Teller teknikker teknikker, applikasjoner, eksempler, øvelser

De telleteknikker De er en serie sannsynlighetsmetoder for å telle mulig antall arrangementer i et sett eller flere sett med objekter. Disse brukes når du lager kontoer manuelt blir komplisert på grunn av det store antallet objekter og/eller variabler.

For eksempel er løsningen på dette problemet veldig enkel: Tenk deg at sjefen din ber deg om å telle de nyeste produktene som har kommet den siste timen. I dette tilfellet kan du gå og telle produktene en etter en.

Tenk deg imidlertid at problemet er dette: sjefen din ber deg om å telle hvor mange grupper på 5 produkter av samme type som kan dannes med de som har kommet den siste timen. I dette tilfellet er beregningen komplisert. For denne typen situasjoner brukes så -kalt telleteknikker.  

Disse teknikkene er flere, men de viktigste er delt inn i to grunnleggende prinsipper, som er multiplikative og additive; permutasjoner og kombinasjoner.

[TOC]

Multiplikative prinsipp

applikasjoner

Det multiplikative prinsippet, sammen med tilsetningsstoffet, er grunnleggende for å forstå driften av telleteknikker. Når det gjelder multiplikativet, består det av følgende:

Se for deg en aktivitet som innebærer et bestemt antall trinn (totalen vi markerer den som "R"), der det første trinnet kan gjøres i N1 -former, det andre trinnet til N2, og trinnet "R" av NR -skjemaer. I dette tilfellet kan aktiviteten gjøres i antall former som følge av denne operasjonen: N1 x N2 x .. .x nr skjemaer

Det er grunnen til. 

Eksempel

La oss forestille oss en person som vil bygge en skole. For å gjøre dette, bør du vurdere at basen av bygningen kan bygges på to forskjellige måter, sement eller betong. Når det gjelder veggene, kan de være adobe, sement eller murstein.

Når det gjelder taket, kan dette bygges av sement eller galvanisert ark. Endelig kan endelige maleri bare gjøres på en måte. Spørsmålet som oppstår er som følger: hvor mange måter skolen har?

Først vurderer vi antall trinn, som vil være basen, veggene, taket og maleriet. Totalt 4 trinn, så r = 4.

Kan tjene deg: rolle rolle

Følgende ville være å liste opp n:

N1 = måter å bygge basen = 2

N2 = måter å bygge veggene = 3

N3 = måter å gjøre taket = 2

N4 = måter å utføre maling = 1

Derfor vil antall mulige måter bli beregnet med formelen beskrevet ovenfor:

N1 x n2 x n3 x n4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 måter å utføre skole.

Tilsetningsprinsipp

applikasjoner

Dette prinsippet er veldig enkelt, og det er at i tilfelle av flere alternativer for å utføre den samme aktiviteten, består de mulige måtene av summen av de forskjellige mulige måtene å utføre alle alternativene.

Med andre ord, hvis vi ønsker å utføre en aktivitet med tre alternativer, der det første alternativet kan gjøres i M -former, det andre av N -skjemaer og den siste av W -skjemaene, kan aktiviteten gjøres av: M + N + … + W skjemaer.

Eksempel

Tenk deg denne gangen en person som vil kjøpe en tennisracket. For å gjøre dette har du tre merker å velge mellom: Wilson, Babolat eller Head.

Når han drar til butikken, ser han at Wilson -racketen kan kjøpes med håndtaket i to forskjellige størrelser, L2 eller L3 i fire forskjellige modeller og kan bindes eller uten brodering.

Babolat -racketen har derimot tre mango (L1, L2 og L3), det er to forskjellige modeller og kan også være bundet eller uten brodering.

Hodestaketten er i mellomtiden bare med en mango, L2, i to forskjellige modeller og bare uten brodering. Spørsmålet er: Hvor mange måter må denne personen kjøpe racketen sin?

M = antall måter å velge en Wilson -racket

N = antall måter å velge en babolat -racket

W = antall måter å velge et hodestativ

Vi utfører multiplikatorprinsippet:

M = 2 x 4 x 2 = 16 Former

N = 3 x 2 x 2 = 12 skjemaer

W = 1 x 2 x 1 = 2 skjemaer

 M + n + w = ​​16 + 12 + 2 = 30 måter å velge en racket.

Å vite når det multiplikative prinsippet og tilsetningsstoffet må.

Kombinasjonsmuligheter

applikasjoner

For å forstå hva en permutasjon er, er det viktig å forklare hva en kombinasjon er for å kunne differensiere dem og vite når du skal bruke dem.

En kombinasjon vil være et arrangement av elementer der vi ikke er interessert i stillingen som hver av dem inntar.

En permutasjon, derimot, ville være et arrangement av elementer der vi er interessert i stillingen som hver av dem okkuperer.

Kan tjene deg: 7 indikatorer for økonomisk vekst og dens egenskaper

La oss gi et eksempel for å bedre forstå forskjellen.

Eksempel

Se for deg en klasse med 35 elever, og med følgende situasjoner:

1. Læreren vil at tre av elevene hans skal hjelpe ham med å holde klassen ren eller levere materiale til de andre elevene når han trenger det.
2. Læreren ønsker å utnevne klassedelegater (en president, en assistent og en økonomisk).

Løsningen vil være som følger:

1. Se for deg at ved å stemme Juan, María og Lucía er valgt for å rengjøre klassen eller levere materialene. Det er klart at andre grupper på tre personer kunne ha dannet seg, blant de 35 mulige studentene.

Vi må spørre oss selv følgende: er ordren eller stillingen okkupert av hver av studentene viktige når de velger dem?

Hvis vi tenker på det, ser vi at det virkelig ikke er viktig, siden gruppen vil ta seg av de to fungerer likt. I dette tilfellet er det en kombinasjon, siden vi ikke er interessert i elementerens stilling.

2. La oss nå forestille oss at Juan blir valgt som president, Maria som assistent og Lucia som finansiell.

I dette tilfellet, ville ordren ha betydning? Svaret er ja, siden hvis vi endrer elementene, kan du endre resultatet. Det vil si at i stedet for å sette Juan som president, satte vi ham som assistent, og Maria som president, ville det endelige resultatet endre seg. I dette tilfellet er det en permutasjon.

Når forskjellen er forstått, vil vi få formlene for permutasjonene og kombinasjonene. Før du må definere begrepet “n!”(ENE Factorial), som det vil bli brukt i de forskjellige formlene.

n!= til produktet fra 1 til n.

n!= 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n

Bruker det med reelle tall:

10!= 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3,628 800

 5!= 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

Permutasjonsformelen vil være som følger:

Npr = n!/(N-r)!

Med det kan vi finne ut ordningene der orden er viktig, og hvor elementene er forskjellige.

Kombinasjoner

applikasjoner

Som vi har nevnt ovenfor, er kombinasjonene ordningene der vi ikke bryr oss om elementene.

Formelen er som følger:

Ncr = n!/(N-r)!r!

Eksempel

Hvis det er 14 studenter som vil være frivillige for å rengjøre klasserommet, hvor mange rengjøringsgrupper som kan dannes hvis hver gruppe må være 5 personer?

Løsningen ville derfor være følgende:

N = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)!5! = 14! / 9!5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!= 2002 grupper

Kan tjene deg: Bygninger eller bygningskonto: Hva er eksempel

Løste øvelser

Oppgave 1

Kilde: Pixabay.com

Natalia får moren i oppdrag å gå til en matbutikk og kjøpe brus for å avkjøle seg. Når Natalia spør den avhengige drikkingen, forteller han ham at det er fire smaker av brus, tre typer og tre størrelser.

Smakene med brus kan være: hale, sitron, oransje og mynte.

Typer hale brus kan være: normal, uten sukker, uten koffein.

Størrelsene kan være: liten, middels og stor.

Natalias mor spesifiserte ikke hvilken type brus som ønsket hvor mange måter Natalia har å kjøpe drinken?

Løsning

M = størrelse og type nummer du kan velge når du velger halebrus.

N = størrelse og type nummer du kan velge når du velger sitronbrus.

W = størrelse og type nummer du kan velge når du velger oransje brus.

Y = størrelse og type nummer du kan velge når du velger myntbrus.

Vi utfører multiplikatorprinsippet:

M = 3 × 3 = 9 Former

N = 3 × 3 = 9 Former

W = 3 × 3 = 9 Former

Y = 3 × 3 = 9 skjemaer

 M + n + w + y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 måter å velge brus.

Oppgave 2

Kilde: Pixabay.com

En sportsklubb kunngjør gratis tilgangsverksteder slik at barn lærer å skate. 20 barn er registrert, så to grupper på ti personer bestemmer seg for å dele seg slik at instruktørene kan gi klassene mer komfortable.

På sin side bestemmer de seg for å overvinne hvilken gruppe hvert barn vil falle. I hvor mange forskjellige grupper et barn kan komme inn.

Løsning

I dette tilfellet er måten å finne et svar gjennom kombinasjonsteknikken, hvis formel var: NCR = n!/(N-r)!r!

n = 20 (antall barn)

  R = 10 (gruppestørrelse)

20C10 = 20! / (20 - 10)!10! = 20! / 10!10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10!/ 10!10!= 184.756 grupper.

Referanser

1. Jeffrey, r.C., Sannsynlighet og dømmekunst, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, “En introduksjon til sannsynlighetsteori og dens applikasjoner“, (Vol 1), 3. utg., (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Logiske grunnlag og måling av subjektiv sannsynlighet". Psykologisk handling.
4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph w. (2004). Introduksjon til matematisk statistikk (6. utg.). Upper Saddle River: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) Vitenskapens vitenskap: bevis og sannsynlighet før Pascal,Johns Hopkins University Press.