Bayes teorem

Vi forklarer hva som er Bayes 'teorem, dens applikasjoner og vi setter øvelser løst

Hva er Bayes teorem?

Han Bayes teorem Det er en prosedyre som lar oss uttrykke betinget sannsynlighet for en tilfeldig hendelse en terning B, når det gjelder sannsynlighetsfordelingen av hendelsen B gitt og sannsynlighetsfordelingen bare til.

Dette teoremet er veldig nyttig, siden vi takket være det kan relatere sannsynligheten for at en hendelse A skjer med å vite at B skjedde, med sannsynligheten for at det motsatte oppstår, det vil si at det oppstår gitt til.

Bayes 'teorem var et sølvforslag av pastor Thomas Bayes, en engelsk teolog fra det attende århundre som også var matematiker. Han var forfatter av flere jobber i teologi, men for tiden er han kjent for et par matematiske traktater, blant dem Bayes 'teorem som allerede er nevnt som et hovedresultat.

Bayes behandlet dette teoremet i et verk med tittelen "Et essay for å løse et problem i læren om sjanser" (et essay for å løse et problem i læren om mulighetene), publisert i 1763, og som store har utviklet studier med applikasjoner På forskjellige kunnskapsområder.

Forklaring

For det første, for større komprimering av dette teoremet, er noen grunnleggende forestillinger om sannsynlighetsteori nødvendig, spesielt multiplikasjonsteoremet for betinget sannsynlighet, som fastslår det

For e og til vilkårlige hendelser i et utvalgsrom s.

Og definisjonen av partisjoner, som forteller oss at vi har₁ ,TIL₂,… , TIL_n Hendelser med et eksempel på plass, vil disse danne en partisjon av S, hvis a_Yo De er gjensidig utelukkende og deres forening er s.

Å ha dette, det være seg en annen hendelse. Så vi kan se B som

Hvor en_Yo krysset med B er gjensidig utelukkende hendelser.

Og som konsekvens,

Deretter bruker multiplikasjonsteorem

På den annen side er betinget sannsynlighet for Ai B definert av

Erstatt ordentlig har vi det for alle jeg

Bayes Theorem Applications

Takket være dette resultatet har forskningsgrupper og forskjellige selskaper klart å forbedre systemene som er basert på kunnskap.

Sykdomsstudie

For eksempel, i studiet av sykdommer, kan Bayes 'teorem bidra til å skille sannsynligheten for at en sykdom vil bli funnet i en gruppe mennesker med en gitt egenskap, og tar som data som de globale hastighetene for sykdommen og overvekt av nevnte egenskaper i begge deler Friske og syke mennesker.

Programvare utvikling

På den annen side, i verden av høye teknologier, har det påvirket store selskaper som har utviklet seg, takket være dette resultatet, programvare "basert på kunnskap".

Som et daglig eksempel har vi Microsoft Office Assistant. Bayes 'teorem hjelper programvare med å evaluere problemene som brukeren presenterer og bestemme hvilke råd han skal gi, og dermed kan tilby en bedre tjeneste i henhold til brukerens vaner.

Det skal bemerkes at denne formelen ble ignorert inntil nyere tid, dette er hovedsakelig fordi når dette resultatet ble utviklet for 200 år siden, var det lite praktisk bruk for dem. I vår tid, takket være de store teknologiske fremskrittene, har forskere imidlertid oppnådd måter å sette dette resultatet ut i praksis.

Løste øvelser

Oppgave 1

Et mobiltelefonselskap har to A- og B -maskiner. 54% av mobiltelefonene er laget av maskin A og resten av maskin B. Ikke alle mobiltelefoner er i god stand.

Andelen mangelfulle mobiltelefoner laget av A er 0.2 og for B er 0.5. Hva er sannsynligheten for at en mobiltelefon fra nevnte fabrikk er mangelfull? Hva er sannsynligheten for at en mobiltelefon er mangelfull, kommer fra maskinen til?

Løsning

Her har du et eksperiment som utføres i to deler; I den første delen skjer hendelsene:

Til: mobiltelefon laget av maskin a.

B: Mobiltelefon laget av maskin B.

Siden maskin A produserer 54% av mobiltelefonene og resten er produsert av maskin B, må maskin B produsere 46% av mobiltelefonene. Sjansene for disse hendelsene er gitt, nemlig:

P (a) = 0,54.

P (b) = 0,46.

Hendelsene i den andre delen av eksperimentet er:

D: Mangelfull mobiltelefon.

E: Ikke -defektiv celle.

Som det fremgår av uttalelsen, avhenger sannsynlighetene for disse hendelsene av resultatet oppnådd i første del:

P (D | A) = 0,2.

P (D | B) = 0,5.

Ved å bruke disse verdiene kan du også bestemme sannsynligheten for tilbehøret til disse hendelsene, det vil si:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0.2

= 0,8

og

P (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0,5

= 0,5.

Nå kan D -hendelsen skrives som følger:

Disse hendelsene er gjensidig utelukkende.

Å bruke multiplikasjonsteoremet for betinget sannsynlighet er:

Som det første spørsmålet blir besvart med.

Nå trenger vi bare å beregne P (A | D), som Bayes 'teorem brukes til:

Takket være Bayes 'teorem kan det bekreftes at sannsynligheten for at en mobiltelefon er laget av maskin A, vel vitende om at mobiltelefonen er mangelfull, er 0.319.

Oppgave 2

Tre bokser inneholder svarte og svarte baller. Sammensetningen til hver av dem er som følger: u1 = 3b, 1n, u2 = 2b, 2n, u3 = 1b, 3n.

En tilfeldig valgt en av boksene og en tilfeldig ball blir trukket ut fra den som viser seg å være hvit. Hva er boksen med mest sannsynlig å ha blitt valgt?

Løsning

Gjennom U1, U2 og U3 vil vi også representere den valgte boksen.

Disse hendelsene utgjør en partisjon av S og det er bekreftet at P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 Siden valget av boksen er tilfeldig.

Hvis b = den ekstraherte ballen er hvit, vil vi ha P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4 .

Det vi ønsker å oppnå er sannsynligheten for at ballen er hentet fra IU -boksen, vel vitende om at denne ballen var hvit, det vil si P (ui | b), og å se hvilken av de tre verdiene som var den høyeste å vite hvilken av hvilken boks har vært mer sannsynlig å trekke ut den hvite ballen.

Bruker Bayes 'teorem på den første av boksene:

Og for de to andre:

P (U2 | B) = 2/6 og P (U3 | B) = 1/6.

Deretter er den første av boksene den som har større sannsynlighet for å ha blitt valgt for utvinning av den hvite ballen.