Normal beregning og eksempelvektor

Han Normal vektor Det er en som definerer retningen vinkelrett på en geometrisk enhet som vurderes, som for eksempel kan være for en kurve, et plan eller en overflate.

Det er et veldig nyttig konsept i plasseringen av en mobil partikkel eller en eller annen overflate i rommet. I den følgende grafen er det mulig å se hvordan den normale vektoren er for en vilkårlig kurve C:

Figur 1. En C -kurve med den normale vektoren til kurven ved punkt P. Kilde: SVJO [CC BY-SA 3.0 (https: // creativecommons.Org/lisenser/by-SA/3.0)]

Vurder et punkt P på kurve C. Poenget kan representere en mobil partikkel som beveger seg etter en C -formet vei. Linjens tangent til kurven ved punkt P vises trukket i rødt.

Merk at vektoren T Det er tangent å c på hvert punkt, mens vektoren N er vinkelrett på T og peker på sentrum av en tenkt omkrets hvis lysbue er et segment av C. Vektorer er betegnet med fet bokstav i trykt tekst, for å skille dem fra andre ikke -vektorstørrelser.

Vektoren T Det indikerer alltid hvor partikkelen beveger seg, derfor indikerer den hastigheten på den samme. I stedet vektoren N Pek alltid i den retningen som partikkelen snur, på denne måten indikerer den konkaviteten til C -kurven.

[TOC]

Hvordan få den normale vektoren til et plan?

Den normale vektoren er ikke nødvendigvis en enhetsvektor, det vil si en vektor hvis modul er 1, men i så fall kalles den Normal enhetsvektor.

Figur 2. Til venstre et P -plan og de to normale vektorene til nevnte plan. Til høyre for enhetsvektorene i de tre retningene som bestemmer plassen. Kilde: Wikimedia Commons. Se side for forfatter [offentlig domene]

I mange applikasjoner er det nødvendig å kjenne den normale vektoren til et plan i stedet for en kurve. Denne vektoren gjør kjent orienteringen av nevnte plan i verdensrommet. Tenk for eksempel på flyet P (gul) av figuren:

Det kan tjene deg: Gemine: Origins, Egenskaper og hvordan du kan observere dem

Det er to normale vektorer til det planet: n₁ og n₂. Bruken av det ene eller det andre vil avhenge av konteksten som nevnte fly er funnet. Å skaffe den normale vektoren til et plan er veldig enkel hvis ligningen av det er kjent:

Ax + av + cz + d = 0, med til, b, c og d reelle tall.

Vel, en normal planvektor er gitt av:

N = a Yo + b J + c k

Her vektoren N uttrykkes i form av enhetsvektorene og vinkelrett på hverandre Yo, J og k, rettet gjennom de tre retningene som bestemmer plassen X og z, Se figur 2 til høyre.

Den normale vektoren fra vektorproduktet

En veldig enkel prosedyre for å finne den normale vektoren benytter seg av egenskapene til vektorproduktet mellom to vektorer.

Som kjent, tre forskjellige punkter og ikke colineal med hverandre, bestemme et P -plan. Nå er det mulig å skaffe to vektorer eller og v som tilhører nevnte fly som har disse tre punktene.

Når vektorene er, er det Vektorprodukt eller x v Det er en operasjon hvis resultat er en vektor, som har egenskapen til å være vinkelrett på planet bestemt av eller og v.

Kjent denne vektoren, er den betegnet som N, Og fra det vil det være mulig å bestemme ligningen av planet takket være ligningen som er angitt i foregående avsnitt:

N = eller x v

Følgende figur illustrerer den beskrevne prosedyren:

Figur 3. Med to vektorer og deres vektor eller kryssprodukt bestemmes ligningen av planet som inneholder de to vektorene. Kilde: Wikimedia Commons. Ingen maskinlesbar forfatter gitt. M.Romero Schmidtke antok (basert på copyright -krav). [Offentlig domene]

Eksempel

Finn ligningen av planet bestemt av punktene A (2,1,3); B (0,1,1); C (4,2,1).

Kan tjene deg: kontinuitetsligning

Løsning

Denne øvelsen illustrerer prosedyren beskrevet ovenfor. Ved å ha 3 poeng blir en av dem valgt som et vanlig opphav til to vektorer som tilhører flyet definert av disse punktene. For eksempel er punkt A satt som opprinnelse og vektorer er bygget AB og Ac.

Vektoren AB Det er vektoren hvis opprinnelse er punkt A og hvis ende er punkt B. Vektorens koordinater AB Koordinatene til B for koordinatene til A:

AB = (0-2) Yo + (1-1) J + (1-3) k = -2Yo + 0J -2 k

Fortsett på samme måte for å finne vektoren Ac:

Ac = (4-2) Yo + (2-1) J + (1-3) k = 2Yo + J -2 k

Vektorproduktberegning Ab x ac

Det er flere prosedyrer for å finne vektorproduktet mellom to vektorer. I dette eksemplet brukes en mnemonisk prosedyre som benytter seg av følgende figur for å finne vektorprodukter blant enhetsvektorer Yo, J og K:

Figur 4. Grafisk for å bestemme vektorproduktet mellom enhetsvektorene. Kilde: Selvlaget.

For å starte er det godt å huske at vektorprodukter mellom parallelle vektorer er ugyldige, derfor:

Yo x Yo = 0; J x J = 0; k x k = 0

Og ettersom vektorproduktet er en annen vektor vinkelrett på de deltakende vektorene, og beveger seg i retning av den røde pilen du har:

Yo x J = k ; J x k = Yo; k x Yo = J

Hvis du må bevege deg i strid med pilen, blir et tegn (-) lagt til:

J x Yo = - k; k x J = -Yo; Yo x k = -J

Totalt er det mulig å lage 9 vektorprodukter med enhetsvektorene Yo, J og k, hvorav 3 vil være ugyldig.

AB x Ac = (-2Yo + 0J -2 k) X (2Yo + J -2 k) = -4 (Yo x Yo) -2 (Yo x J) +4 (Yo x k) +0 (J x Yo) + 0 (J x J) - 0 (J x k) - 4 (k x Yo) -2 (k x J) + 4 (k x k) = -2k-4J-4J+2Yo = 2Yo -8J-2k

Flyligning

Vektor N er bestemt av vektorproduktet som tidligere er beregnet:

Kan tjene deg: pendulær bevegelse

N = 2Yo -8J-2k

Derfor er a = 2, b = -8, c = -2, planen som ble søkt er:

AX + BY + Cz + D = 0 → 2x-8y-2Z + D = 0

Verdien av d. Dette er enkelt hvis verdiene til noen av punktene A, B eller C er tilgjengelige blir erstattet i flyligningen. Velge C for eksempel:

x = 4; y = 2; Z = 1

Er til overs:

2.4 - 8.2 - 2.1 + D = 0

-10 + d = 0

D = 10

Kort sagt, ønsket fly er:

2x-8y-2Z +10 = 0

Den nysgjerrige leseren kan spørre om det samme resultatet ville blitt oppnådd hvis i stedet for å gjøre AB x Ac Det ville blitt valgt Ac x AB. Svaret er ja, flyet bestemt av disse tre punktene er unikt og har to normale vektorer, som vist i figur 2.

Når det gjelder det valgte punktet som vektorens opprinnelse, er det heller ingen ulemper ved å velge noen av de to andre.

Referanser

1. Figueroa, d. (2005). Serier: Fysikk for vitenskap og ingeniørfag. Volum 1. Kinematikk. Redigert av Douglas Figueroa (USB). 31-62.
2. Finne det normale til et fly. Hentet fra: Web.ma.UTEXAS.Edu.
3. Larson, r. (1986). Beregning og analytisk geometri. Mc Graw Hill. 616 - 647.
4. Linjer og planer i R 3. Gjenopprettet fra: Matematikk.Harvard.Edu.
5. Normal vektor. Gjenopprettet fra Mathworld.Wolfram.com.