summen av modulene til tilleggsvektorene, i motsetning til det forrige tilfellet, der den resulterende vektorkodulen er mindre enn summen av modulene til deltakerne.

Parallellogrammetode

Denne metoden er veldig passende når du trenger å legge til to vektorer hvis opprinnelsespunkter er enige, med opprinnelsen til et X-Y-koordinatsystem. Anta at dette er tilfellet med våre vektorer eller og v (Figur 3):

Figur 3. Sum av to vektorer ved hjelp av parallellogrammetoden med den resulterende vektoren i turkis blå. Kilde: Selvlaget.

I figur 3b) er det bygget et parallellogram ved hjelp av parallelle stiplede linjer til eller allerede v. Den resulterende vektoren har sin opprinnelse i O og dens ende på det punktet hvor de stiplede linjene krysser hverandre. Denne prosedyren tilsvarer fullstendig den som er beskrevet i foregående avsnitt.

Øvelser

-Oppgave 1

Gitt følgende vektorer, finn den resulterende vektoren ved hjelp av den polygonale metoden.

Det kan tjene deg: lett refleksjon Figur 4. Vektorer for å finne det som resulterer gjennom den polygonale metoden. Oppgave 1. Kilde: Selvlaget.

Løsning

Den polygonale metoden er den første av metodene som er sett. Husk at summen av vektorer er kommutative (rekkefølgen på tilleggene ikke endrer summen), slik at du kan starte med noen av vektorene, for eksempel eller (Figur 5a) eller r (Figur 5b):

Figur 5. Sum av vektorer gjennom den polygonale metoden. Kilde: Selvlaget.

Figuren som er oppnådd er en polygon og den resulterende vektoren (i blått) kalles R. Hvis du starter med en annen vektor, kan figuren som er dannet være annerledes, som det kan sees i eksemplet, men den resulterende vektoren er den samme.

Oppgave 2

I den følgende figuren er det kjent at modulene til vektorene eller og v henholdsvis er u = 3 vilkårlige enheter og v = 1.8 vilkårlige enheter. Vinkelen som eller form med den positive x -aksen er 45 º, mens v Form 60 º med Y -aksen, som sett på figuren. Finn den resulterende vektoren, størrelsen og retningen.

Løsning

I den foregående delen ble den resulterende vektoren funnet anvendelse av parallellogrammetoden (i turkis i figuren).

En enkel måte å finne den resulterende vektoren analytisk er å uttrykke vektorene som legger til i form av deres kartesiske komponenter, noe som er en enkel oppgave når modul og vinkel er kjent, for eksempel vektorene i dette eksemplet:

eller_x = u . cos 45º = 3 x cos 45 º = 2.12; eller_og = u . sin 45 º = 3x sen 45º = 2.12

v_x = v . Sen 60º = 1.8 x sen 60 º = 1.56; v_og = -V . cos 60 º = -1.8 x cos 60º = - 0.9

Kan tjene deg: pendulær bevegelse

Vektorene eller og v De er vektorer som tilhører flyet, og har begge to komponenter hver. U -vektoren er i den første kvadranten og dens komponenter er positive, mens vektor V er i den fjerde kvadranten; X -komponenten er positiv, men projeksjonen på den vertikale aksen faller inn i aksen og negativ.

Beregning av de kartesiske komponentene i den resulterende vektoren

Den resulterende vektoren er tilsetter algebraisk de respektive komponentene X og Y, for å oppnå sine kartesiske komponenter:

R_x = 2.12 + 1.56 = 3.68

R_og = 2.12 + (-0.9) = 1.22

Når de kartesiske komponentene er spesifisert og vektoren er kjent fullstendig. Den resulterende vektoren kan uttrykkes med notasjonen i firkantede parenteser (parentes):

R = vilkårlige enheter

Bracketnotasjonen brukes til å skille en vektor fra et punkt i planet (eller i verdensrommet). En annen måte å uttrykke den resulterende vektoren på en analytisk måte er gjennom bruk av enhetsvektorer Yo og j på flyet (Yo, J og k i rommet):

R = 3.68 Yo + 1.22 J vilkårlige enheter

Siden begge komponentene i den resulterende vektoren er positive, er vektoren R Det tilhører den første kvadranten, som allerede hadde blitt sett grafisk.

Størrelse og retning av den resulterende vektoren

Kjent for kartesiske komponenter, beregnes størrelsen på R gjennom Pythagoras -teoremet, siden den resulterende vektoren R, Ved siden av komponentene r_x og r_og De danner en høyre trekant:

Størrelse eller modul: r = (3.68² + 1.22²)^½ = 3.88

Adresse q tar den positive x -aksen som referanse: q = arcan (r_og / R_x) = arctg (1.22/3.68) = 18.3

Referanser

1. Legge til vektorer og regler. Gjenopprettet fra: newt.Phys.UNSW.Edu.Au
2. Figueroa, d. Serier: Fysikk for vitenskap og ingeniørfag. Volum 1. Kinematikk.31-68.
3. Fysisk. Modul 8: Vektorer. Gjenopprettet fra: FRTL.Utn.Edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mekanikk for ingeniører. Statisk. 6. utgave. Continental Editorial Company. 15-53.
5. Tilleggskalkulatorvektor. Gjenopprettet fra: www.1728.org