Prøvetakingsfeilformler og ligninger, beregning, eksempler

Gjennomsnittsverdien av utvalget er betegnet med og gjennomsnittsverdien av den totale befolkningen betegner den for den greske bokstaven μ (Det lyder Mu eller miu).

Anta at de er tatt m Totalt populasjonsprøver N, All av like stor størrelse n Med gjennomsnittlige verdier 1>, 2>, 3>, .. .m>.

Disse gjennomsnittlige verdiene vil ikke være identiske med hverandre og vil alle være rundt gjennomsnittlig befolkningsverdi μ. Han Prøvefeilmargin e indikerer forventet separasjon av gjennomsnittsverdiene med hensyn til Gjennomsnittlig befolkningsverdi μ Innenfor en spesifisert prosentandel kalt Tillitsnivå γ (Gamma).

Han Standard feilmargin ε av størrelsesprøven n er:

ε = σ/√n

hvor σ er standardavviket (Kvadratroten til variansen), som beregnes med følgende formel:

σ = √ [(x -)²/(N - 1)]

Meningen med Standard feilmargin ε er følgende:

Han mellomverdi oppnådd ved størrelsesprøven n forstås i intervallet ( - ε, + ε) med en selvtillitsnivå 68,3%.

Hvordan beregne prøvetakingsfeil

I forrige seksjon ble formelen gitt for å finne Feilområde standard av et utvalg av n, der standardordet indikerer at det er en feilmargin med 68% tillit.

Dette indikerer at hvis mange prøver av samme størrelse ble tatt n, 68% av dem vil gi gjennomsnittsverdier i området [ - ε, + ε].

Det er en enkel regel, kalt Regel 68-95-99.7 som lar oss finne marginen til prøvefeil e For tillitsnivåer av 68%, 95% og 99,7% enkelt, siden denne marginen er 1⋅ε, 2⋅ε og 3⋅ε henholdsvis.

For et tillitsnivå γ

Hvis han Tillitsnivå γ Det er ikke noe av de ovennevnte, så prøvetakingsfeilen er standardavviket σ multiplisert med faktoren Zy, som oppnås gjennom følgende prosedyre:

1.- Først nivå av betydning α som er beregnet fra Tillitsnivå γ Gjennom følgende forhold: α = 1 - γ

2.- Da må du beregne verdien 1 - α/2 = (1 + γ)/2, som tilsvarer normal frekvens akkumulert mellom -∞ og Zy, I en normal eller gaussisk distribusjon karakterisert f (z), hvis definisjon kan sees i figur 2.

3.- Ligningen løses F (zγ) = 1 - α/2 Gjennom normalfordelingstabellene (akkumulert) F, o Gjennom en dataprogram som har den karakteriserte inverse Gauss -funksjonen F^-1.

I sistnevnte tilfelle har du:

Zy = g^-1(1 - α/2).

4.- Til slutt brukes denne formelen for prøvetakingsfeil med et pålitelighetsnivå y:

E = Zy⋅(σ/√n)

Eksempler

- Eksempel 1

Beregn Standard feilmargin På gjennomsnittlig vekt av en prøve på 100 nyfødte. Beregningen av gjennomsnittsvekten var = 3100 kg med standardavvik σ = 1500 kg.

Løsning

Han Standard feilmargin er ε = σ/√n = (1500 kg)/√100 = 0,15 kg. Noe som betyr at det med disse dataene kan utledes at vekten på 68% av nyfødte er mellom 2 950 kg og 3.25 kg.

- Eksempel 2

Fastslå marginen for prøvefeil og og vektområdet på 100 nyfødte med 95% konfidensnivå hvis gjennomsnittsvekten er 3.100 kg med standardavvik σ = 1500 kg.

Løsning

Hvis Regel 68; 95; 99.7 → 1⋅ε; 2⋅ε; 3⋅ε, Du har:

E = 2⋅ε = 2⋅0,15 kg = 0,30 kg

Med andre ord, 95% av nyfødte vil ha pesos mellom 2800 kg og 3.400 kg.

- Eksempel 3

Bestem Pesos -området for nyfødte av eksempel 1 med en konfidensmargin på 99,7%.

Løsning

Eksempelfeilen med 99,7% tillit er 3 σ/√n, at for vårt eksempel er E = 3 *0,15 kg = 0,45 kg. Herfra er det utledet at 99,7% av nyfødte vil ha pesos mellom 2.650 kg og 3.550 kg.

- Eksempel 4

Bestem faktoren Zy For et pålitelighetsnivå på 75%. Bestem prøvetakingsfeilmarginen med dette pålitelighetsnivået for saken hevet i eksempel 1.

Løsning

Han selvtillitsnivå er γ = 75% = 0,75 som angår nivå av betydning α gjennom forholdet γ= (1 - α), slik at nivået av betydning er α = 1 - 0,75 = 0,25.

Dette betyr at den akkumulerte normale sannsynligheten mellom -∞ og Zy er:

P (z ≤ Zy ) = 1 - 0.125 = 0,875

Hva som tilsvarer en verdi Zy av 1.1503, som vist i figur 3.

Med andre ord, prøvetakingsfeilen er E = Zy⋅(σ/√n)= 1.15⋅(σ/√n).

Når den brukes på eksempel 1 -data, gir det en feil på:

E = 1,15*0,15 kg = 0,17 kg

Med 75% konfidensnivå.

- Oppgave 5

Hva er nivået av tillit hvis z_α/2 = 2.4 ?

Løsning

P (z ≤ z_α/2 ) = 1 - α/2

P (z ≤ 2.4) = 1 - α/2 = 0,9918 → α/2 = 1 - 0,9918 = 0,0082 → α = 0,0164

Betydningsnivået er:

α = 0,0164 = 1,64%

Og til slutt gjenstår tillitsnivået:

1- α = 1 - 0,0164 = 100% - 1,64% = 98,36%

Referanser

1. Canavos, g. 1988. Sannsynlighet og statistikk: applikasjoner og metoder. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Sannsynlighet og statistikk for ingeniørfag og vitenskap. 8. Utgave. Cengage.
3. Levin, r. 1988. Statistikk for administratorer. 2. Utgave. Prentice Hall.
4. Sudman, s.1982. Still spørsmål: en praktisk guide til spørreskjemautforming. San Fransisco. Jossey Bass.
5. Walpole, r. 2007. Sannsynlighet og statistikk for ingeniørfag og vitenskap. Pearson.
6. WONNACOTT, T.H. og r.J. Wonnacott. 1990. Innledende statistikk. 5. utg. Wiley
7. Wikipedia. Prøvefeil. Hentet fra: i.Wikipedia.com
8. Wikipedia. Feilmargin. Hentet fra: i.Wikipedia.com