Komplekse tallegenskaper, eksempler, operasjoner

De komplekse tall De er det numeriske settet som dekker de reelle tallene og alle røttene til polynomene, inkludert de jevn røttene til de negative tallene. Disse røttene eksisterer ikke i settet med reelle tall, men i komplekse tall er løsningen.

Et komplekst tall består av en ekte del og en annen kalt "imaginær". Den virkelige delen kalles til, For eksempel, og den imaginære delen Ib, med til og b reelle tall og "jeg" liker Imaginær enhet. På denne måten har det komplekse tallet skjemaet:

Z = a + ib

Figur 1.- Binomial representasjon av et komplekst antall når det gjelder ekte del og imaginær del. Kilde: Pixabay.

Eksempler på komplekse tall er 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Men før du opererer med dem, la oss se hvor den imaginære enheten stammer fra Yo, Tatt i betraktning denne kvadratiske ligningen:

x² - 10x + 34 = 0

Der a = 1, b = -10 og c = 34.

Når løsningsmiddelformelen brukes for å bestemme løsningen, finner vi følgende:

Hvordan bestemme verdien av √-36? Det er ikke noe reelt tall at firkant er et negativt beløp. Da konkluderes det med at denne ligningen ikke har noen reelle løsninger.

Vi kan imidlertid skrive dette:

√-36 = √-6² = √6² (-1) = 6√-1

Hvis vi definerer en viss verdi x slik at:

x² = -1

Så:

x = ± √-1

Og den forrige ligningen ville ha en løsning. Derfor ble den imaginære enheten definert som:

I = √-1

Og så:

√-36 = 6i

Mange antikk-matematikere jobbet med å løse lignende problemer, og fremhevet renessansen Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) og Raffaele Bombelli (1526-1572).

År senere kalt René Descartes (1596-1650) "imaginært" til mengder som √-36 i eksemplet. Av denne grunn er √-1 kjent som Imaginær enhet.

[TOC]

Komplekse tallegenskaper

-Settet med komplekse tall er betegnet som C og inkluderer reelle tall r og imaginære tall IM. Numeriske sett er representert i et Venn -diagram, som vist i følgende figur:

Kan tjene deg: Løst faktoriseringsøvelser Figur 2. Venn Diagram over numeriske sett. Kilde: f. Zapata.

-Hvert komplekst antall består av en ekte del og en annen tenkt del.

-Når den imaginære delen av et komplekst tall er 0, er det et rent reelt tall.

-Hvis den virkelige delen av et komplekst tall er 0, er tallet rent imaginært.

-To komplekse tall er de samme hvis deres respektive virkelige del og imaginære del er de samme.

-Med de komplekse tallene utføres den kjente driften av summer, subtraksjon, multiplikasjon, produkt og empowerment, noe som resulterer i et annet komplekst tall.

Representasjon av komplekse tall

Komplekse tall kan være representert på forskjellige måter. Her er de viktigste:

- Binomisk form

Det er den gitte formen i begynnelsen, hvor z er det komplekse tallet, til er den virkelige delen, b er den imaginære delen og Yo Det er den imaginære enheten:

Z = a + ib

Eller også:

Z = x + iy

En måte å tegne det komplekse tallet på er gjennom det komplekse planet vist i denne figuren. Den imaginære aksen er vertikal, mens den virkelige aksen er horisontal og betegner som re.

Det komplekse tallet z Det er representert i dette planet som et koordinatpunkt (X, y) enten (A, b), Som gjort med punktene i det virkelige flyet.

Avstanden fra opprinnelsen til punkt z er modulen til det komplekse tallet, betegnet som r, mens φ er vinkelen som dannes r Med den virkelige aksen.

Figur 3. Representasjon av et komplekst tall i det komplekse planet. Kilde: Wikimedia Commons.

Denne representasjonen er nært beslektet med vektorene i det virkelige planet. Verdien av r tilsvarer modul av det komplekse tallet.

Det kan tjene deg: Gauss-Seidel Method: Forklaring, applikasjoner, eksempler

- Polar form

Den polare formen består i å uttrykke det komplekse antallet som gir verdiene til r og av φ. Hvis vi ser på figuren, verdien av r Det tilsvarer hypotenusen til en høyre trekant. Kategoriene er verdt til og b, O vel x og og.

I binomial eller binomial form kan vi gå videre til den polare formen av:

R = √x²+og²

Vinkelen φ Det er det som danner R -segmentet med den horisontale aksen eller den imaginære aksen. Det er kjent som argument av det komplekse tallet. Denne måten:

φ = arctg (y/x)

Argumentet har uendelige verdier, under hensyntagen til at hver gang en retur blir snudd, som er verdt 2π -radianer, inntar R igjen samme stilling. På denne måten generelt uttrykkes argumentet fra Z, betegnet Arg (z), som følger:

Arg (z) = φ + 2kπ

Hvor K er hel og tjener til å indikere mengden sving sving: 2, 3, 4 .. . Tegnet indikerer betydningen av rotasjonen, hvis tid eller antihorario er laget.

Figur 4. Polær representasjon av et komplekst tall i det komplekse planet. Kilde: Wikimedia Commons.

Og hvis vi ønsker å gi den polare formen til binomialform, bruker vi trigonometriske grunner. Fra forrige figur kan vi se det:

x = r cos φ

y = r sen φ

På denne måten z = r (cos φ+i sin φ)

Som er forkortet slik:

z = r cis φ

Eksempler på komplekse tall

Følgende komplekse tall er gitt binomialt:

a) 3 + i

b) 4

d) -6i

Og disse i et ordnet dreiemoment:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7.0)

Til slutt får denne gruppen polar eller trigonometrisk:

a) √2 cis 45º

b) √3 cis 30º

Kan tjene deg: Hypergeometrisk distribusjon: Formler, ligninger, modell

c) 2 cis 315º

Hva er de for?

Nytten av komplekse tall går utover oppløsningen av andre grads ligning vist i begynnelsen, siden de er essensielle innen ingeniørfag og fysikk, spesielt i:

-Studiet av elektromagnetiske bølger

-Alternativ strøm- og spenningsanalyse

-Modelleringen av alle slags signaler

-Relativitetsteori, der tiden antas som en tenkt størrelsesorden.

Operasjoner med komplekse tall

Med de komplekse tallene kan vi utføre alle operasjonene som gjøres med det virkelige. Noen er lettere å gjøre hvis tallene kommer binomisk, for eksempel sum og subtraksjon. På den annen side er multiplikasjon og inndeling enklere hvis de blir utført med polarform.

La oss se på noen eksempler:

- Eksempel 1

Legg til z₁ = 2 + 5i og z₂ = -3 -8i

Løsning

De virkelige delene legges separat fra de imaginære delene:

z₁ + z₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Eksempel 2

Multipliser z₁ = 4 cis 45º og z₂ = 5 cis 120º

Løsning

Det kan demonstreres at produktet av to komplekse tall i polar eller trigonometrisk er gitt av:

z₁ . z₂ = r₁.r₂ Cis (φ₁ + φ₂)

I følge dette:

z₁ . z₂ = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º cis 165º

applikasjon

En enkel anvendelse av komplekse tall er å finne alle røttene til en polynomligning som den som er vist i begynnelsen av artikkelen.

I tilfelle av ligning x² - 10x + 34 = 0, når du bruker løsningsmiddelformelen, oppnås den:

Derfor er løsningene:

x₁ = 5 + 3i

x₂ = 5 - 3i

Referanser

1. Jarl, r. Komplekse tall. Gjenopprettet fra: Matematikk.okse.Ac.Storbritannia.
2. Figuera, J. 2000. Matematikk 1. Diversifisert. Co-bo-utgaver.
3. Hoffmann, J. 2005. Valg av matematikkproblemer. Monfort Publications.
4. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Komplekse tall. Hentet fra: i.Wikipedia.org