System of Equations Solution Methods, Eksempler, øvelser

De ecuation -systemer De består av to eller flere ligninger med flere variabler som må ha en felles løsning. De er hyppige, for i praksis er det mange situasjoner som er avhengige av mange faktorer, som er relatert på flere måter.

Generelt har et ligningssystem følgende form, der hver funksjon representerer en av forholdene som løsningen må tilfredsstille:

Figur 1. Et ligningssystem består av M -funksjoner og n ukjente. Kilde: f. Zapata.

La oss se på et eksempel: Anta at du trenger å produsere rektangulære papirark hvis areal er 180 cm² og har en omkrets på 54 cm. Hva som skal være dimensjonene på arket?

For å svare på spørsmålet tar vi hensyn til at dimensjonene til et rektangulært ark er to: bredt og høye. Dette betyr at vi har to variabler som vi vil gi de vanlige navnene på x og og.

Og disse variablene må tilfredsstille de to betingelsene som er pålagt samtidig:

-Første tilstand: Lamina -området er 180 cm². Dette vil være den første funksjonen: f₁.

-Andre tilstand: Perimeteret eller konturen på arket må være 54 cm. Dette er den andre F -funksjonen₂.

For hver tilstand er en ligning etablert ved hjelp av algebraisk språk. Område A til et rektangulært ark oppnås ved å multiplisere bredt:

A = x.y = 180 cm²

Og omkrets P -resultater fra å legge til sidene. Siden omkretsen er summen av sidene:

P = 2x + 2y = 54 cm

Systemet som følge av to ligninger og to ukjente er:

XY = 180

2 (x + y) = 54

Vi trenger to tall hvis produkt er 180 og at det doble produktet av summen er 54, eller hva som er det samme: lagt til må gi 27. Disse tallene er 12 og 15.

I delen Løst øvelser vil vi tilby den detaljerte metoden for å finne disse verdiene, i mellomtiden kan leseren enkelt verifisere erstatning, som effektivt tilfredsstiller begge ligningene.

[TOC]

Eksempler på applikasjoner av ligningssystemer

Situasjonen som er foreslått ovenfor inneholder 2 variabler, og minst 2 ligninger er pålagt å finne dem. Det er systemer med mange flere variabler, men i alle fall, hvis systemet har n Av disse kreves det i det minste n Uavhengige ligninger (man kan ikke være en lineær kombinasjon av de andre) for å finne løsningen, hvis den eksisterer.

Kan tjene deg: tau (geometri): Lengde, teorem og øvelser

Når det gjelder søknader, er de mange. Her er noen der ligningssystemer viser sin nytte:

-Finn strømningene som sirkulerer gjennom en krets ved hjelp av Kirchoffs lover.

-I land- og lufttransport for å etablere utgangs- og ankomstplanene.

-Finn størrelsene på krefter i dynamiske eller statiske systemer underlagt flere interaksjoner.

-Å kjenne mengden av varer som selges i en viss periode, eller i fabrikkene, for å bestemme dimensjonene til objekter for å tilfredsstille visse forhold når det gjelder overflate eller volum.

-Når du bestemmer hvordan du distribuerer en kapital i flere investeringer.

-Etablere priser for forskjellige tjenester, for eksempel telekommunikasjon eller show og kjenne hvor mye penger som er samlet inn (se eksempel løst 2)

Ligningssystemer Løsningsmetoder

Metode av erstatning

-En ligning er valgt og en av variablene blir fjernet.

-Da må du erstatte den klare variabelen i en annen ligning. Så forsvinner denne variabelen derfra, og hvis systemet har to ligninger og to ukjente, er det en ligning med en variabel som allerede kan være klar.

-Hvis systemet har mer enn to variabler, må du fjerne en tredje ukjent fra en annen ligning og erstatte den også.

Et eksempel på anvendelse av denne metoden er i året løst 1.

Reduksjons- eller eliminasjonsmetode

Denne metoden består i å legge til eller trekke ligninger for å eliminere en eller flere variabler og legge igjen en enkelt. For å gjøre dette er det praktisk å multiplisere ligningene med en faktor slik at ved å tilsette en annen ligning, forsvinner det ukjente. La oss se på et eksempel:

3x² - og² = 11

Kan tjene deg: Sentral tendensmål for grupperte data: Formler, øvelser

x² + 4y² = 8

Vi multipliserer den første ligningen med 4:

12x² - 4y² = 44

x² + 4y² = 8

Ved å legge dem til, forsvinner det ukjente og, blir:

13x² = 52

x² = 4

Derfor x₁ = 2 og x₂ = -2. Med disse verdiene kan leseren bekrefte det og₁ = 1 og₂ = -1

Metode for utjevning

Når systemet er to ligninger med to ukjente:

-En ukjent er valgt og renser for begge ligningene.

-Resultatene blir utjevnet, som gjør det mulig å oppnå en enkelt ligning med en enkelt ukjent.

-Denne ligningen er løst og resultatet erstattes i en av de tidligere ryddene for å oppnå verdien av den andre ukjente.

Denne metoden vil bli brukt i året løst 2 av følgende avsnitt.

Grafisk metode

Denne metoden består av å tegne kurvene som hver ligning representerer. Krysspunktet er systemløsningen. Følgende eksempel viser den grafiske løsningen av systemet:

x² + og ² = 1

2x + 4y = 0

Figur 2. Den grafiske løsningen av samtidig ligningssystem er å finne skjæringspunktet mellom kurvene. Kilde: Wikimedia Commons.

Den første av ligningene er en sirkel av radius 1 fokusert på opprinnelsen, og den andre er en linje.

Krysset mellom begge er de to punktene som er vist i blått. Leseren kan bekrefte at ved å erstatte koordinatene til punktene i ligningene ovenfor, oppnås en likhet.

Øvelser

- Trening løst 1

Du må produsere rektangulære ark på 180 cm område² og med 54 cm omkrets. Hva som skal være dimensjonene på arket?

Løsning

Systemet som skal løses er:

XY = 180

2 (x + y) = 54

Den andre ligningen kan forenkles til x + y = 27, derfor:

XY = 180

x + y = 27

En av de ukjente av den andre ligningen er fjernet:

y = 27 - x

Klaringen erstattes i den første:

(27 -x) = 180

Bruke distribusjonseiendom:

-x² + 27x = 180

Multipliser med (-1) på begge sider av ligningen og sender 180 til venstre side:

x² - 27x +180 = 0

Det er en andre grads ligning i X, som løses med formelen:

Det kan tjene deg: motsatte vinkler med toppunktet (med en løst øvelse)

Med A = 1, B = -27 og C = 180

 Løsningene er: x₁ = 15 cm og x₂ = 12, derfor er dimensjonene til y og₁ = 12 cm og og₂ = 15 cm.

- Trening løst 2

En fornøyelsespark har følgende priser per inngang: Barn 1.5 og voksne $ 4. På en dag var det 2200 besøkende, og samlet inn $ 5050. Finn antall barn og voksne som besøkte parken den dagen.

Figur 3. Ligningssystemet tjener til å bryte ned samlingen av fornøyelsesparken på en dag. Kilde: Pixabay.

Løsning

Være x Antall barn og og Antall voksne. Vi kan etablere den første av ligningene og vite at summen av begge må være 2200:

x + y = 2200.

Nå går vi med pengene som er samlet inn. Billettprisen for barn er 1.5 $ for hvert barn, ved å multiplisere denne verdien med x, antall barn, vil vi ha beløpet for barns oppføring:

1.5x = penger samlet inn av barnebilletter

Og hvis vi multipliserer $ 4 per voksen for mengden og voksne besøkende, oppnås de totale pengene av alle voksne:

4y = penger samlet inn av voksne billetter

Vi legger til dette for å få $ 5050:

1.5x + 4y = 5050

Ligningssystemet vårt er:

x + y = 2200

1.5x + 4y = 5050

La oss løse det ved utjevning. Vi fjerner variabelen og den første og den andre ligningen:

y = 2200 - x

y = (5050 - 1.5 x) /4

Vi tilsvarer begge uttrykkene:

2200 - x = (5050 - 1.5x) /4

Vi multipliserer alt med 4 for å eliminere brøkdelen:

8800 - 4x = 5050 - 1.5x

Vi grupperer vilkårene med X til venstre og de rene tallene til høyre:

-4x + 1.5x = 5050 - 8800

-2.5x = -3750

x = 1500 barn.

Vi erstatter denne verdien til y = 2200 - x for å kjenne til antall voksne:

y = 2200 - 1500 = 700 voksne.

Referanser

1. CK-12. Systemer for ligninger og ulikheter. Gjenopprettet fra: CK12.org.
2. Hoffman, J. Valg av matematikkproblemer. Volum 2.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matematikk for beregning. 5. plass. Utgave. Cengage Learning.
5. Zill, d. 1984. Algebra og trigonometri. McGraw Hill.