Enegon -egenskaper, hvordan lage en enegon, eksempler

EN Enegon Det er en polygon på ni sider og ni hjørner, som kan være regelmessig eller ikke. Enegon -kirkesamfunnet kommer fra det greske og består av de greske ordene Ennea (ni og Gonon (vinkel).

Et alternativt navn for den ni -sidige polygonen er et ord som kommer fra latin som kommer fra latin nonus (ni og Gonon (Vertex). På den annen side, hvis sidene eller vinklene til enegon er ulik for hverandre, er det da en uregelmessig enegon. Hvis tvert imot, de ni sidene og de ni vinklene til enegon er like, er det en Vanlig enegon.

Figur 1. Vanlig enegon og uregelmessig enegon. (Egen utdyping)

[TOC]

Enegon -egenskaper

For en polygon på N -sider er summen av dens indre vinkler:

(N - 2) * 180º

I enegon ville det være n = 9, så summen av dens indre vinkler er:

SA = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

I en hvilken som helst polygon er antall diagonaler:

D = n (n - 3) / 2 og i tilfelle av enegon, som n = 9, må du d = 27.

Vanlig enegon

I enegon eller vanlig nonagon.

Det er da nødvendig å måle de indre vinklene til en enegon er 1260º / 9 = 140º.

Figur 2. Apothem, radio, sider, vinkler og hjørner til en vanlig enegon. (Egen utdyping)

Å utlede formelen til området til en vanlig enegon på siden d Det er praktisk å lage noen hjelpekonstruksjoner, for eksempel de som er vist i figur 2.

Senteret er ENTEN Tegne mediatriser fra to tilstøtende sider. Senter ENTEN Equidista av toppunktene.

En lengde radius r Det er segmentet som går fra sentrum ENTEN I et toppunkt av enegon. Radioer er vist i figur 2 OD og OE av lengde r.

Kan tjene deg: symmetri

Apothem er segmentet som går fra sentrum til midtpunktet på den ene siden av enegon. For eksempel OJ Det er et apotem hvis lengde er til.

Område av en kjent side og apothem

Vi vurderer trekanten Ode Fra figur 2. Området til denne trekanten er et produkt av basen AV etter høyde OJ delt med 2:

Område Ode = (Fra * oj) / 2 = (D * a) / 2

Ettersom det er 9 trekanter av det samme området i enegon, konkluderes det da at området med det samme er:

Enegon -området = (9/2) (D * a)

Område av en kjent enegon

Hvis bare lengden på enegon er kjent, er det da nødvendig å finne lengden på apotemen for å kunne bruke formelen til forrige seksjon.

Vi vurderer trekanten OJE Rektangel inn J (Se figur 2). Hvis dreiemoment trigonometrisk forhold blir brukt, oppnås det:

så(∡OEJ) = OJ / F.eks.

Vinkelen ∡oej = 140º / 2 = 70º, for å være Eo Bisektor av den indre vinkelen til enegon.

I tillegg, OJ Det er lengden av lengde til.

Da som J Det er et midtpunkt av Ed Det følger at Ex = d/2.

Å erstatte de ovennevnte verdiene i forholdet til tangenten er:

Solbrun (70º) = A / (d / 2).

Nå fjerner vi apothem -lengden:

A = (d/2) Solbrun (70º).

Det forrige resultatet erstattes i formelen til området for å oppnå:

Enegon -området = (9/2) (d * a) = (9/2)( D * (d/2) Tan (70º)))

Endelig er det formelen som gjør at det vanlige enegonområdet kan oppnås hvis bare lengden er kjent d av sidene:

Enegon -området = (9/4) D² Solbrun (70º) = 6.1818 d²

Omkretsen av den vanlige enegon kjente sin side

Omkretsen til en polygon er summen av sidene. Når det gjelder enegon, som hver og en av sidene, måler den en lengde d, Omkretsen vil være summen av ni ganger d, det er å si:

Kan tjene deg: Polynomligninger

Omkrets = 9 d

Omkretsen av enegon kjente sin radio

Tatt i betraktning trekanten OJE Rektangel inn J (Se figur 2), brukes den trigonometriske grunnen Cosen:

Cos (∡OEJ) = F.eks / OE = (d / 2) / r

Hvor er du oppnådd:

D = 2r cos (70º)

Ved å erstatte dette resultatet oppnås omkretsformelen som en funksjon av enegon -radius:

Omkrets = 9 d = 18 r cos (70º) = 6.1564 r

Hvordan lage en vanlig enegon

1- For å bygge en vanlig enegon, med regel og kompass, er det basert på omkretsen c som omskriver enegon. (Se figur 3)

2- To vinkelrett linjer trekkes gjennom sentrum eller omkrets. Deretter er kryss A og B av en av linjene merket med omkretsen.

3- Med kompasset, gjør senter i avskjæringen B og åpner lik radius BO.

Figur 3. Trinn for å bygge en vanlig enegon. (Egen utdyping)

4- Det forrige trinnet gjentas, men å lage et senter i A og radio AO en bue er tegnet som avskjærer til omkretsen C ved punkt E.

5- med AC-åpning og sentrum i en omkretsbue trekkes. Tilsvarende med åpning være og midt B er en annen bue trukket. Skjæringspunktet mellom disse to buene er merket som en g.

6- Making Center i G og med GA åpning er det tegnet en bue som avskjærer sekundæraksen (horisontalt i dette tilfellet) ved punkt H. Skjæringspunktet mellom sekundæraksen er merket med den opprinnelige omkretsen C som jeg.

7- Lengden på IH-segmentet er lik lengden D på siden av enegon.

8- Med en kompassåpning ih = D blir midtbuene suksessivt trukket til Radio AJ, Centro J Radio AK, KL Radio KL og Centro L Radio LP.

Det kan tjene deg: lineære transformasjoner: egenskaper, hva er bruk, typer, eksempler

9- Tilsvarende, fra A og på høyre side, er radio Arcos IH = D trukket på den opprinnelige omkretsen C-punktene M, N, C og Q.

10- Endelig er segmentene AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ og Endelig PB trukket.

Det skal bemerkes at konstruksjonsmetoden ikke er helt nøyaktig, siden det kan bekreftes at den siste PB -siden er 0,7% lengre enn de andre sidene. Til dags dato er en konstruksjons- og kompassbyggingsmetode ikke kjent som er 100% presis.

Eksempler

Noen eksempler løst vil bli adressert nedenfor.

Eksempel 1

Du vil bygge en vanlig enegon hvis sider måler 2 cm. Hvilken radio skal omkretsen som omskriver den har, slik at når du bruker den tidligere beskrevne konstruksjonen, oppnås det ønskede resultatet?

Løsning:

I en tidligere seksjon ble formelen som relaterer radius r av den omskrevne omkretsen med D -vanlige dégon trukket ut:

D = 2r cos (70º)

Rydde r fra forrige uttrykk vi har:

R = d / (2 cos (70º)) = 1 4619 * d

Bytte ut verdien d = 2 cm i forrige formel A 2,92 cm radius oppnås.

Eksempel 2

Hvor mye er området for en vanlig 2 cm side -enegon?

Løsning:

For å svare på dette spørsmålet, må du henvise til formelen, tidligere demonstrert, som lar deg finne området til en enegon kjent lengden D på sin side:

Enegon -området = (9/4) D² Solbrun (70º) = 6.1818 d²

Bytte ut d for sin verdi på 2 cm i den fremre formelen oppnås:

Enegon -området = 24,72 cm

Referanser

1. C. OG. TIL. (2003). Geometrielementer: med øvelser og kompassgeometri. University of Medellin.
2. Campos, f., Cerecedo, f. J. (2014). Matematikk 2. Patria redaksjonell gruppe.
3. Frigjort, k. (2007). Oppdag polygoner. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, v. (2013). Generaliserte polygoner. Birkhäuser.
5. Iger. (s.F.). Matematikk første semester Tacaná. Iger.
6. JR. Geometri. (2014). Polygoner. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren, & Hornsby. (2006). Matematikk: Resonnement og applikasjoner (tiende utgave). Pearson Education.
8. Patiño, m. (2006). Matematikk 5. Redaksjonell progreso.